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2. Optique matricielle

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Définitions

L’optique matricielle propose une façon très différente de faire de l’optique géométrique. On peut repérer tout rayon lumineux par les coordonnées d’un de ses points et sa direction. Plus précisément, si on se donne un plan de référence P orthogonal à l’axe optique Ox, on peut décrire tout rayon lumineux par les coordonnées (y, z) du point où le rayon croise le plan, et par les angles αy et αz que fait le rayon avec l’axe optique (l’inclinaison du rayon). Ces angles sont indiqués sur la partie de gauche du schéma ci-dessous

En introduisant les nombres complexes y + iz et αy + iαz , on peut alors décrire le rayon lumineux par une matrice colonne   y + iz R= nαy + inαz où il peut être pratique d’inclure dans cette définition l’indice de réfraction n du milieu dans lequel se propage le rayon, pour décrire des systèmes où le milieu de sortie est différent du milieu d’entrée. Pour un rayon donné, cette quantité R dépend du plan de référence P choisi. Dans les conditions de Gauss, la relation entre la matrice décrivant un rayon incident et celle décrivant le rayon émergent (partie de droite du schéma ci-dessus) est linéaire, pour tout système optique. Ceci peut s’écrire sous forme matricielle :      y′ + iz ′ y + iz T11 T12 soit R′ = T R = T21 T22 nαy + inαz P n′ αy′ + in′ α′z P E

S

où les termes Tij de la matrice T sont des caractéristiques du système optique considéré, et dépendent des plans de référence d’entrée PE et de sortie PS choisis pour décrire les rayons lumineux entrants et sortants (ce ne sont pas forcément les mêmes, par exemple pour un système optique épais, on choisira naturellement 9

la face d’entrée comme plan de référence pour les rayons incidents, et la face de sortie comme plan de référence pour les rayons émergents). Dans la suite, nous ne nous intéresserons qu’à des rayons contenus dans le plan z = 0, si bien que les définitions et les relations précédentes s’écrivent plus simplement ⊳ Donner la forme de R pour un    ′   y y rayon parallèle à l’axe optique, puis T11 T12 = pour un rayon d’inclinaison quelT21 T22 nα P n′ α ′ P E

S

conque passant par l’axe optique

où on a noté plus simplement α et α′ les inclinaisons des rayons lumineux (incident dans le plan de référence. et émergent, respectivement).

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Propriétés

2.1 Dioptre plan Lors de la traversée d’un dioptre plan orthogonal à l’axe optique, séparant deux milieux d’indices n et n′ , on a ⊳ Montrer cette relation.    ′   y y 1 0 = 0 1 nα n′ α ′ P

2.2 Changement de plan de référence Lorsqu’on change de plan de référence P pour décrire le rayon lumineux, par exemple en passant du plan passant par P1 à celui passant par P2 , déduit du premier par une translation de ℓ le long de l’axe optique, dans un même milieu d’indice n, on fait la transformation ⊳ Montrer cette relation.         ′ x x 1 ℓ/n x = x + αℓ = −→ 0 1 P →P nα P nα nα P P 1

2

1

2

1

La matrice qui permet de faire ce changement de plan de référence s’écrit donc TP1 →P2 =

 1 0

 ℓ/n 1

On peut remarquer que TP2 →P1 =

−1 TP 1 → P2

 1 = 0

 −ℓ/n 1

(2.1)

2.3 Systèmes minces On dit qu’un système est mince lorsque son effet sur la lumière peut être réduite à un plan orthogonal à l’axe optique. Il est alors judicieux de choisir le même plan de référence pour l’entrée et la sortie. Dans ce cas, on peut montrer que ⊳ Démontrer ces deux égalités. T11 = 1 et T12 = 0 La matrice s’écrit donc



1 T21

0 T22

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

2.4 Dioptre sphérique Soit un dioptre sphérique convexe en verre (indice n) de rayon de courbure R. Le milieu d’entrée est l’air (indice égal à 1). On assimile le dioptre à un système mince. En considérant un rayon incident d’inclinaison quelconque et atteignant le dioptre à son sommet d’une part, puis un rayon incident passant par le centre de courbure du dioptre d’autre part, on montre que le système est décrit par la matrice, ! 1 0 T = 1−n (2.2) 1 R

⊳ Déterminer les expressions de T21 et T22 en examinant comment le système dévie chacun des deux rayons proposés.

2.5 Foyer Par définition du foyer image, un système mince effectue la transformation     x x x où α′ = − ′ −→ n′ α 0 f

⊳ Rappeler la définition générale du foyer image en optique et justifier cette relation.

où l’on a utilisé l’approximation des petits angles et où n′ désigne l’indice du milieu de sortie. On a donc      x 1 0 x = T21 T22 −n′ x/f ′ 0 ce qui impose que T21 = −n′ /f ′ . La valeur de T22 dépend a priori du système mince considéré. Pour un dioptre sphérique, on a vu plus haut que T22 = 1. On trouve le même résultat pour une lentille mince, à partir du même rayon, pour une raison différente (ce rayon n’est pas dévié). Pour ces systèmes (lentille, dioptre ⊳ Montrer que T22 = 1 pour une lentille mince. sphérique), la matrice de transformation prend donc la forme   1 0 (2.3) −n′ /f ′ 1 On trouve ainsi la focale image du dioptre sphérique convexe, en comparant les expressions (2.2)et (2.3) : −

n 1−n = R f′

soit

f′ =

n−1 ×R n

(2.4)

2.6 Lentille mince Une lentille mince peut être considérée comme la superposition de deux dioptres sphériques, le premier convexe et de rayon de courbure R1 et le second concave et de rayon de courbure R2 . Les matrices décrivant chacun de ces dioptres s’écrivent respectivement     1 0 1 0  et T2 = n − 1  T1 =  1 − n 1 1 R2 R1 La matrice décrivant la lentille mince s’écrit donc  T = T2 T1

 1  0  1 1 soit après calcul T =  + (1 − n) 1 R1 R2

⊳ Démontrer la deuxième expression en reprenant le calcul précédent sur le dioptre air/verre convexe et en l’adaptant au cas d’un dioptre verre/air concave. ⊳ Faire le produit matriciel et vérifier cette affirmation.

On en déduit la formule des opticiens donnant la focale de la lentille en fonction de ses propriétés optiques et géométriques, ⊳ Démontrer cette expression.   1 1 1 = (n − 1) + R1 R2 f′ 11

2.7 Relation de conjugaison de la lentille mince Lorsqu’un système fait l’image d’un point A en un point A′ , la matrice de transfert est appelée matrice de conjugaison et prend la forme     ′ G 0 x x = (2.5) −1/f ′ γ α obj α′ im où G désigne le grandissement linéaire et γ le grandissement angulaire. Par ailleurs, en utilisant la matrice de transfert de la lentille mince, on a    ′  x x 1 0 = −1/f ′ 1 α ℓ α′ ℓ

⊳ Retrouver ces éléments de matrice en justifiant les noms donnés à G et γ, à partir d’un schéma montrant un objet et la construction de son image.

où l’indice ℓ indique que l’on prend comme plan de référence le plan de la lentille. Pour comparer à la relation précédente, on peut changer de plan de référence, en utilisant   ′        ′ x x x 1 s′ 1 s x = = et 0 1 α′ ℓ α′ im 0 1 α obj α ℓ ′

où on a noté s = OA et s′ = OA . Attention il s’agit de grandeurs algébriques. Dans la situation courante de formation d’une image réelle par un objet réel, on a s < 0 et s′ > 0. On a donc   −1   −1  ′   1 s′ 1 0 x x 1 s = 0 1 0 1 α obj −1/f ′ 1 α′ im soit, en tenant compte de la propriété (2.1),      ′  x 1 −s x 1 0 1 s′ = 0 1 0 1 α obj −1/f ′ 1 α′ im et donc, tous calculs faits,  s′  ′ 1 − x  f′ = 1 α′ im  − ′ f

 ss′   f′  x s  α obj 1+ ′ f

s′ − s +

En identifiant à l’expression (2.5), on doit avoir s′ − s +

ss′ =0 f′

soit s − s′ =

ss′ f′

et donc, en divisant par ss′ , 1 1 1 − = ′ f s′ s ce qui donne bien la relation de conjugaison des lentilles minces. On remarque également, toujours en identifiant la matrice précédente à l’expression (2.5), que      1 s ss′ s′ 1 + ′ = 1 + ′ s − s′ − ′ soit Gγ = 1 Gγ = 1 − ′ f f f f Le produit du grandissement linéaire et du grandissement angulaire est égal à l’unité, une propriété connue sous le nom de relation de Lagrange-Helmholtz.

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⊳ Faire le calcul.

2.8 Doublet de lentilles minces Soit un système constitué de deux lentilles minces de focales f 1′ et f2′ , dont les centres sont séparés d’une distance e. Les lentilles sont plongées dans l’air, d’indice 1. Le rayon lumineux qui émerge de L2 (repéré par les indices « s » pour « sortie ») est relié à celui qui arrive sur cette lentille par      x xs 1 0 = −1/f2′ 1 αs nα Le dernier vecteur colonne décrit le rayon lumineux qui se propage entre les deux lentilles, avec comme plan de référence L2 . Si on choisit comme plan de référence L1 , ce même rayon est décrit par  ′     x 1 e x = nα 0 1 nα′ Ce rayon lumineux émerge de la première lentille. Il est relié au rayon incident sur la première lentille (repéré par les indices « e » pour « entrée »)par  ′     x 1 0 xe = ′ αe nα −1/f1′ 1 Le rayon incident est donc relié au rayon émergent par        xs 1 0 1 0 xe 1 e = 0 1 nαe αs −1/f1′ 1 −1/f2′ 1 Le doublet est donc décrit par la matrice 

1 −1/f2′

 0 1 0 1

e 1



1 −1/f1′

 e  1− ′ 0 f1  = 1 1 e 1 − ′ − ′ + ′ ′ f1 f2 f1 f2

e 1−

e f2′

  

On lit dans le terme en bas à gauche que la focale du doublet est donnée par 1 1 1 e = ′ + ′− ′ ′ f1 f2 f1 f 2 f′ ce qui est un résultat classique.

2.9 Autres systèmes optiques On a pour les systèmes particuliers suivants : ⊳ Démontrer les résultats relatifs au miroir sphérique et au miroir plan. ! 1 0 T = 2n pour un miroir sphérique dans un milieu d’indice n (2.6) 1 SC ! 1 0 T = n1 − n2 pour un dioptre sphérique séparant deux milieux d’indices n1 et n2 1 SC (2.7) ! 1 0 1 T = pour une lentille mince de foyer image F ′ (2.8) − 1 ′ OF   1 0 T = pour un miroir plan (2.9) 0 1

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