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EJERCICIO #5: EJERCICIO #5:

Esfera Con Generación Uniforme de Calor

Esfera Con Generación Uniforme de Calor

Encuentre el perfil de temperaturas definido en el interior de una esfera de uranio radioactivo. Considere que la esfera tiene un radio R, una conductividad térmica k, un calor específico c, una generación uniforme y constante de calor u y el sistema se encuentra en estado estacionario. Resuelva la Ecuación de Balance de Calor en coordenadas esféricas, considerando la Ley de Conducción de Fourier. Considere que la esfera está sumergida en un fluido que provoca que la temperatura en su superficie de la misma sea constante e igual a T0. También considere que la conducción del calor ocurre en la dirección radial, es decir se presenta una conducción unidimensional. Datos:

R = 25 cm T0 = 40 °C

ρ = 19 050 kg/m3 TMAX = ¿?

k = 27.6 W/(mC°)

c = 120 J/(kgC°)

u = 20 000 W/m3

Resuelva la Ecuación de Balance de Calor en coordenadas esféricas, considerando la Ley de Conducción de Fourier. A) B) C) D) E) F)

Plantear apropiadamente la Ecuación de balance de Calor. Plantear apropiadamente las condiciones de frontera. Encontrar el perfil de temperaturas indefinido y definido. ¿Dónde está y cuánto vale la temperatura máxima? (fórmula algebraica y dato numérico) Encuentre una expresión para el vector flujo de calor. Además, sustituya los valores numéricos disponibles. Realizar la gráfica del perfil de temperaturas definido.

r r

1

R

EJERCICIO #5:

Esfera Con Generación Uniforme de Calor

SOLUCIÓN A) En este caso tenemos una esfera de uranio con generación uniforme de calor, la cual debe ser considerada como constante y diferente de CERO, (u = constante, u ≠ 0). Sabiendo que nos encontramos en estado estacionario, entonces NO existe dependencia del tiempo, es decir, (∂T/∂t = 0). Además, la redacción nos indica que sólo existe flujo de calor en la dirección radial, por lo cual la temperatura NO depende de las coordenadas angulares (θ, φ), por lo que las derivadas correspondientes son cero, es decir, (∂T/∂θ = 0 , ∂T/∂φ = 0).

Ecuación Diferencial del Calor

B) Ahora vamos a plantear las condiciones de frontera. En el centro de la esfera la temperatura debe alcanzar un máximo, por lo cual la derivada de la temperatura respecto a r debe ser cero, r = 0 se debe cumplir ∂T/∂r = 0, sin embargo, la temperatura en este punto debe ser finita. Por otro lado, en la superficie de la esfera la temperatura debes ser T0. Por lo tanto, para r = R se debe cumplir que T = T0.

2

EJERCICIO #5:

Esfera Con Generación Uniforme de Calor

C) Ahora vamos a resolver la ecuación diferencial para encontrar el Perfil de Temperaturas Indefinido. Integrando dos veces tenemos:

Perfil de Temperaturas Indefinido

NOTA IMPORTANTE: NO confundir las constantes de integración c1 y c2 con la capacidad calorífica c. Ahora vamos a sustituir las condiciones de frontera para obtener el valor de las constantes de integración y así obtener el Perfil de Temperaturas Definido. Al sustituir las condiciones de frontera obtenemos un sistema de ecuaciones simultáneas.

Sustituyendo c1 y c2 en el perfil de temperaturas indefinido tenemos: Perfil de Temperaturas Definido

3

EJERCICIO #5:

Esfera Con Generación Uniforme de Calor

D) Ahora vamos a encontrar el valor de la temperatura máxima. Sólo es necesario calcular la derivada e igualarla a cero, recordemos que “En un máximo o mínimo, la derivada de la función debe ser cero”.

Por lo anterior, la temperatura máxima se encuentra en rMAX = 0, exactamente en el centro de la esfera.

E) Ahora vamos a encontrar una expresión algebraica para el vector flujo de calor y su magnitud.

Ahora vamos a sustituir los datos disponibles en las expresiones anteriores:

4

EJERCICIO #5:

Esfera Con Generación Uniforme de Calor

F) Finalmente, vamos a realizar la gráfica del perfil de temperaturas. Solamente hay que tabular entre r = 0 m y r = 0.25 m.

[m] 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25

T [°C] 47.54830918 47.53623188 47.50000000 47.43961353 47.35507246 47.24637681 47.11352657 46.95652174 46.77536232 46.57004831 46.34057971 46.08695652 45.80917874 45.50724638 45.18115942 44.83091787 44.45652174 44.05797101 43.63526570 43.18840580 42.71739130 42.22222222 41.70289855 41.15942029 40.59178744 40.00000000

Temperatura como función de la posición 50 49 Temperatura de la esfera en grados Celsius

r

48 47 46 45

44 43 42 41 40 0

0.05

0.1

0.15

Posición en el eje r en metros

5

0.2

0.25...