Lesmatrices : Resolution Matricielle des Systemes PDF

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cours des L1 Eco Gestion de mathematiques. université de rouen...

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RESOLUTION MATRICIELLE DES SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES Formulation matricielle des systèmes d’équations linéaires On appelle système d'équations linéaires un ensemble de n équations à p inconnues devant être vérifiées simultanément et présentant la forme suivante : 1  11 . 1 12 . 2 ... 1 .  21 1 22 2 2 . ... 2 .  .  (1)  ...........................................  1 . 1 2 . 2 ... .

Les p termes x1, x2, ... , xp sont des réels appelés inconnues ou variables du système. Les n . p termes a11, ... , anp, sont des données ou des paramètres réels (des complexes), appelés coefficients des inconnues Les n termes d1, d2, ... , dn, sont des réels, dits seconds membres du système. Les propriétés des opérations matricielles permettent de donner à ce système l’expression suivante :

 11  21   ...   1 ou encore :

(2) M . X = D

12

...

... ... ... 22

2

...

avec M

  2  ...    1

 1  1      2  2 .  ...  =  ...             

Mn,p(IR), X

Mp,1(IR) et D

Mn,1(IR)

Interprétation Par construction, le système d'équations est associé à une application linéaire (f) de IRp dans IRn, que l'on peut définir comme suit :

     

(1,0,0,...,0) ( 11,

,...,

21

)

1

(0,1,0,...,0) ( 12 , 22,..., 2 ) ........................................... (0,0,0,...,1) (

1

,

2

,...,

)

 11  21  M =  ...   1

12

...

... ... ... 22

2

...

  2  ...  .   1

où M la matrice associée dans les bases canoniques Bp et Bn de IRp et IRn 1

Les systèmes de Cramer Définition On appelle système de Cramer un système d'équations auquel est associé une application linéaire bijective. L'application étant linéaire toutes les équations sont linéaires. L'application étant bijective, le système comporte autant d'équations indépendantes que d'inconnues et la solution (le vecteur X) est unique. Autrement dit, la matrice associée au système est carrée et régulière : son déterminant est non nul.. Un système de Cramer, possédant n équations et n inconnues x1, x2, ... , xn , se présente donc comme suit :

 a 11.x1 a 12.x2 ... a1n.xn d 1  a 21.x1 a22 .x2 ... a 2n.x n d 2  ...........................................   a n1.x1 an 2.x2 ... ann.xn d n

l'application linéaire associée étant bijective.

Soit, sous forme matricielle :

a 11 a 12 a 21 a 22  ... ... a n1 an 2 avec

A

... a 1n  ... a2n  ... ...  ... ann 

.

 x1  x2  ...    xn 

=

 d1  d2  ...    dn

a11 a12 ... a1n avec

a 21 a 22 ... a 2n ... ... ... ... an1 an2 ... a nn

0 ou encore : A . X = D

0.

Résolution des systèmes de Cramer On peut résoudre un système de Cramer de diverses manières. Trois méthodes faisant appel au calcul matriciel (ou aux déterminants) seront présentées ici : celle de la matrice inverse, celle dite de Cramer, enfin celle du pivot. La méthode de la matrice inverse Elle consiste à calculer l'inverse de la matrice associée A (A-1 ) puis à multiplier à gauche chaque membre de l'équation matricielle par cette inverse : (A . X = D) (X = A-1. D).

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Le vecteur unicolonne X des inconnues du système s'obtient ainsi en cherchant l'image du vecteur second membre D, par la matrice inverse A-1 associée à la réciproque de l'application du système. La méthode de Cramer Elle permet de calculer une à une les valeurs des inconnues vérifiant le système : 1- on calcule le déterminant de A (et l'on trouve A 0) 2- pour chaque inconnue xj, on divise par A le déterminant de la matrice A dans laquelle on a remplacé la j ème colonne par le vecteur second membre D :

j = 1, ... , n

xj =

a11 ... a i1 ... an1

... a 1( j 1) ... ... ... a i (j 1) ... ... ... a n( j 1)

d1 ... di ... dn A

a 1( j ... a i (j ... a n( j

1)

1)

1)

... ... ... ... ...

a 1n ... ai n ... an n

.

Préalable à la résolution des systèmes non cramériens : rang d'une matrice Définition et propriétés On appelle rang d'une matrice (carrée ou rectangulaire) le nombre maximal de ses vecteurs colonnes linéairement indépendants. C'est dire que le rang d'une matrice est encore celui de l'application linéaire qui lui est associée. On a vu en effet que le rang d'une application f n'est autre que le nombre maximal de vecteurs extraits de la partie f(B) qui est l'image par l'application f d'une base quelconque B de l'ev de départ de f. Or, par construction des matrices, la partie f(B) donne les vecteurs colonnes de la matrice associée. Par définition du rang d'une famille de vecteurs, le rang d'une matrice est aussi celui de la famille constituée des vecteurs colonnes de cette matrice. Propriétés a. Une matrice A à n lignes et p colonnes a un rang au plus égal au minimum de n et de p : rang A

n et rang A

p ce que l'on notera encore

rang (A)

min (n, p).

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Par définition, le rang est en effet inférieur ou égal à p, le nombre de colonnes de A. De plus, si p est plus grand que n, le nombre de lignes de A, le rang ne peut être supérieur à n puisque, comme on a vu dans le premier chapitre, p vecteurs de Kn sont liés si p > n. b. Soit A une matrice carrée. A est régulière ssi son rang est égal à son ordre. A étant carrée d'ordre quelconque n et régulière, son déterminant est non nul, ses n vecteurs colonnes sont linéairement indépendants et son rang est n. Réciproquement, si rang A = n, son déterminant est non nul et la matrice est régulière. b. Le rang d'une matrice singulière (carrée ou non) est l'ordre le plus élevé possible de ses sous-matrices régulières (lorsqu'elles existent). On verra en effet dans le paragraphe suivant que le rang d'une matrice A est l'ordre du plus grand déterminant non nul qui en est extrait, donc de sa plus grande sous-matrice régulière. Si A ne possède pas de sous-matrices régulières son rang est 0 ou 1 : il est nul quand A est la matrice nulle et égal à un quand A comporte un terme non nul au moins.

Méthode pratique de calcul du rang d'une matrice Méthode des déterminants Propriété : le rang d'une matrice est égal à l'ordre de la plus grande sous-matrice carrée de déterminant non nul que l'on puisse en extraire. La méthode est longue mais l'identification de la valeur du rang par les déterminants est rapide par transformation de la matrice initiale en une matrice diagonale ou quasidiagonale de même rang. Méthode de la mise sous forme diagonale ou quasi-diagonale La méthode consiste, par opérations successives, à transformer la matrice initiale en une matrice diagonale possédant le même rang. L'identification du rang d'une matrice diagonale ou quasi-diagonale A est en effet immédiat : c'est le nombre de termes non nuls figurant sur la diagonale (pour une matrice carrée) ou sur une quasi-diagonale (pour une matrice non carrée) de A. On a vu en effet que le déterminant d'une matrice diagonale carrée d'ordre n est égal au produit des éléments de sa diagonale principale. Le rang est donc n si tous les termes de la

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diagonale sont non nuls. Il sera d'ordre (n -1) s'il y figure un seul terme nul puisqu'on peut extraire une sous-matrice de cet ordre de déterminant non nul, etc. Ce raisonnement s'applique pour une matrice non carrée dont tous les termes sont nuls hormis éventuellement ceux d'une quasi-diagonale (descendante) quelconque : le nombre de termes non nuls de la quasi-diagonale donne le rang puisque celui-ci est égal à l'ordre le plus élevé des sous-matrices de déterminant non nul. Il s'agit donc à présent de préciser par quelles opérations on peut mettre une matrice sous forme diagonale ou quasi-diagonale sans en modifier le rang. Technique de mise sous forme diagonale Les trois opérations suivantes ne modifient pas le rang d'une matrice A de Mn,p (K) : 1. Additionner à une ligne (ou colonne) de A une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes). Cette opération, qui n'est autre que la méthode d'apparition des zéros, ne change pas la valeur des déterminants des sous-matrices (carrées), donc le rang de A. 2. Multiplier une ligne ou une colonne de A par un élément non nul de K. Le rang ne change pas puisqu'en multipliant une ligne ou une colonne de A par un terme non nul, on multiplie sans les annuler les déterminants des sous-matrices contenant cette ligne ou colonne. 3. Permuter (on dit encore échanger) entre elles deux lignes ou deux colonnes de A. Une permutation change le signe des déterminants des sous-matrices concernées mais ne les annule pas. On utilise donc ces opérations pour transformer une matrice quelconque en matrice diagonale ou quasi-diagonale. Remarques - Dans le cas d'une matrice carrée, on peut calculer le rang en triangulant son déterminant : le nombre de termes non nuls de la diagonale donne ici encore le rang. - La quasi-diagonale obtenue à partir d'une matrice rectangulaire à n lignes et p colonnes comporte min(n, p) termes. On retrouve la condition : rang (A) n et rang (A) p. - La recherche du rang d'une matrice contenant des paramètres appelle quelques précisions : 5

. on peut annuler un paramètre à l'aide d'une constante . on ne peut pas, par contre, multiplier une ligne ou une colonne que l'on modifie par un terme paramétrique ou diviser par celui-ci dans une combinaison linéaire de vecteurs car cela suppose qu'il soit non nul . on discute la nullité et la non nullité des termes paramétriques de la diagonale lorsque l'on a fait apparaître le plus grand nombre possible de zéros. Résolution des systèmes linéaires non cramériens Un système linéaire non cramérien est un système associé à une application linéaire non bijective. On appellera f l'application linéaire associée en la définissant d'un ev E de dimension p dans un ev F de dimension n. La non bijectivité de f met en présence de deux types de systèmes : . soit le nombre d'équations (n) est égal au nombre d'inconnues (p) mais avec une matrice (carrée) associée de déterminant nul : (n = p) et ( A = 0) . soit le nombre d'équations diffère de celui des inconnues : n alors non bijective, puisque dim E dim F

p. L'application associée est

On peut donc formuler ces systèmes de la manière suivante :

 a 11.x1 a 12.x2 ... a1p.x p d1  a 21.x1 a22 .x2 ... a2 p.x p d2  (1) ...........................................   a n1.x1 an 2 .x2 ... anp.xp dn D) avec n = p ssi

a 11 a12 a 21 a22 (1’)  ... ... a n1 an 2

... ... ... ...

a 1p  x1   d1  d2 a 2p  x2  ...   ...  =  ...   .  dn a np  xp 

(A.X =

A = 0 (ou encore, de manière équivalente, rang A < n).

La résolution du système consiste à déterminer l'ensemble-solution, c'est à dire l'ensemble des vecteurs X vérifiant toutes les équations du système. Cet ensemble-solution peut être un vecteur unique comme dans un système de Cramer mais aussi, l'application étant non bijective, en comporter une infinité ou aucun. On va préciser la nature de cet ensemblesolution suivant les propriétés de l'application correspondante. Particularités de l'ensemble-solution suivant les propriétés de l'application associée La comparaison du nombre d'équations et d'inconnues au rang du système permet de préciser la nature de l'application associée puis d'expliciter l'ensemble-solution. Si l'on note r le rang du système (donc de la matrice A correspondante), on vérifie pour un système non cramérien : (r < p) ou (r < n).

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Or, on sait, d'après la propriété du rang, que r = dim f(E) et, d'après la définition des matrices, que p = dim E, n = dim F. On en tire : (r < p)

(dim f(E) < dim E)

(f non injective)

et (r = p)

(f injective)

(r < n)

(dim f(E) < dim F)

(f non surjective) et (r = n)

(f surjective).

Ces propriétés amènent à distinguer trois cas de figure : 1. Cas où (r < p) et (r = n) f est non injective et surjective. Il en résulte que le système est possible, c'est à dire possède un ensemble-solution S non vide, et comporte une infinité d'éléments. S est l'image réciproque par f du vecteur second membre : S = f-1(D) tel que S soit non vide et non réduit à un vecteur unique. 2. Cas où (r = p) et (r < n) f est injective et non surjective. Le système est possible et possède une vecteur-solution unique (X0) ssi le vecteur second membre appartient à l'ensemble-images de f : 2a. S = { X0 } si D f(E). 2b.

S=

si D

f(E)

3. Cas où (r < p) et (r < n) f est non injective et non surjective. L'ensemble-solution comporte une infinité d'éléments ou aucun : 3a. S = f-1(D) possède une infinité d'éléments si D

f(E)

3b.

f(E).

S=

si D

Méthode pratique de résolution des systèmes non cramériens Un système non cramérien peut être résolu en en extrayant un système principal. On va donc voir tout d'abord comment choisir un système principal, pour présenter ensuite la méthode de résolution à l'aide de ce système principal et terminer sur le moyen de s'assurer préalablement qu'un système est possible. Définition et choix d'un système principal On considère le système initial (1) à n équations, p inconnues et de rang r. On appelle système principal du système (1), tout sous-système qui en est extrait et dont la matrice associée est d'ordre et de rang r, donc de déterminant, dit principal, d'ordre r non nul. 7

Les r équations ainsi choisies sont dites équations principales et les r inconnues figurant dans le premier membre des équations, inconnues principales. Les (n - r) équations éventuellement écartées sont dites non principales ou auxiliaires et les (p - r) autres inconnues, reléguées en second membre des équations, sont nommées inconnues non principales ou auxiliaires. Ainsi  a11.x1 ... a 1r.xr d 1 a 1(r 1).x (r 1) ... a 1p.xp ........................................... (2)  r1 1  a .x ... arr.xr dr ar (r 1).x(r 1) ... arp.xp  x1   d1 a1( r 1) .x(r 1) ... a 1p.xp   ...  =   ............      xr   dr ar (r 1) .x( r 1) ... a rp.xp  . est un système principal du système initial (1) ssi rang N = r. a 11 ... a1r  ...  (2’)  ...  ar 1 ... a rr 

Cette condition est encore équivalente à N

(N.Xr = Dr)

0.

Dans l'hypothèse où N = 0, on peut extraire de la matrice A une autre sous-matrice d'ordre r et de déterminant non nul puisque le rang de A est r. Il sera donc toujours possible de tirer de (1) un système principal de matrice d'ordre r. Le fait de choisir le système 2 comme système principal revient ainsi à retenir x1, x2, ... , xr, comme inconnues principales et xr+1, xr+2, ... , xp comme inconnues non principales. Cela consiste également à choisir les r premières équations en tant qu'équations principales et les (n - r) dernières en tant qu'équations non principales.

Résolution du système principal La résolution du système principal donne l'ensemble-solution du système initial si celles-ci existent. Ainsi : - si r = n, le système principal n'est autre que le système initial réécrit autour des r inconnues principales. On peut résoudre ce système, en inversant par exemple la matrice N qui est régulière et en calculant X = N-1.D ou par la méthode de Cramer. L'ensemble-solution comporte une infinité d'éléments puisque l'on obtient la valeur des inconnues principales en fonction du second membre et des inconnues non principales. On se trouve dans le premier cas de figure évoqué plus haut. - si r < n, on a (n - r) équations non principales. Pour que le système (1) soit possible, chacune des équations non principales doit admettre les solutions prises par le système principal. Ainsi . le système est possible lorsque toute équation non principale admet les solutions prises par le système principal. Le système initial (1) et le système principal (2) sont 8

équivalents, c'est à dire admettent même ensemble-solution. On se trouve ici dans les cas de figure 2a (pour p = r) ou 3a (pour p > r) ce qui donne respectivement une solution unique ou une infinité de solutions, solutions que l'on peut obtenir ici encore en résolvant le système principal par les méthodes utilisées pour un système de Cramer. . le système est impossible lorsqu'au moins une équation non principale n'admet pas l'ensemble-solution du système principal. C'est dire alors que le vecteur second membre D n'a pas d'antécédent par l'application associée au système : cas de figure 2a ou 2b.

Vérification préalable de l'existence de solutions On vient de voir que l'on peut résoudre un système non cramérien en remplaçant les solutions d'un de ses systèmes principaux dans les équations non principales. On ne sait cependant si le système est possible (admet des solutions) qu'après avoir résolu le système principal. On peut néanmoins s'assurer plus tôt que le système initial est soluble. Deux méthodes seront présentées ici : celle de la matrice élargie et celle des déterminants caractéristiques. La méthode de la matrice élargie On vérifie que le vecteur second membre D appartient à l'ensemble-images en montrant qu'il est linéairement dépendant du premier membre du système initial (1). Cette vérification est effectuée en recherchant le rang de la matrice élargie associée au système. Cette matrice élargie est obtenue en bordant en colonne la matrice A associée au système initial (1) par son vecteur second membre D : A D . Le rang de la matrice A étant r, la matrice élargie est de rang r ou r + 1. Alors : - si le rang de la matrice élargie est égal à r + 1, le second membre du système (1) est linéairement indépendant du premier et le système est impossible - si le rang est r, le système est au contraire possible, le second membre étant linéairement dépendant du premier. Cette méthode est rapide pouvant être appliquée sans définir de système principal. Elle ne permet pas d'identifier, contrairement à la méthode des déterminants caractéristiques, une ou des équations éventuellement incompatible(s) avec un système principal. La méthode des déterminants caractéristiques Calculer le déterminant caractéristique d'une équation non principale consiste à s'assurer que cette dernière est compatible avec celles du système principal, donc qu'elle en est linéairement dépendante.

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Le déterminant caractéristique est en effet le déterminant principal bordé en ligne par les coefficients des inconnues principales de cette équation et en colonne par les seconds membres des équations principales et de l'équation non principale considérée. Ainsi, le déterminant caractéristique de la n ième équation du système (1) pour lequel le système principal est le système (2) est le suivant :

a11 ... a 1r d1 a 1(r ... ... ar 1 ... a rr dr a r (r an1 ... a nr d n a n( r a 11 ... a1r

x

1) (r

1)

... a 1pxp

... x 1)x (r 1) (r

1)

... a rpxp ... a npxp

où, d'après les propriétés des déterminants :

a11 ... a 1r

a1( r

... ... ... ... ... = a r 1 ... arr dr - xr+1. ar 1 ... a rr

...

a n1 ... a nr

d1

1)

dn

an1 ... a nr

ar (r an( r

a 11 ... a1r

1)

1)

-…

1)

... ... – xp. a r 1 ... arr a n1 ... a nr

a 1p ... a rp a np .

Tous les déterminants multiples de xr+1, ... , xp sont nuls puisqu'il s'agit d...