Ecuaciones de la Elipse. Geometría Analítica. PDF

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Resumen de la teoría de las ecuaciones de la elipse. Incluye definiciones y fórmulas....

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA CURSO DE NIVELACIÓN GEOMETRÍA Y TRIGONOMETRÍA CLASE N°38

ELIPSE 1. Objetivo Identificar, interpretar y aplicar las propiedades de la Elipse 2. Logros de aprendizaje De conocimientos • • •

Conoce los elementos, ecuación y propiedades de la elipse. Conoce los elementos, ecuación y propiedades de la elipse desplazada. Conoce el procedimiento para resolución de ejercicios de elipse y elipse desplazada.

De destreza •

Identifica, interpreta y aplica las propiedades para resolución de ejercicios de elipse y elipse desplazada.

De Valores • El estudiante manifiesta sentido de responsabilidad, honestidad, respeto y predisposición al trabajo. 3. Desarrollo de la clase

Definición.- Es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos del mismo plano, llamados focos F 1 y F2, es una cantidad constante, mayor que la distancia entro los focos. Esta cantidad constante es 2a. Representación gráfica y elementos Centro: C Focos: F1 y F2  1 𝐹2 Eje focal: 𝐹  Eje Mayor: 𝐴𝐷  Eje Menor: 𝐵𝑁 Vértices: A, B, D, N  Cuerda: 𝐼𝐽 Cuerda Focal:  𝐾𝐿  =  𝐺𝐻 Lado Recto: 𝐸𝐹  Radio Focal: 𝐹2 𝐾 𝑑 Excentricidad: 1 𝑑2

2 Directriz: 𝐿 1 y 𝐿

1

La excentricidad de una elipse es siempre menor a 1, se define como:

𝑑1 𝑑2

=

𝑐 𝑎

✓ a: es la distancia del centro a uno de los vértices del eje mayor ✓ b: es la distancia del centro a uno de los vértices del eje menor. ✓ c: es la distancia del centro a uno de los focos.

Ecuaciones canónicas •

Eje focal: Eje X Centro: (0;0)

Eje Mayor: Eje X Eje menor: Eje Y 𝒂𝟐 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑒=

𝒄 𝒂

𝑳𝑹 =

𝟐𝑏𝟐 𝒂

ECUACIÓN 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + =𝟏 𝒂 𝟐 𝒃𝟐

•

Eje focal: Eje Y Centro: (0;0)

Eje Mayor: Eje Y Eje menor: Eje X 𝒂𝟐 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑒=

𝒄 𝒂

𝑳𝑹 =

𝟐𝑏𝟐 𝒂

ECUACIÓN 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + =𝟏 𝒃𝟐 𝒂 𝟐

2

Ecuaciones Ordinarias (Elipse trasladada) •

Eje focal: Paralelo al Eje X Centro: (h; k) Eje Mayor: ∥ Eje X Eje menor: ∥ Eje Y 𝒂𝟐 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑒=

𝒄 𝒂

𝑳𝑹 =

𝟐𝑏𝟐 𝒂

ECUACIÓN (𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐 =𝟏 + 𝒃𝟐 𝒂𝟐

•

Eje focal: Paralelo al Eje Y Centro: (h; k) Eje Mayor: ∥ Eje Y Eje menor: ∥ Eje X 𝒂𝟐 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝑒=

𝒄 𝒂

𝑳𝑹 =

𝟐𝑏𝟐 𝒂

ECUACIÓN (𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐 + =𝟏 𝒃𝟐 𝒂𝟐

3

Ecuación General de Segundo Grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Ecuación Elipse (𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐 + =𝟏 𝒂𝟐 𝒃𝟐 (x 2 − 2hx + h2 )b2 + a2 (y 2 − 2ky + k2 ) = a2 b2 b2 x 2 − 2b2 hx + b2 h2 + a2 y 2 − 2a2 ky + a2 k 2 − a2 b2 = 0 Ordenar: A = b2 C = a2 D = −2b2 h E = −2a2 k F = b2 h2 + a2 k 2 − a2 b2

𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

Ec. General de la Elipse

B=0 A ≠ C y tienen mismo signo. Ejemplo 3x2 + 4y2 − 18x + 16y + 43 = 0 3(x 2 − 6x + 9) + 4(y 2 + 4y + 4) = −43 + 27 + 16 3(x − 3)2 + 4(y + 2)2 = 0 𝐶(3, −2)

4. Bibliografía • • •

CALVACHE, Gonzalo. y LEÓN, Carlos. (2019). Geometría Plana, Trigonometría, Geometría del Espacio, Geometría Analítica. ISBN-978-9942-20-363-2. HEMMERLING, Edwin M. (2005). Geometría Elemental. México. 1975. Limusa. MOISE, Edwin E. FLOYD, L. DOWNS, Jr. Serie Matemática Moderna. Bogotá. 1972. Norma. Tomo4.

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