Ejercicio, cuadripolos con solución PDF

Preview

Summary

Download Ejercicio, cuadripolos con solución PDF

Description

´ DE PROBLEMAS COLECCION

AD O

Problemas de Cuadripolos

R

˜ DE CIRCUITOS ANALISIS Y DISENO Grados en Ingenier´ıa de Sistemas de Comunicaciones y Sistemas Audiovisuales Universidad Carlos III de Madrid

Versi´ on de 25 de marzo de 2014

BO RR

´ SOLUCION

1. Considere los cuadripolos A y B de la figura 1, donde Y1 y Y2 son valores de admitancias. 2Y2

Y2

Y1

Y1

Y1

Y1

2Y2 (b) Cuadripolo B .

(a) Cuadripolo A.

R

Figura 1

a) Calcule las matrices de impedancias [Z A] y [Z B ], y las matrices de admitancias [Y A ] y [Y B ] de cada uno de los cuadripolos.

AD O

b) Considere ahora los cuadripolos C y D de la figura 2, que consisten en conexiones de los cuadripolos A y B estudiados en el apartado anterior. Caracter´ıcelos mediante los par´ametros de impedancia o admitancia, seg´ un la elecci´on que sea m´as adecuada.

A

A

B

(a) Cuadripolo C .

(b) Cuadripolo D.

BO RR

A

Figura 2

Respuesta:

a) Cuadripolo A es una secci´on en Π sim´etrica: " Y1 + Y2 A [y ] = −Y2 A

A −1

[z ] = [y ]

1 = 2 Y1 + 2Y1 Y2

−Y 2

#

Y1 + Y2 " Y1 + Y2 Y2

(1) Y2 Y1 + Y2

#

(2)

El cuadripolo B puede analizarse por nudos, eligiendo el borne inferior del puerto de la izquierda como tensi´ on de referencia:

1

I1

Va

2Y2

I2

Vb

+

+ V1

Y1

Y1

−

V2 −

2Y2 Vc

I2 = −2Y2 Va + (Y1 + 2Y2 )Vb − Y1 Vc −I2 = −Y1 Vb + (Y1 + 2Y2 )Vc

AD O

Dado que V1 = Va, y V2 = Vb − Vc, entonces

R

I1 = (Y1 + 2Y2 )Va − 2Y2 Vb

I1 = (Y1 + 2Y2 )V1 − 2Y2 Vb

I2 = −2Y2 V1 + (Y1 + 2Y2 )Vb − Y1 (Vb − V2 ) −I2 = −Y1 Vb + (Y1 + 2Y2 )(Vb − V2 )

y despejando Vb de la u ´ ltima ecuaci´on, y sustituyendo en las otras dos, se obtiene el sistema de ecuaciones que define la matriz de admitancias del cuadripolo: ( ) " #( ) I1 Y1 + Y2 −Y2 V1 = I2 −Y2 Y1 + Y2 V2

BO RR

Los cuadripolos A y B tienen por tanto matrices de admitancia e impendancia iguales: A

B

[y ] = [y ] =

"

Y1 + Y2 −Y2

−Y2

Y1 + Y2

#

(3)

[z A ] = [yA ]−1

[z B ] = [yB ]−1 # " 1 Y1 + Y2 Y2 A B [z ] = [z ] = 2 Y1 + 2Y1 Y2 Y2 Y1 + Y2

b) Para analizar conexiones en paralelo suele ser m´as c´omodo utilizar par´ametros de admitancia, especialmente si se cumplen las condiciones de Brune. Cuadripolo C: en la figura 3 se comprueba que se cumplen las condiciones de Brune en la conexi´on en paralelo de la izquierda (y por tanto tambi´en en la de la derecha por ser los cuadripolos que se conectan sim´etricos).

2

Y2 Y1

Y1

V′ =0

Y2 Y1

R

Y1

Figura 3: Verificaci´on de las condiciones de Brune en el cuadripolo C .

AD O

La matriz de admitancias de esta asociaci´ on de cuadripolos en paralelo donde se cumple las condiciones de Brune es la suma de las matrices de admitancia de cada cuadripolo: # " 2 Y + 2Y − 2 Y 1 2 2 (4) [yC ] = 2[yA ] = −2Y2 2Y1 + 2Y2 Cuadripolo D: en la figura 4 se comprueba que no se cumplen las condiciones de Brune en la conexi´ on en paralelo de la izquierda, debido a la corriente I ′ que necesariamente debe circular por la admitancia 2Y2 de la rama inferior del cuadripolo B .

BO RR

Y2

Vg

Y1

Y1 + V V ′ = −I ′ 2Y1 2 = − 2g 6= 0

2Y2

−

Y1

Y1

I′

2Y2

Figura 4: Verificaci´ on de las condiciones de Brune en el cuadripolo D.

La matriz de admitancias del circuito mostrado en la figura 2(b) no es, por tanto, la suma de matrices de admitancias de los cuadripolos A y B, y debe realizarse un an´alisis completo del cuadripolo mostrado en la figura 5. Una alternativa a este an´ alisis es percatarse que la admitancia 2Y2 de la rama inferior del cuadripolo B queda cortocircuitada al realizar la conexi´ on en paralelo, y por tanto el cuadripolo D es equivalente al mostrado en la figura 5, el cual, a su vez, puede describirse como la conexi´ on en paralelo de dos c´ elulas en Π donde es evidente que se cumplen las conexiones de Brune1 .

1

La conexi´ on en paralelo de dos cuadripolos puestos a tierra siempre cumple las condiciones de Brune.

3

Y2

Y2

Y1

Y1

Y1

Y1

2Y2

2Y2

Y1

Y1

Y1

Y1

R

2Y2 Figura 5: Cuadripolo D.

Figura 6: Cuadripolo equivalente al cuadripolo D.

[yD ] =

"

Y1 + Y2 −Y2

−Y2

Y1 + Y2

AD O

La suma de las matrices de admitancia de los cuadripolos marcados con l´ınea discontinua en en la figura 6 proporciona la matriz de admitancias pedida:

#

+

"

Y1 + 2Y2 −2Y2

−2Y2

Y1 + 2Y2

#

=

"

2Y1 + 3Y2 −3Y2

−3Y2

2Y1 + 3Y2

#

BO RR

2. Sea un cuadripolo resistivo Q de par´ametros de impedancia y admitancia conocidos al que se le conecta un transformador ideal de relaci´ on n1 : 1 en la puerta 1 y otro transformador ideal de relaci´ on 1 : n2 en la puerta 2, seg´ un se muestra en la figura. Obtenga la matriz de par´ametros de impedancia y de admitancia del conjunto.

n1 : 1

1 : n2 Q

Respuesta:

Sean V1 , V2 , I1 e I2 las tensiones y corrientes entrantes en los terminales del cuadripolo completo, y sean V 1Q , V2Q, I1Q e I2Q las respectivas tensiones y corrientes del cuadripolo Q, relacionadas por su matriz de par´ametros de impedancia ( ) " #( ) Q I1Q V1 Z11 Z12 = Z21 Z22 I2Q V2Q 4

o a la inversa, por su matriz de par´ametros de admitancia #( ) ( ) " Q V1Q I1 Y11 Y12 = Y21 Y22 V2Q I2Q Las condiciones de tensiones y corrientes del primer transformador son V1 V 1Q

I1

= n1 ,

I1Q

=

1 n1

y las del segundo V 2Q 1 = , n2 V2

R

I2Q = n2 I2

La definici´ on de la matriz de par´ ametros de impedancia de Q da lugar al siguiente sistema de dos ecuaciones lineales: ( Q Q Q V 1 = Z11 I1 + Z12 I 2 Q

Q

AD O

V2Q = Z21 I1 + Z22 I 2

Las tensiones y corrientes se pueden sustituir utilizando las relaciones de los transformadores, con lo que el sistema queda  V1   = Z11 n1 I1 + Z12 n2 I2  n1  V1   = Z21 n1 I1 + Z22 n2 I2 n2 o lo que es equivalente, multiplicando las ecuaciones por n1 y n2 , respectivamente, ( V1 = Z11 n12I1 + Z12 n1 n2 I2

BO RR

V1 = Z21 n1 n2 I1 + Z22 n22 I2

de donde se pueden identificar los coeficientes de la matriz de par´ ametros de impedancia de la red completa, " # Z11 n21 Z12 n1 n2 [Z] = . Z21 n1 n2 Z12 n22

An´alogamente, la matriz de par´ametros de admitancia de Q define otro sistema de dos ecuaciones lineales, ( Q I 1 = Y11 V1Q + Y12 V2Q I2Q = Y21 V1Q + Y22 V2Q

donde haciendo de nuevo las mismas sustituciones de tensiones y corrientes seg´ un las relaciones de los transformadores resulta  V1 V   + Y12 2  n1 I1 = Y11 n1 n2 V V    n2 I2 = Y21 1 + Y22 2 n1 n2 y dividiendo las ecuaciones por n1 y n2 , respectivamente, se llega a  V2 V1    I1 = Y11 2 + Y12 n n n1 1 2 V V    I2 = Y21 1 + Y22 22 n2 n1 n 2 5

De nuevo, los coeficientes son los de la matriz de par´ametros de admitancia del cuadripolo completo,   Y Y12 11  n12 n1 n2  . [Y ] =   Y21 Y22  n1 n2 n22

3. Sea la red en T puenteada de la figura.

R

Z4 Z3

AD O

Z1

Z2

Se pide:

a) Dibujar la red como la conexi´ on en paralelo de dos redes.

BO RR

b) Calcular la matriz de par´ametros de admitancia de la red en T-puenteada. Respuesta:

a) La red en T puenteada del enunciado es la asociaci´ on paralelo de una red en T y una impedancia serie como se muestra en la Figura 1. Z1

Z3

Z2

Z4

Figura 1: Red en T puenteada como asociaci´ on paralelo.

6

b) Es f´ acil comprobar que se cumplen las condiciones de Brune en la asociaci´ on (v´ease la Figura 2) y, por tanto, la matriz de admitancia de la asociaci´ on es la suma de las matrices de admitancia de cada uno de los circuitos asociados. Las matrices de admitancia de los circuitos (c´elula en T e impedancia serie) se indican en la Figura 3. Z3

Z1

Z2 +

R

V =0 −

AD O

Z4

Figura 2: Verificaci´ on de la condici´ on de Brune por el puerto 1 (el resultado por el puerto 2 es id´entico)

A

[Y ] =

"

Z1 + Z2

Z2

Z2

Z2 + Z3

1  Z4  [Y B ] =   1 − Z4 

Z3

BO RR

Z1

#−1

 1 Z4    1 

−

Z4

Z4

Z2

(b): Impedancia serie.

(a): C´elula en T.

Figura 3: Circuitos de la asociaci´ on paralelo y sus matrices de admitancia.

En t´erminos de las admitancias Yi = Z −1 i , las matrices de admitancia de los circuitos quedan:   Y1 Y3 + Y1 Y2 Y1 Y3 " #  Y1 + Y2 + Y3 − Y1 + Y2 + Y3  Y −Y 4 4   [Y B ] = [Y A ] =    −Y4 Y4 Y1 Y3 + Y2 Y3  Y1 Y3 − Y1 + Y2 + Y3 Y1 + Y2 + Y3

7

con lo que la matriz de admitancias de la red en T puenteada es:   Y1 Y3 Y1 Y3 + Y1 Y2 −Y − Y + 4  4 Y1 + Y2 + Y3 Y1 + Y2 + Y3    . [Y ] red en T puenteada =   Y1 Y3 + Y2 Y3  Y1 Y3 Y4 + −Y4 − Y1 + Y2 + Y3 Y1 + Y2 + Y3

4. Sea la red de la figura. C1

R1

AD O

R1

R2

Se pide:

R

C1

C2

a) Dibujar la red como la conexi´ on en paralelo de dos redes.

BO RR

b) Calcular la matriz de par´ ametros de admitancia de la red completa. Respuesta:

a) La red de la figura del enunciado es la asociaci´ on paralelo de dos redes en T tal y como se aprecia en la Figura 1. R1

R1

C2

C1

C1

R2

Figura 1: Red como asociaci´ on paralelo de dos c´elulas en T.

8

b) Es f´ acil comprobar que se cumplen las condiciones de Brune en la asociaci´ on (v´ease la Figura 2) y, por tanto, la matriz de admitancia de la asociaci´ on es la suma de las matrices de admitancia de cada uno de los circuitos asociados. El c´alculo de la matriz de admitancia de cada uno de los circuitos asociados se ha visto en otros ejercicios dado que se trata de redes en T. En la Figura 3 se indican dichas matrices de admitancia. R1

R1

C2 + V =0 −

R

C1

AD O

C1

R2

Figura 2: Verificaci´ on de la condici´ on de Brune por el puerto 1 (el resultado por el puerto 2 es id´entico)

1 sC2



 −1

  1  R1 + sC2

R1

R2 +

 [Y B ] =  

BO RR

 1 R1 +  sC 2 [Y A ] =   1 sC2

1 sC1

R2

R2

  1  R2 + sC1

C1

R1

−1

C1

R2

C2

(b): Red TB

(a): Red TA .

Figura 3: Circuitos de la asociaci´ on paralelo y sus matrices de admitancia.

Realizando la operaci´ on de inversi´ on de matrices indicada anteriormente, se obtiene: 1 + R1 sC2  2R1 + R12sC2  [Y A ] =   1 − 2R1 + R12sC2 

 1 2R1 + R 21 sC2    1 + R1 sC2  2R1 + R12sC2

−

9

sC1 + R2 s2 C12  2sC1 R2 + 1  [Y B ] =   R2 s2 C12 − 2sC1 R2 + 1 

 R2 s2 C12 2sC1 R2 + 1    2 2 sC1 + R2 s C 1 2sC1 R2 + 1 −

Con todo ello, la matriz de admitancias de la red del enunciado es:    1 + R sC 1 R2 s2 C12 sC1 + R2 s2 C12 1 2 − + +  2R1 + R12sC2 2sC1 R2 + 1 2R1 + R 21 sC2 2sC1 R2 + 1     [Y ] red completa =    2 2 2 2  R2 s C1 1 sC1 + R2 s C1  1 + R1 sC2 + − + 2R1 + R12sC2 2R1 + R12sC2 2sC1 R2 + 1 2sC1 R2 + 1

R

5. Sea un cuadripolo Q del que se conocen sus par´ ametros de impedancia [Z] y admitancia [Y ]. ′ Considere el cuadripolo Q resultante de conectar al cuadripolo Q en su entrada y salida sendas impedancias en serie (v´ease la figura 1(a)), y el cuadripolo Q′′ resultante de conectar impedancias en paralelo (v´ease la figura 1(b)).

ZA

AD O

Q′ ZB

Q

[Z], [Y ]

BO RR

(a): Impedancias en serie.

Q′′

YA

Q

YB

[Z], [Y ]

(b): Impedancias en paralelo.

Figura 1: Cuadripolo Q con impedancias a su entrada/salida. Se pide: a) Calcular los par´ametros [Z] o [Y ] (uno de ellos; el que estime oportuno) para el cuadripolo Q′ de la figura 1(a). 10

b) Lo mismo, para el cuadripolo Q′′ de la figura 1(b). Respuesta: a) De acuerdo con las tensiones en entrada y salida del cuadripolo definidas en la figura 2 y las corrientes I1 = I ′1 , I2 = I2′ , definidas en sentido entrante al cuadripolo, se tiene: V1′ = ZA I1 + V1 V2′ = ZB I2 + V2

R

Adem´ as, la relaci´ on entre V1 , V2 y las corrientes es conocida dado que se conocen los par´ametros del cuadripolo Q, ( V1 = Z11 I1 + Z12 I2

Q′ I1′ − →

AD O

V2 = Z21 I1 + Z22 I2

I − →1

I2 ← −

+

+

+

+

V1′

V1

V2

V 2′

−

−

−

−

Q

[Z], [Y ]

ZB

I2′ ← −

BO RR

ZA

Figura 2: Cuadripolo con impedancias en serie (definici´on de tensiones y corrientes en juego). Por tanto, combinando las expresiones anteriores resulta ( V 1′ = ZA I1 + Z11 I1 + Z12 I2 V2′ = ZB I2 + Z21 I1 + Z22 I2

y expresando el sistema de dos ecuaciones en forma matricial se puede despejar la matriz de par´ametros de admitancia, #( ) " # ( ) " I1 Z + Z Z Z12 V1′ ZA + Z11 A 11 12 ⇒ [Z ′ ] = (1) = Z21 ZB + Z22 I2 Z21 ZB + Z22 V2′

N´ otese c´ omo los par´ametros Z21 y Z12 de los cuadripolos Q y Q′ son id´ enticos. El resultado de a˜ nadir impedancias en serie se traduce simplemente en a˜ nadir dichas impedancias de entrada y salida al Z11 y Z22, respectivamente, del cuadripolo original. Una forma alternativa de llegar al resultado anterior para [Z ′ ] es considerando el circuito equivalente en T de un cuadripolo del que se conocen sus par´ ametros [Z]. Dicho circuito 11

equivalente se muestra en la figura 3, donde se a˜ n ade el generador dependiente de tensi´ on en el caso de que el cuadripolo no sea rec´ıproco. I1 − → + Q

V1

[Z ]

−

I2 ← −

I − →1

+

+

V2

V1

−

−

Z11 − Z12

Z22 − Z12

+

(Z21 − Z12 )I1

Z12

R

+ V1

ZA

Z11 − Z12

Z22 − Z12

Z12

+

ZB

(Z21 − Z12 )I1

BO RR

−

Q

AD O

Si al circuito equivalente del cuadripolo Q de la figura 3 se le a˜ naden las impedancias serie ZA y ZB , se obtendr´ a el circuito de la figura 4. A partir de dicha figura, es f´ acil inferir el resultado mostrado en (1) para los par´ametros de impedancia del cuadripolo Q′ .

I1 − →

I2 ← − + V2 −

Figura 4: Circuito equivalente en T del cuadripolo Q con impedancias serie

b) En el caso del cuadripolo Q′′ , las tensiones en los terminales son iguales que en el cuadripolo interno Q, la corriente a la entrada de Q′′ es la suma de la que entra al cuadripolo Q y la que circula por YA (de valor YA V1 ), mientras que la corriente a la salida de Q′′ es la suma de la que entra a Q y la que circula por YB (de valor YB V2 ). Esto da lugar a un an´alisis dual, del que resulta la matriz de par´ ametros de admitancia " # YA + Y11 Y12 ′ [Y ] = Y21 YB + Y22 con conclusiones an´alogas (duales) a las del apartado anterior.

6. Considere los cuadripolos A, B y C de la figura 1. 12

+ V2 −

Figura 3: Circuito equivalente en T del cuadripolo Q

Q′

I2 ← −

R1

R1

R1 /2

R1 /2

R2

R2 R1 /2

R1 /2

(b) Cuadripolo B .

(a) Cuadripolo A. R3

R

R4

R4

AD O

R3 (c) Cuadripolo C . Figura 1

a) Calcule las matrices de impedancias, [z A ], [z B ] y [z C ]; y las matrices de admitancias [yA ], [yB ], y [yC ], de cada uno de los cuadripolos. b) Caracterice la uni´ on en paralelo de los cuadripolos A y C mediante los par´ ametros de admitancia o impedancia, seg´ un la elecci´ on que le parezca m´as adecuada.

BO RR

c) Caracterice la uni´ on en paralelo de los cuadripolos B y C mediante los par´ametros de admitancia o impedancia, seg´ un la elecci´ on que le parezca m´as adecuada. d) Teniendo en cuenta los resultados anteriores, indique si los cuadripolos A y B son o no son equivalentes, o bajo qu´e condiciones lo ser´ıan.

NOTA: Una vez calculadas las expresiones pedidas en funci´on de R1 , R2 , R3 y R4 , no es necesario simplificarlas. Respuesta:

a) Cuadripolo A es una secci´ on en T sim´etrica: " R1 + R2 A [z ] = R2

R2 R1 + R2

#

El cuadripolo B puede analizarse por mallas2 : 2 Observese que no se est´ a aplicando el m´ etodo sistem´ a tico de an´ a lisis por mallas, pues no se han definido las corrientes de malla I1 y I2 en el mismo sentido. En consecuencia las ecuaciones de cada malla no son como las que se obtienen habitualmente cuando se aplica dicho m´ etodo sistem´ a tico. Se ha hecho as´ı para que las corrientes de malla coincidan con las corrientes de entrada al cuadripolo. Obviamente, tambi´en podr´ıa haberse hecho aplicando el m´ etodo sistem´ a tico y cambiado luego el signo a una de las corrientes.

13

R1 /2

R1 /2 +

+ I1

V1 −

I2

R2 R1 /2

R1 /2

V2 −

AD O

R

 R1 R1  ( ) " #( ) V1 = I1  I1 + R2 (I1 + I2 ) + V I1 R + R R 1 1 2 2 2 2 ⇒ = R1  R1 I2 R2 R1 + R2 V2 I2  I2 + R2 (I1 + I2 ) + V2 = 2 2 Los cuadripolos A y B tienen por tanto matrices de impedancia iguales: " # R1 + R2 R2 A B [z ] = [z ] = R2 R1 + R2 La matriz de admitancia de cada circuito se pueden obtener invirtiendo su matriz de impedancia: [yA ] = [z A ]−1

[yB ] = [z B ]−1 # " R + R −R 1 1 2 2 [yA ] = [yB ] = 2 R 1 + 2R1 R2 −R2 R1 + R2<...