Lamina Nº 3 Secciones Conicas LA Elipse PDF

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SECCIONES CONICA. LA ELIPSE

SECCIONES CONICAS DEFINICIÓN Son las figuras geométricas planas determinadas por las intersecciones de un cono circular recto de revolución, con planos que tienen un ángulo de inclinación con los elementos del cono. TIPOS DE CONICAS Las cónicas que se pueden generar son: Circunferencia Cuando el plano de intercepta al cono de revolución recto, con un ángulo de 90° con el eje del cono. Elipse Cuando el plano de intersección intercepta al cono de revolución recta, con un ángulo de mayor al que hace las generatrices con el eje del cono y menor de 90°. Parábola Cuando el plano de intersección es paralelo a una de las generatrices del cono. Hipérbola Cuando el plano de intersección es paralelo al eje del cono.

LA ELIPSE DEFINICIÓN Es el lugar geométrico plano, generado por un punto que se mueve de tal manera que la suma de las distancias de dicho punto a otros dos fijos llamados focos, es una distancia constante entre los focos llamada distancia focal. ELEMENTOS DE UNA ELIPSE Diámetros o eje mayor y menor, mutuamente perpendiculares por sus puntos medios. Focos dos puntos fijos determinados, en el eje mayor y con radio igual a la mitad de éste. Centro de la elipse, punto medio de intersección de los diámetros o ejes METODOS DE CONSTRUCCIÓN DE UNA ELIPSE METODO DE LA DEFINICIÓN DATOS Los diámetros o ejes reales AB y CD. PROCEDIMIENTO DE SOLUCION

a) Haciendo centro en el punto C o D, extremos del diámetro menor y con un radio igual a la mitad del diámetro mayor AB/2 = AO, corte al diámetro mayor AB en los focos F y F’.

b) Tomando puntos cualquiera sobre el segmento OF, tal como 1, 2, 3, 4, etc.

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c) Haciendo centro en el foco F y con un radio igual a A1, descríbase una circunferencia.

d) Haciendo centro en el foco F’

y con un radio igual a B1, corte a la circunferencia anterior en los punto a y a’, que pertenecen a la elipse.

e) Repita el mismo procedimiento anterior tomando otros puntos 2, 3, 4, etc., determinados sobre el segmento OF, cuantos puntos sean necesarios para que la elipse quede perfectamente determinada. f)

Los puntos obtenidos con el procedimiento anterior deben unirse para completar la curva, mediante pistolete.

g) Este mismo procedimiento se seguirá para los puntos 1’, 2’, 3’, 4’, etc.de la rama derecha de la elipse

C

a

AB/2

A1

F

A

1

2

3

4

O

4'

3'

2'

1'

F'

B

A1 B1

b

D

METODO DE LA DEFINICION

METODO DE LA CIRCUNFERENCIAS DIRECTRICES DATOS Los diámetros o ejes reales AB y CD y el centro de la elipse O PROCEDIMIENTO DE SOLUCION a) Se determinan los focos F1 y F2 . b) Haciendo centro en cada uno de los focos F 1 y F2 se trazan las circunferencias directrices

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Circunferencia directriz. Es la que tiene por radio la longitud del diámetro o eje mayor y tiene como centro a los focos c) Se toman puntos en las circunferencias y se trazan sus radios, se delinean segmentos de rectas de cada uno de estos puntos hacia el otro foco y luego se determina su mediatriz la cual al intersecarse con el radio de la circunferencia directriz se obtienen los puntos de la elipse. d) Este procedimiento se realiza tomando las dos circunferencias directrices correspondientes a los dos focos e) Los puntos determinados de esta manera se une con pistolete o curvigrafo en forma continua y uniforme

CIRCUNFERENCIA DIRECTRIZ

CIRCNFERENCIA DIRECTRIZ

C b

AB

F

F'

O

A

B AB

a

D

METODO DE LA CIRCUNFERENCIA DIRECTRIZ

METODO DE LA CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS DATOS Los diámetros o ejes reales AB y CD y el centro de la elipse O PROCEDIMIENTO DE SOLUCION a) Haciendo centro en O y con radios iguales a la mitad de cada uno de los diámetros de la elipse se trazan dos circunferencias concéntricas. b) Trazando radios en forma arbitraria y tomando los puntos de intersección de cada de las circunferencias se trazan rectas paralelas a los diámetros, las cuales al intersecarse determinan los puntos de la elipse, teniendo en cuenta que las paralelas se tomaran por los puntos de intersección de los radios con

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las circunferencias, a la de mayor radio paralela al eje mayor y a la de menor radio paralela al eje mayor. c) Los puntos encontrados de esta forma se conectan con pistolete o curvigrafo en forma continua y uniforme

C

AB/2

A

CD/2

O

B

D

METODO DE LAS CIRCUNFERENCIAS CONCENCENTRICAS

METODO DEL PARALELOGRAMO DATOS La longitud de los diámetros mayor y menor AB y CD PROCEDIMIENTO DE SOLUCION a)

Se trazan los ejes mutuamente perpendiculares por sus puntos medios, determinando en su intersección el centro de la elipse O, en este metodo no es necesario determinar los focos.

b)

Por los extremos de los diámetros mayor y menor A, B, C y D se trazan paralelas, obteniéndose el paralelogramo EHGF que inscribirá a la elipse, la construcción de la misma(elipse) se ejecutara por etapas, en los rectángulos ECOA, CHBO, AODF y OBGD, respectivamente.

c) Para el rectángulo ECOA se dividen los segmentos AO y AE en partes iguales numerándolos a partir del punto A. Luego se une los puntos de división del segmento AE con el punto C y el punto D con los puntos de división del segmento AO, prolongándolos hasta interceptar a las rectas que divergen del punto C y que unen a los puntos de división de AE de igual numeración.

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d) Los puntos encontrados de esta forma se conectan con pistolete o curvigrafo en forma continua y uniforme

C

E

H

4

4

3

3

2

2

1

A

1 1

2

3

4

O

4

3

2

1

B

1

1

2

2

3

3

4

4

D

F

G

METODO DEL PARALELOGRAMO

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