La crisi dei fondamenti della matematica PDF

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LA CRISI DEI FONDAMENTI FISICO-MATEMATICI Paragrafo 1: La pluralità delle geometrie Negli ultimi decenni dell'800 le scienze fisiche avevano subito un processo di unificazione; in matematica si cerca di costruire un corpo autonomo e coerente, raccogliendo i frutti delle riflessioni derivate dalle due1 "correnti" di pensiero denominante logicismo e formalismo, tutte derivanti da un principio comune presente nel riduzionismo. Se precedentemente si era data una posizione privilegiata alla geometria euclidea, dopo la distinzione operata da von Helmoltz tra geometria fisica e geometria pura2, e dopo i risultati delle misurazioni geodetiche e astronomiche di Gauss e Lobacevskij, poiché vennero elaborati nuovi modelli di geometria non euclidea3, essa viene messa in crisi: emerge il problema dei fondamenti.

Paragrafo 2: Il problema dei fondamenti Abbiamo tre indirizzi distinti: a) logicismo, esigenza di rigore dell'analisi, tenta di aritmetizzare la matematica per poi ricondurre tutto alla logica. (Frege e Russell); b) formalismo, derivante dalle tendenze dell'algebra astratta, vuole impostare un solido impianto assiomatico dal quale dedurre l'intera struttura matematica; (Hilbert) c) intuizionismo, tenta di privilegiare la libera intuizione originaria, senza alcun fondamento possibile.

Il riduzionismo: la precondizione dei tre indirizzi Il riduzionismo tenta di ridurre la matematica non più alla geometria euclidea, bensì all'aritmetica. Il problema di questo processo di aritmetizzazione consisteva nella parte relativa all'analisi matematica. C'era una enorme difficoltà nel costruire una successione continua di punti tali che a ciascuno di essi fosse attribuibile un numero. Ad affrontare e risolvere in maniera diversa questo problema furono Dedekind e Cantor. Il primo descrisse la retta dei reali come formata da tutti i razionali e da degli elementi separatori i quali definivano le sezioni di Dedekind, ovvero le due parti di retta alla sinistra ed alla destra di ogni separatore, razionale o irrazionale che fosse. Cantor fa invece ricorso alle serie convergenti di soli razionali che però convergono ad un irrazionale ed altresì fonda il concetto di numero attraverso una sua formulazione insiemistica in termini di cardinalità o potenza appunto di un insieme, che nel caso degli insiemi infiniti origina i numeri

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in realtà erano tre, ma, come vedremo, l'intuizionismo ha tutto un altro orizzonte di pensiero. Geo. fisica analizza lo spazio concreto, geo. pura si basa su assiomi e segue la logica formale. 3 Iperbolica 180° nessuna parallela (cfr meridiani) (Riemann)

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transfiniti (‫א‬ₒ, 1‫א‬, etc...)4. La parte relativa all'assiomatica di Peano è nota (numero, 1, successore). Il Logicismo prevede la riduzione dell'intera matematica alla logica. Frege5 tenterà in questa direzione ma si scontrerà col paradosso di Russell, dovendo abbandonare il progetto. Russell, nonostante volesse superare questa difficoltà riscontrata, formulando la teoria dei tipi, nella quale venivano formalizzate delle gerarchie tra tipologie di elementi, andando a distinguere gli insiemi dalle classi. Ma anche Russell dovette arrestarsi senza un risultato completo.

L'intuizionismo fondato da Brouwer è fortemente anti-logicista. Per Brouwer la matematica non ha bisogno di alcuna fondazione poiché i suoi concetti derivano da intuizioni primordiali infondate. La matematica "interiore" ha la precedenza rispetto ad ogni linguaggio formale o logica. Dapprima poco apprezzato, fu riscoperto dopo il terremoto dei teoremi di Godel (1931). Il formalismo è una corrente che agganciamo alla personalità di David Hilbert e che prevedeva di poter considerare la matematica come un linguaggio formale, completo e coerente. Da un impianto assiomatico stabile, Hilbert con la sua teoria della dimostrazione intendeva dedurre tutta la matematica. I teoremi di incompletezza di Godel6 spazzeranno via ogni possibilità prospettata da Hilbert.

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L'argomento diagonale riguarda la dimostrazione della differenza tra gli infiniti associabili ai numeri transfiniti, ergo alla gerarchizzazione degli infiniti (discreto, continuo, parti del continuo, parti delle parti del continuo, e così via). 5 Definì i numeri su base insiemistica. Un'altra formulazione ci viene da Von Neumann. 6 Questi due teoremi affermano l'impossibilità di avere un sistema matematico che, oltre la logica del prim'ordine, possa essere coerente e completo. Ciò significa che un sistema assiomatico non potrà mai contemporaneamente essere completo e coerente, lasciando sempre o almeno una proposizione indecidibile, oppure contemplando almeno una contraddizione, ovvero deducendo e la verità e la falsità di almeno una proposizione in base a quegli assiomi.

LA RIVOLUZIONE PSICOANALITICA Freud (1856-1939) studia medicina, poi segue Charcot a Parigi sull'isteria, segue anche gli opposti metodi dell'ipnosi di Liébeault e Bernheim, lavora con Breuer sempre sull'isteria e perviene alla scoperta dell'inconscio. La medicina ufficiale di quei tempi non prendeva in considerazione nulla che non corrispondesse ad una lesione organica per la assestata impostazione positivisticomaterialista. Nonostante ciò il caso seguito insieme a Breuer di Anna o. suggerì la via per la formulazione del metodo catartico. Freud, distaccandosi successivamente da Breuer, individuò le cause di questi disagi psichici nel conflitto tra forze psichiche inconsce. Nacque la psicoanalisi. Freud divide l'inconscio in due parti: 1. preconscio: zona di ricordi non consci ma facilmente recuperabili attraverso un semplice sforzo; 2. rimosso: tutti i ricordi che vengono tenuti fuori dalla coscienza e sono difficilmente accessibili e solo attraverso specifiche tecniche psicoanalitiche. Oltre all'ipnosi, subito di scarsa efficacia, fu sviluppato il metodo delle associazioni libere. Associato a questa pratica c'è il fenomeno detto transfert. Freud studierà anche i sogni, gli atti mancati e i sintomi nevrotici.

La scomposizione psicoanalitica della personalità Prima topica psicologica, elaborata nel capitolo VII dell'Interpretazione dei sogni, distingue tre "sistemi": conscio, preconscio, inconscio. Seconda topica psicologica, elaborata dal 1920 distingue tre "istanze": l'Es, l'Io ed il Super-io. [sogni, complesso edipico e sessualità dati per conosciuti] -L'arte è concepita come la forma più evidente e culturalmente importante di sublimazione. Essa è fortemente legata al sogno. L'artista ha una duplice funzione: da un lato esprime la propria interiorità altrimenti inaccettabile, dall'altro suscita nello spettatore un processo perturbante andando a toccare le intime corde della sua psiche. -La religione: se ne occupa nell'ultima parte della sua vita. Vede le rappresentazioni religiose come illusioni, appagamenti di bisogni infantili. -La civiltà costituisce una sorta di Super-Io collettivo di norme e divieti. Accenno ad Eros e Thanatos....