Ejercicio 1 - macroeconomia con el profesor nunura PDF

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS (Ejercicio 1) Prof. Juan Nunura Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales: 1,t x 1,t x 2,t z 2,t z 3,t 2,t x1, t x 2,t z 1,t z 3,t Se pide: a. Si x t es la variable y z t es la variable indica cada diferencial? Exprese en matricia...

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UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS TEORÍA MACROECONÓMICA III (Ejercicio Nº 1) Prof. Juan Nunura

1.- Considere el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

´x 1,t = α x 1,t + β x 2,t ´x 2,t = - γ x 1,t + δ

-

z 2,t x 2,t

z 3,t

+ +

η

z 1,t

+

z 3,t

Se pide: a. Si x t es la variable endógena y z t es la variable exógena, ¿Qué indica cada ecuación diferencial? Exprese en notación matricial el sistema de ecuaciones.

[]

z β x 1,t + 0 −1 1 1,t z δ x 2,t η 0 1 2,t z 3,t

[ ][

][ ] [

x´ 1,t = α ´x 2,t −γ

]

b. Analice el tipo de estabilidad del sistema dinámico. DET(A-λi)=0 DET

[

α −γ

] [ ]]

DET

[

α−λ β =0 −γ δ−λ

β −λ 1 0 =0 0 1 δ

( α−¿ λ)( δ

λ

2

]]

- λ)+ β γ =0

-( α+ δ )λ+( β γ+ α δ )=0

β γ+ α δ ¿ λ ₁; λ ₂= ( α+δ )−4 ¿ (α+ δ)± √¿ ¿

λ ₁>0 ; λ ₂>0 El sistema es una inestabilidad global, lo que significa que ante cualquier perturbación de los agentes económicos el sistema tiende alejarse del equilibrio

c. Determine el nivel de las variables endógenas en estado estacionario, es decir, el valor de ´x 1, t y ´x 2, t . Explique sus resultados.

[ ]

x´ 1 ,t =−A−1 B z t x´2 ,t

[

α −γ

A=

A

−1

β δ

]

[

0 −1 1 B= η 0 1

]

zt =

[] z 1,t z 2,t z 3,t

δ −β [ γ α] =

β γ +α δ

[

]

δ −β − z γ α 0 −1 1 1,t x´ 1 ,t = z β γ +α δ η 0 1 2,t x´ 2 ,t z 3,t

[ ]

[

]

[]

β−δ δ βη z +¿ z z +¿ ´x 1, t β γ +α δ 1,t β γ+ α δ 2,t β γ+α δ 3, t = γ +α −α η γ ´x 2, t z2, t−¿ z z 1,t +¿ β γ+ α δ β γ+ α δ 3,t β γ+ α δ d. Determine analítica y gráficamente las condiciones de equilibrio dinámico parcial para cada variable endógena y sus variaciones repecto al tiempo, ´x t , en situación de desequilibrio (el diagrama de flujos). Igualamos ´x 1,t =0 y lo derivamos para obtener su pendiente; lo mismo con

´x 2,t=0 ´x 1,t = α x 1,t

x 2,t=

+

β x 2,t

-

z 2,t

+

z 3,t =0

−α x1, t z 2,t z 3,t + − β β β

x 2,t −α 0 1, t

PUNTO B DESVIACION

x 1,t - ´x 1, t 0

COEFICIENTE

COEFICIENTE

´x 2,t

=-

x 2,t=

γ x1, t η z 1,t z 3,t − − δ δ δ

γ x 1,t

+

d x1,t γ ∨¿ ´x = >0 δ d x2,t ¿ Punto A Desviación x 2,t - ´x 2, t >0 COEFICIENTE δ>0

δ

x 2,t

+

η

z 1,t

α>0

+

z 3,t =0

2,t

PUNTO B DESVIACION x 2,t - ´x 2, t 0

e. Construya el diagrama de fase del sistema dinámico y explique su comportamiento en equilibrio y desequilibrio.

El comportamiento que tiene es el de un sistema en inestabilidad global, lo que significa que ante cualquier perturbación de los agentes económico no vuelve a un estado estacionario

f.

Analice los efectos de un aumento en corto plazo.

z 2,t

sobre las variables endógenas en el largo y

En un largo y en una corto plazo el sistema no va alcanzar un nuevo estado estacionario 2.- Realice la resolución numérica del sistema dinámico teniendo en cuenta los siguientes valores de los parámetros y de las variables exógenas: Valores de los parámetros

α = 0.50 β=0.10 γ =0.15 δ=0.30 η=0.60 Valor Inicial de las variables exógenas (etapa en la que no se produce ninguna perturbación)

z 1, t =−2 z 2 ,t =−2 z 3 ,t =−2

Se pide: 1. Resuelva numéricamente el sistema dinámico. Estime el valor de las variables endógenas en el estado estacionario, verificando previamente que las raíces del sistema son números reales.

βη δ β−δ z +¿ z +¿ z ´x 1, t β γ +α δ 1,t β γ+ α δ 2,t β γ+α δ 3, t = −α η γ +α γ ´x 2, t z −¿ z z +¿ β γ+ α δ 3,t β γ+ α δ 1,t β γ+ α δ 2, t 0.3 0.1∗0.6 0.1−0.3 ∗−2+¿ ∗−2 ∗−2+¿ ´x 1, t 0.1∗0.15 + 0.5∗0.3 0.1∗0.15+0.5∗0.3 0.1∗0.15 + 0.5∗0.3 = 0.15 + 0.5 −0.5∗0.6 0.15 ´x 2, t ∗−2 ∗−2−¿ ∗−2+¿ 0.1∗0.15 + 0.5∗0.3 0.1∗0.15 + 0.5∗0.3 0.1∗0.15 + 0.5∗0.3 EE Inicial x1

-1.939

x2

9.697

2. Construya la senda temporal de las variables endógenas en la situación inicial de estado estacionario. Variables Variación temporal de var endógenas endógenas Tiempo x1 x2 dx1 dx2 EE Inicial -1 -1.939 9.697 0 0

z Cambia

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939 -1.939

9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697 9.697

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

14 15

-1.939 -1.939

9.697 9.697

0 0

0 0

Variable x1 0.000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

-0.500 -1.000 -1.500 -2.000 -2.500

Variable x2 12.000 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0.000

0

1

2

3

4

5

6

7

3. Analice el efecto de las siguientes perturbaciones: 3.1 Un aumento de z 2,t =−2 a z 2,t =−1 . EE Inicial x1 -1.939 x2 9.697 EE Final x1 -0.121 x2 10.606

8

9

10

11

12

13

14

15

Variable x1 0.000 0 -20.000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

9

10

11

12

13

14

15

-40.000 -60.000 -80.000 -100.000 -120.000 -140.000

Variable x2 50.000 0.000 0

1

2

3

4

5

6

7

-50.000 -100.000 -150.000 -200.000 -250.000

3.2 Una disminución de EE Inicial x1 x2 EE Final x1 x2

z 3,t=−2 a

z 3,t=−3 . -1.939 9.697 -0.727 13.636

8

Variable x1 0.000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

9

10

11

12

13

14

15

-50.000 -100.000 -150.000 -200.000 -250.000 -300.000

Variable x2 50.000 0.000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

-50.000 -100.000 -150.000 -200.000 -250.000 -300.000 -350.000 -400.000 -450.000

4. Considerando la perturbación 3.2) del ejercicio anterior, analice el efecto de una disminución en el valor del parámetro α = 0.50 a α = 0.30 sobre las variables endógenas. Estime el valor de las variables endógenas en el estado estacionario inicial y en su nuevo estado estacionario. Grafique la dinámica que sigue cada variable endógena ante la indicada perturbación y el cambio de parámetro. EE Inicial x1 -3.048 x2 9.143 EE Final x1 -1.143 x2 13.429

Variable x1 0.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

9

10

11

12

13

14

15

-20.000 -40.000 -60.000 -80.000 -100.000 -120.000 -140.000

Variable x2 50.000 0.000 0 -50.000 -100.000 -150.000 -200.000

1

2

3

4

5

6

7

8...