TM1 LV 7 Auflagerlasten Eigengewicht Gelenk PDF

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Eigengewicht...

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Technische Mechanik I - Statik

Inhalt LV 7: Auflagerlasten Einfluss Eigengewicht ............................................................................................. 1 1.6.3.

Übertragungskräfte in Systemen starrer Körper ............................................................. 8

LV 7: Auflagerlasten Einfluss Eigengewicht

1.6.2.3. Einfluss Eigengewicht Berücksichtigung des Eigengewichts der Träger bei der Berechnung der Auflagerlasten Abbildung Eigengewicht:  Streckenlast über die gesamte Länge  Einzelkraft im Schwerpunkt q

Fg l/2

A

B

A

l/2

B

Berechnung der Gewichtskraft:            -

m- Masse in [kg] g=9,81 m/s² ≈ 10 m/s² Erdbeschleunigung ρ – Materialdichte (Stahl: ρ=7850 kg/m³ ; Wasser: : ρ=1000 kg/m³) V –Volumen in [m³]

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Technische Mechanik I - Statik Volumenberechnung / mögliche Trägerformen: -

Quader:

-

Zylinder:

-

Doppel-T-Träger:

      

      

  

        

Aus    berechnet sich die zugehörige Streckenlast pro Längeneinheit:    Einführen von γ (sogenanntes Berechnungsgewicht oder Raumgewicht pro Volumeneinheit)   #      "  $  !  +

Oder gerundet (mit  ≈ )*

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Beispiel: Stahl , ) : /

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Tecchnische Mechanik I - Statik Beispielaufgaben:

D1=0,2 m

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Technische Mechanik I - Statik 1.6.3. Übertragungskräfte in Systemen starrer Körper Was bewirken Gelenke in einem Träger? Eigenschaften eines Gelenkes: - Annahme: reibungsfrei - Momentenfrei (d.h. Übertragung eines Momentes ist nicht möglich) - Können Kräfte in beiden Richtungen übertragen (wie das Festlager) FBy - Symbol: FBx - Keine Richtungskonvention (nur wichtig: bei Freischneiden unterschiedliche Richtungen an den beiden Schnittufern)

Auswirkungen des Einbaus eines Gelenkes anhand des Beispiels einer Brücke Bsp: statisch bestimmt gelagerte Brücke großer Spannweite:

Ziel: Erhöhung der Tragfähigkeit ohne die statische Bestimmtheit aufzugeben! Wie? Zusätzliches Lager (System würde statisch unbestimmt gelagert sein – soll aber nicht sein) Lösung: Bau zweier Brückenteile, die beide statisch bestimmt gelagert sind:

Verbinden: Festlager auf der Zwischenstütze durch Festlager im rechten Balkenteil ersetzten – dabei bleiben beide Teilsysteme für sich immer noch statisch bestimmt und damit auch das gesamte Brückensystem (entspricht einer Gelenkverbindung zwischen den beiden Balkenteilen)

Der Einbau eines Gelenkes kann ein 1-fach statisch unbestimmtes System in ein statisch bestimmtes System überführen!

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Technische Mechanik I - Statik Träger, die technisch so realisiert werden, heißen Gerberträger oder Gelenkträger nach Heinrich Gottfried Gerber (1832–1912), der sich dies 1866 patentieren ließ.

Bsp der technischen Realisierung: Forth Bridge in Edinburgh:  Die erste Brücke, bei der das Prinzip des Gerberträgers erfolgreich eingesetzt worden ist  Offizielle Eröffnung: 1890  teuer

Vorteile des Gerberträgers:  Bauteil wird unempfindlich gegenüber Zwangsbeanspruchungen, wie z. B. Setzungen oder Temperaturbeanspruchung  Keine Verformungseinflüsse  Vergrößerung der Feldweite einer Brücke (größere Spannweite zwischen den Stützen)  Geringere Bauteillängen als bei durchlaufenden Brücken/Trägern

Nachteile des Gerberträgers:  Aufwendige Ausbildung der Gelenke und Fugen  Wartung der Gelenke und Fugen  Größere Verformungen  Geringere Tragreserven  Deshalb heute: Einsatz von Gerberträgern selten Veranstaltung 7

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Technische Mechanik I - Statik Bestimmung der Lagerreaktionen eines Gerberträgers Bsp eines statisch unbestimmten Systems:

1-fach statisch unbestimmt! (Bezeichnung für derartige System: Durchlaufträger) Einbau von 1 Gelenk:

Damit gilt: Zerlegung in 2 Teilsysteme möglich, die für sich statisch bestimmt gelagert sind (=Gerberträger)! Betrachtung der beiden Teilsysteme (Schnitt am Gelenk): F By FAx a MA

b/2 FBx

F

b/2

FBx

FBy

FAy

Teilsystem I 13 23  *  42 5 62 13 73  *   47 5  67

13 943  *   567  94

FC

Teilsystem II 13 23  *  62 13 73  *  67  8 5 

:

13 983  *   67  5  "

Unbekannte: 42& 47 & 94;8;62 & 67  6 Unbekannte + 6 Gleichungen => System ist statisch bestimmt!  Einbau von 1 Gelenk => 1-fach statisch unbestimmtes System wird statisch bestimmt

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Technische Mechanik I - Statik Ergebnis für das Beispiel: 13 23  *  42 5 62 13 73  *   47 5  67

13 943  *   567  94

13 23  *  62 13 73  *  67  8 5 

:

13 983  *   67  5  "

 62  * *  42 5 62   42  62    42  *   *   67  5     67     < *   567  94    94   "  *   47 5  67    47    *  67  8 5    8   Fazit: Ein N-fach statisch unbestimmtes System kann durch den Einbau von N Gelenken in ein statisch bestimmtes System überführt werden. Generelles Vorgehen zur Berechnung von Gelenksystemen: - Freischneiden des Systems („Freiwerden“ der Lagerreaktionen) - Freischneiden an den Gelenken („Freiwerden“ der „Zwischenkräfte“ an den Gelenken) - Für jedes Teilsystem 3 Gleichgewichtsbedingungen aufstellen Bedingung für statische Bestimmtheit eines Gerberträger: - Bedingung: Anzahl der Gleichungen = Anzahl der Unbekannten - Unbekannte: Gesamtanzahl der Lagereaktionen + Gesamtzahl der Gelenkkräfte (2 pro Gelenk) - Notwendige aber nicht hinreichende Bedingung Bsp:

Gesamtanzahl Lagerreaktionen = 5 (2-fach statisch unbestimmt) Gesamtanzahl der Gelenkkräfte = 4  Anzahl der Unbekannten = 9  Anzahl der Gleichungen = 9  System aber untauglich, da rechtes Teilsystem statisch unbestimmt gelagert

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Technische Mechanik I - Statik Beispiel 1:

F

2a

a

1,5a

2,5a

Berechnen Sie mit F= 10 kN und a =1 m die erforderlichen Auflagerreaktionen Beispiel 2:

F

a

b/2

b/2

>

Mit a= 4m, b=6m, α=30° , F= 5 kN Berechnen Sie die Auflagerreaktionen Beispiel 3: 3-Gelenk-Rahmen: F a/2

a/2

a

b

FAx

F Bx

FBy

FAy

a) Berechnen Sie die Auflagerreaktionen! b) Gibt es auch eine Möglichkeit die Auflagerreaktionen grafisch zu bestimmen?

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Technische Mechanik I - Statik Rechnerische Lösung: Betrachtung der Teilsysteme: F

F Cy FCx

FCx

FCy

FAx

FBx

FAy

FBy

Teilsystem I

Teilsystem II

13 23  *  42 5 82   42  82  13 73  *   47 5  87 5   47     87 13 943  *   587   ?    87  < "

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13 23  *  62  82    62 5 82 13 73  *  67  87   67  587 13 963  *  5 87 5 82  @ 82 

A...