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CUADRIPOLOSDarwin Boned Chamorro Rincón 1 Juan Sebastián Castañeda Gama 2 Germán Camilo Ferrucho Bayona 3Resumen— Los objetivos de este artículo son: determinar y cuantificar los parámetros Z, Y, h, g, transmisión directos e indirectos de los circuitos de cuadripolos o redes de dos puertos e inserta...

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CUADRIPOLOS Darwin Boned Chamorro Rincón1 Juan Sebastián Castañeda Gama2 Germán Camilo Ferrucho Bayona 3

Resumen— Los objetivos de este artículo son: determinar y cuantificar los parámetros Z, Y, h, g, transmisión directos e indirectos de los circuitos de cuadripolos o redes de dos puertos e insertarlos en un circuito, determinar los parámetros equivalentes para un circuito T y π según corresponda, determinar un equivalente Thévenin a partir de parámetros conocidos. La metodología por desarrollar es resolver la guía planteada en el espacio de circuitos eléctricos III –preparada por Ing. Luis Hernando correa, determinando los valores por medio de las condiciones y sugerencias que la misma guía plantea sobre cuadripolos (parámetros Z, Y, h, g, transmisión directos e indirecto), determinando los parámetros correspondientes a un circuito T y π, al igual que el valor de las diferentes conexiones de cuadripolos. Los resultados encontrados se evidencian en el informe describiendo los respectivos cálculos y valores asimilados, por medio analíticos, simulados y medidos en hardware, donde fueron tabulados y analizados como se podrá encontrar en la discusión de resultados. Index Terms— Cuadripolo, Circuito T y π, simetría, pasividad, parámetros.

I.

INTRODUCCIÓN

Para realizar la respectiva contextualización del tema al cual se le da el objeto de estudio, se debe examinar de manera específica algunos fenómenos que

interactúan en el proceso y son vitales para lograr una clara compresión del mismo, por ello, en este artículo se describirán nociones básicas pero precisas de lo que significa describir el comportamiento de lo que se conoce como redes de dos puertos (cuadripolos), especificando en este respectivo tema de investigación todos los posibles parámetros en estudio. Ahora centrando el tema de interés, en donde se presentan cuatro aspectos a desarrollar, donde la idea es asimilar los conceptos de los respectivos parámetros de los cuadripolos y a la vez determinar cómo poder transformar un circuito T a un circuito π, o en sentido contrario, estos son los aspectos más importantes a considerar, donde la clave es por representar e interpretar cada aspecto a considerar de los cuadripolos, donde a la vez determinar algunas características, como los son las condiciones de simetría y pasividad. Es importante mencionar que el respectivo proceso no solo significa el valor simbólico matemático o el aprendizaje cognitivo, sino de igual manera conlleva el análisis y el porqué de la ocurrencia del respectivo desarrollo del

1 Darwin Boned Chamorro Rincón. Universidad de la Salle. Facultad de ingeniería. Programa de ingeniería Eléctrica, Bogotá D.C. E-mail: [email protected]. Cód. 42171026. 2 Juan Sebastián Castañeda Gama. Universidad de la Salle. Facultad de ingeniería. Programa de ingeniería Eléctrica, Bogotá D.C. E-mail: [email protected]. Cód. 42171089. 3Germán Camilo Ferrucho Bayona. Universidad de la Salle. Facultad de ingeniería. Programa de ingeniería Eléctrica, Bogotá D.C. E-mail: [email protected]. Cód. 42111073

estudio, por ello, habiendo definido el tema de interés, se considera que es necesario plantear las preguntas a resolver, por eso en este informe se desarrolla las debidas características y procesos que responden a ¿Cómo determinar parámetros de los cuadripolos por medio analítico, simulado y por hardware? ¿Cuál es la importancia de determinar los parámetros equivalentes de un cuadripolo? ¿Cómo se puede representar un circuito T en un circuito π y viceversa? ¿Qué son las condiciones de simetría y pasividad? A partir de estos interrogantes, se busca desarrollar de manera concisa el aprendizaje y el modelo conceptual de lo que implica el estudio y análisis de un cuadripolo. II.

MARCO TEÓRICO

REDES DE DOS PUERTOS

Una red de dos puertos es una red eléctrica con dos puertos diferentes para la entrada y la salida. Una red de dos puertos cuenta con dos pares de terminales que actúan como puntos de acceso. Como se muestra en la figura 1, la corriente que entra a una terminal por un par sale por la otra terminal. Los dispositivos de tres terminales, como los transistores, pueden configurarse en redes de dos puertos.

Figura 1. Red de dos puertos. Fuente: Alexander Sadiku 5ed. Fundamentos de circuitos eléctricos.

El estudio de las redes de dos puertos se debe al menos a dos razones. En primer lugar, dichas redes resultan útiles en las comunicaciones, los sistemas de control, los sistemas de potencia y la electrónica. Por ejemplo, se emplea en electrónica para modelar transistores y facilitar el diseño en cascada. En segundo lugar, se usan para conocer los parámetros de una red de dos puertos, lo cual permite tratarla como una “caja negra” cuando está incrustada dentro de una red mayor. La caracterización de una red de dos puertos requiere que se relacionen las cantidades en las terminales V1, V2, I1 e I2 en la figura 1, de las cuales dos son independientes. Los diversos términos que relacionan estas tensiones y corrientes reciben el nombre de parámetros. [1]

CIRCUITO T Y π

Dos redes que ocurren con frecuencia en el análisis de circuitos son las redes T y π, como se muestra en la Figura 2. Cuando se vuelven a dibujar, pueden aparecer como las redes Y o delta ( ∆ ) de la Figura 3. Si una red tiene simetría de imagen espejo con respecto a alguna línea central, es decir, si una línea puede ser se encuentra

que divide la red en dos mitades simétricas, la red es una red simétrica. La red T es simétrica cuando Z1 = Z2, y la red π es simétrica cuando ZA = ZB. Además, si todas las impedancias en la red T o π son iguales, entonces la red T o π es completamente simétrico. Tenga en cuenta que las redes que se muestran en la Figura 2 y la Figura 3 tienen dos puertos de acceso y tres terminales, Por ejemplo, se obtiene un puerto para el par de terminales a – c y el otro puerto es b – c. Podemos obtener ecuaciones para la transformación directa o conversión de una red T a una π red, o de una red π a una red T, considerando que, para equivalencia, las dos redes deben tener la misma impedancia cuando se mide entre el mismo par de terminales. Por ejemplo, en el puerto 1 (en a – c) para las dos redes de la Figura 3, requerimos Z 1 +Z3 =

Z A (ZB+ ZC ) Z A +Z B +ZC

Para convertir una red π a una red T, las relaciones para Z1, Z2 y Z3 deben obtenerse en términos de impedancias ZA, ZB y ZC. Con un poco de esfuerzo algebraico, podemos demostrar que Z A∗Z C Z 1= Z A +Z B+ Z C Z 2=

Z B∗ZC Z A +Z B + Z C

Z 3=

Z A∗Z B Z A + Z B +Z C

Figura 2. a) Circuito T. b) Circuito π. Fuente: Circuitos eléctricos. Svoboda Dorf 9a edición. [5]

Figura 3. a) Circuito. b) Circuito Delta. Fuente: Circuitos eléctricos. Svoboda Dorf 9a edición. [5]

Del mismo modo, podemos obtener las relaciones para ZA, ZB y ZC como Z 1 Z 2+ Z 2 Z 3 +Z 3 Z 1 Z A= Z2 Z B=

Z 1 Z 2 +Z 2 Z 3 +Z 3 Z 1 Z1

ZC=

Z 1 Z2 + Z 2 Z3 + Z 3 Z 1 Z3

Cada impedancia T es igual al producto de las dos patas adyacentes de la red π divididas por la suma de las tres patas de la red π. Por otro lado, cada tramo de la red π es igual a la suma de los posibles productos de las impedancias T divididos por la impedancia T opuesta. Cuando una

red T o π es completamente simétrica, las ecuaciones de conversión se reducen a ZT =

Zπ 3

y Z π=3 Z T donde ZT es la impedancia en cada tramo de la red T y Zπ es la impedancia en cada tramo de la red π. [5]

formar la red original. Por lo tanto, es posible que las redes de dos puertos se consideren como bloques constitutivos que pueden interconectarse para formar una red compleja. La interconexión puede efectuarse en serie, en paralelo o en cascada. En la figura 3 se pueden observar estas conexiones:

Parámetros de cuadripolos En la figura 4, se presentan los parámetros característicos más utilizados de una red de dos puertos. Estos relacionan las corrientes y tensiones de entrada y salida.

Figura 5. Conexiones de cuadripolos. Fuente: guía del trabajo experimental 5- Cuadripolos. [2]

Figura 4. Parámetros característicos de cuadripolos. Fuente: guía del trabajo experimental 5- Cuadripolos. [2]

Conexión de cuadripolos Una red grande y compleja puede dividirse para su análisis y diseño en subredes. Las subredes se modelan como redes de dos puertos interconectadas para

Transformación entre parámetros

Figura 7. Circuito T. Fuente: guía del trabajo experimental 5- Cuadripolos. [2]

Figura 8. Circuito π. Fuente: guía del trabajo experimental 5- Cuadripolos. [2]

Figura 6. Transformaciones entre parámetros. Fuente: guía del trabajo experimental 5Cuadripolos. [2]

Las transformaciones son posibles entre cualquiera de los diversos sistemas de parámetros. En términos prácticos, estas transformaciones resultan muy útiles debido a la sencillez de dichas relaciones. Las transformaciones entre los parámetros “Z” y “Y”, así como las de los parámetros “h” y “g = t” se presentan en la figura 6.

III.

METODOLOGÍA

Para la debida realización del proceso analítico, simulado y montaje se procedió al realizar lo estipulado en la guía, donde se proponen los circuitos ilustrados en las figuras 8, 9 y 10.

Figura 9. Inserción de un cuadripolo en un Circuito. Fuente: guía del trabajo experimental 5Cuadripolos. [2]

Frente a estos circuitos se plantean las siguientes situaciones a considerar: 1. Determine circuito y parámetros característicos de impedancia, admitancia, híbridos “h”, híbridos “g”, transmisión directos e indirectos, en base a los circuitos “T” y “π”. 2. Represente los parámetros Z, Y, h y g; por sus equivalentes “T” y “π”. 3. Encuentre el cuadripolo equivalente, si ambos cuadripolos “T’ y “π” se conectan en serie, paralelo, serie−paralelo, paralelo−serie y cascada. 4. En función a los parámetros “h” y transmisión directos, más la fuente, Rg y RL, encuentre la Resistencia de Thévenin.

IV.

RESULTADOS

Tabla 1. Parámetros respectivos para el circuito T. Circ. T

Teórico

Simulado

Medido

Z

127.56 ∠ 79.98 °Ω 0.0482 ∠−90 0.0482 ∠− 90 ° Ω 31.97 ∠ 78.82

[

[

[

Y

[

0.0078 ∠−79. 41 ° S 1.17 1.1 7∗10−5 ∠−68 ° S 0.03

[

7.84 ¿10−3 ∠−79.98 ° S 3.78 ¿ 10− 3.78 ¿10−4 ∠−169.98 ° 31.97 ∠

[ [

[ [

∠ 169.97 ° [2645.5 20.73 ∠ 90 ° S ∠ 168.82 ° [662.97 20.73 ∠90 ° S

1. 75 ∠16 8.3 ° 84570 2640.8 ∠ 169.2° 845 63 [26420.7 [ ∠90 ° S 662.9 20.7 ∠90 ° S 660 0.7 ∠ 16 7 .82 ° 845 68∠ 66 0 .5 ∠168.82 ° 845 65 [6620.7 ∠ 90 ° S 2644.9 [ 20.73 ∠ 90 ° S 2644

h

g

T t

126.32 ∠79.56 ° Ω 0.04 77 125.65 ∠ 79.984 °Ω 0. 0.0471 ∠− 90 ° 31. 0.04 77 ∠−90 °Ω 31. 22 ∠

0.00784 ∠−79.98 ° S −5 1.182∗10 ∠−68.8 ° S

[

1.18∗10− 0.031 ∠

[ [

126.32 ∠ 79.56 ° Ω 1.5∗ 1.51∗1 0− 0.031 ∠− 1.5∗1 0−3 ∠−16 5. 2° 0.03

127.56 ∠ 79.98 ° Ω 1.51∗1 0−3 ∠−168.82 °

84570 ∠−111. 662.97 ∠ 168 84570 ∠−111. 2644.93 ∠169

7. 79 ¿ 10−3∠−80 ° S 3.7 −4 3.78 ¿ 10 ∠−16 7 . 5° 3

0.007834 ∠−79.98 ° S 1.17∗10−5∠−68.76° S 127.65∠ 79.984 ° 1.49∗1 0−3 ∠−168.756 ° 7.83 ¿10−3 ∠−79.98° −4 3.77 ¿ 10 ∠−169.976 °

Tabla 2. Parámetros respectivos para el circuito π. Circ. Π

Teórico

Simulado

Medido

Z

0.048 ∠−90 °Ω [0.017 ∠ 83.56 ° Ω

Y

[

h

[

0.017 ∠ 83.56 45.88 ∠−86.42

0.0476 ∠−89 ° [0.0167 2∠ 83.6 °

[

0.0167 ∠ 0.04769∠−89.94 ° 0.01 45.92 ∠ 0.01678 ∠ 83.45 ° 45.

7.836 ¿ 10 0.0218

[

20. 7 ∠ 89. 9 ° 7.75 ¿ 1 −3 7.75 ¿ 10 ∠ 99.5 ° 0.021

[

20.69 ∠89.85 ° 7. −3 7.75 ¿ 10 ∠ 99.995 ° 0

0.048 ∠−90 ° Ω 3.78 ¿ 10−4 ∠ −4 0.0218 ∠ 8 3.78 ¿ 10 ∠10.02 °

[

[

0.04769 ∠−89.94 ° −4 3.775 ¿ 10 ∠9.98 °

20.73∠ 90 ° S 7.836 ¿ 10−3∠ 100.02 ° S

0.04769 ∠−89.94 ° 3.775 ¿ 10−4 ∠9.98 °

3.77 ¿ 0.02

3.7 0

∠ 90 ° S 0.358 ∠ 13. 20.698 ∠ 89.85 ° 0.34 20.698 ∠ 89.85 ° 0. [0.35820.72∠−166.405° 45.75 ∠−86. [0.3478 ∠−165.924 ° 45.92 [ 0.3478 ∠−165.924 ° 45 2.789∠ 166.4 ° 127.6 ∠ 79.98 2.66 ∠166.218 ° 127. 2.66 ∠166.218 ° 12 [57.8 [ [ ∠−103.6 ° S 2644.93 ∠ 169. 56.765 ∠−102.85 ° S 2643 56.765 ∠−102.85 ° S 26 ∠ 169.97 ° 127.6 ∠79.98 2640.93 ∠ 169.97 ° 126.6 ∠ 2640.93 ∠ 169.97 ° 126 [2644.93 57.8 ∠−103.6 ° S 2.789 ∠ 166. [ 56.3 ∠−103.2 ° S 2.7 ∠ [ 56.3 ∠−103.2 ° S 2.7

g

T

t

Tabla 3. Parámetros equivalentes transformador respectivamente a circuitos T y π. Parámetros

T π

∠ 80 °Ω [127.55 0.05 ∠ 90 °Ω

Z

π T

0.05∠ 90 °Ω 33.33 ∠ 78.82 ° Ω

]

0.048 ∠−90 °Ω [0.065 ∠−86.42 ° Ω

Y

[

7.84 ¿ 10 ∠−80 ° S −5 1.18 ¿ 10 ∠−68.8° S

h

[

127.55 ∠ 80 ° Ω 1.5 ¿ 10 ∠−168.82 −3 1.5 ¿ 10 ∠ 11.18 ° 0.03 ∠−78.8 ° S

[

g

[

7.84 ¿10−3∠−80 ° S 3.778 ¿10−4 ∠10.0 3.78 ∠−169.98 ° 31.98 ∠ 78.82 ° Ω

90 ° S [20.75∠ 1.35 ∠3.58 °

−3

−5

1.18 ¿ 10 ∠−68 0.03 ∠−78.82 −3

20.87 ∠ 90 ° S [0.03∠−90 °S

0.065 ∠−86. 45.84 ∠−86.

0.03 ∠−90 ° S 0.0218 ∠86.43 ° S

0.048 ∠−90 ° Ω 1.42∗1 0− 1.42∗1 0−3 ∠−179.99 ° 0.0218 ∠ 1.35 ∠ 3.58 ° 45.76 ∠−86.42° Ω

Tipo de conexión

Parámetros

127.51 ∠ 79.97 °Ω [ 0.0314 ∠−86.51 °Ω

0.0314 ∠− 86.51 ° Ω 17.04 ∠−57.86 ° Ω

[

7.824 ¿ 10 ∠ 100 ° S 0.0116 ∠−50.3 ° S

[ Z e ]=

Serie

[

Serie-Paralelo

Paralelo-serie

∠ 89.99° S [ ge ]= 20.71 0.358∠ 13.59 °

[

0.358 ∠ 13.59 ° 16.9 ∠−57.6 ° Ω

[ 38263 ∠ 65 ° S

Resistencia Thévenin en términos de parámetros h. La resistencia Thévenin es equivalente a la impedancia de salida del circuito, por lo tanto, V2 I2

Y con las ecuaciones de parámetros híbridos h tenemos: V 1=h11 I 1+h12 V 2 I 2 =h21 I 1+h22 V 2 Como sabemos que: V 1=−Rg I 1 Reemplazamos en V1 obteniendo:

]

]

[ ABCD ]e = 4880907 ∠145 ° 223350579∠ 59 ° Ω

Inserción de cuadripolo en un Circuito: (Ver figura 9)

Z Th =

]

127.51 ∠ 79.97 ° Ω 1.13∗10−3 ∠ 11.567 ° 1.13∗1 0−3 ∠−168.43 ° 0.0116 ∠−50.3° S

[ he ] =

Cascada

−3

20.72 ∠ 90 ° S

[ Y e ]= 7.824 ¿ 10−3 ∠ 100° S

Paralelo

]

1750914 ∠−21.23 °

]

−Rg I 1=h 11 I 1 +h12 V 2 0=h11 I 1 + Rg I 1 +h12 V 2 h (¿¿11 + Rg) −h V I 1 = 12 2 ¿ Y por último reemplazando I1 en I2 tenemos: h (¿¿ 11+Rg) −h12 V 2 ¿ ¿ I 2 =h21 ¿ h (¿¿ 11+Rg)+h22 −h21 h12 ¿ ¿ I 2=¿

h (¿¿ 11+Rg) h21 h12 +h 22 h11 +Rg −¿ ¿ I 2=¿ h −h21 h12+h 22 (¿¿11 +Rg) V 2 h11 +Rg = ¿ I2

Resistencia Thévenin en términos de parámetros T. V 1= A V 2−B I 2 I 1 =C V 2−D I 2 Como sabemos que: V 1=−Rg I 1 Reemplazamos en V1 obteniendo: − Rg I 1= A V 2− B I 2 Y se reemplaza I1 en la ecuación anterior obteniendo: −Rg ( C V 2−D I 2 )=A V 2−B I 2 Por lo tanto, V 2 DRg +B = I 2 RgC + A

V.

DISCUSIÓN RESULTADOS

DE

Antes de comenzar cualquier discusión es necesario aclarar que la metodología aplicada para las mediciones y

simulaciones se vieron sintetizadas en el cálculo respectivo para solo uno de los parámetros debido a que el informe resultó extenso, simplemente se midieron y simularon los parámetros, pero solo se modelaron en este informe la manera como se determinó cada parámetro tomando como ejemplo uno de ellos, esto facilitará al lector una lectura rápida sin que hayan excesos de volumen de información. Ahora sí, por medio de este informe se lograron determinar las siguientes características y procesos que involucran lo que llamamos como cuadripolos: Por primera entrada, se considera que por medio de cuadripolos se lograron modelar y calcular los respectivos parámetros correspondientes, de los cuales en los anexos se puede observar que se comprobaron algunos de los valores determinados, como por ejemplo que Z11 es igual a h11, así sucesivamente se describen en los resultados encontrados unas observaciones se explican algunos resultados. Con respecto a la distribución de la información se procedió para hacer del artículo más factible de leer, organizar los valores medidos, simulados y analíticos respecto a los circuitos T y π, en tablas y la forma como se determinaron se encuentran en los anexos de este mismo artículo, de igual forma se organizó la información para los siguientes valores calculados. Ahora resumiendo, en la primera y segunda tabla se encontró que por los tres métodos de medición para los parámetros, todos fueron muy próximos, lo que demuestra un correcto procedimiento al comprender las diversas formas con las cuales se pueden medir los parámetros de

un cuadripolo, con lo que respecta a la segunda tabla se evidencia el proceso de analizar un cuadripolo visto a partir de un equivalente; estos equivalentes cabe mencionar que son muy factibles considerando que dependiendo del tipo de parámetros que se quieran encontrar resultará más eficiente analizar con un equivalente específico, es decir, supongamos que se tiene un circuito π, dentro de un circuito aun mayor, si se deseara calcular los parámetros de impedancia, sería más rápido determinarlos, si transformáramos el circuito π en uno T, debido a que en el circuito T al considerar una corriente I2 o I1 cero, se cancela por decirlo de esta manera, toda una rama y simplemente queda analizar una malla muy simple, mientras que para el circuito π, considerando la misma condición, la solución estará dada por un paralelo, lo cual aunque no es complicado consume un poco más de esfuerzo, todo esto según se pudo comprobar en la práctica. Además de lo anterior, se lograron determinar los tipos de conexiones de los cuadripolos, esto referido a la forma de como se operan los cuadripolos en serie, paralelo, serie paralelo, paralelo serie y cascada, analizando las aplicaciones que determinan estas definiciones, debido a que estas constituyen la herramienta de cálculo rápido para un determinado problema, para aclarar lo anterior supongamos que tenemos dos cuadripolos de una red de transmisión eléctrica en paralelo, dados en parámetros de transmisión directa, con lo cual, al consultar lo aprendido encontramos que la forma más coherente es transformar la matriz de parámetros de transmisión directos a admitancias, ya que si tenemos

los dos cuadripolos en paralelo de admitancia, simplemente el resultado a analizar es una simple suma; esa es la gran importancia de conocer las definiciones y saber comprender la utilidad de su aplicación. Y por último, se logró comprobar que la resistencia Thévenin no depende de la carga RL que se disponga a la salida de la aplicación de un cuadripolo en un circuito, esto se logró demostrar en los cálculos correspondientes a este punto, donde lo que se realizó, simplemente fue igualar ecuaciones con el fin de satisfacer la impedancia de salida es decir, V2/I2, lo cual es nuestra Z22, teniendo en cuenta que existía un Rg (resistencia de la fuente) y tres cargas RL; recordando temas aprendidos anteriores sobre teoría de circuitos, se examinó que para determinar la resistencia Thévenin de u...