TD1 Chemin optique & Pcpe de Fermat PDF

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2014-2015

SFT- L2 PHYS302 – Optique Ondulatoire

TD1 Chemin optique et Principe de Fermat Exercice 1 : Réfraction par un dioptre plan : loi de Descartes On souhaite retrouver la loi de Descartes pour la réfraction à partir du principe de Fermat.

A

On considère un dioptre plan séparant deux milieux homogènes d'indices optiques n1 et n2. On se fixe deux points A et B de part et d'autre de ce dioptre, les deux à distance identique H de ce dioptre, et décalé d'une longueur d parallèlement au dioptre, et on cherche quel trajet peut suivre un rayon lumineux réel pour passer de A à B.

h

I(x)

0

d

x

h B

1) Rappeler la définition de l'indice optique, puis d'un chemin optique (AB), et reformuler le principe de Fermat en terme de temps de parcours entre A et B.Expliquer pourquoi le trajet réellement suivi par la lumière sera forcément constitué de deux segments de droite. 2) On nomme I le point d'incidence courant sur le dioptre, repéré par son abscisse x par rapport à l'origine choisie à l'aplomb de A. Exprimer le chemin optique (AIB) des trajets possibles, en fonction de la position x du point d'incidence I courant. 3) Appliquer le principe de Fermat et montrer que n1.x/AI = n2.(d-x)/IB. 4) En déduire la loi de Descartes, après avoir rappelé sur le schéma la définition des angles incident i1 et réfracté i2.

Exercice 2 : Focalisation en un foyer F de rayons venant de l'infini. Dans cet exercice, on va utiliser le principe de Fermat pour retrouver comment concentrer en un point unique F les rayons lumineux provenant du soleil, en utilisant des miroirs. On suppose le soleil ponctuel et situé à l'infini, c'est à dire qu'il nous envoie un faisceau de rayons parallèles, selon l'axe (y'y). On choisit un axe (x'x) perpendiculaire à cette direction, et on repèrera la position des points en coordonnées cartésiennes (x, y). On choisit l'origine O pour que foyer F visé soit en (0, f). On nommera par défaut I le point d'incidence d'un rayon sur le miroir utilisé.

H(x, h)

h F(0, f) y x

I(x,y )

1) Surface d'onde de l'onde incidente, et chemin optique L sur un trajet Soleil-Foyer. a) Quelle forme ont les surfaces d'onde de l'onde venant du soleil, avant sa réflexion sur le miroir ? Expliquer pourquoi on peut choisir une telle surface à distance finie pour calculer les chemins optiques parcourus par les rayons. Montrer que son équation cartésienne peut se résumer à y = h. b) On nomme H(x,h) le point de passage d'un rayon donné par la surface précédente. Exprimer le chemin optique L(x) = (HF) du rayon possible passant par le point d'incidence I(x,y) sur un miroir de forme y(x) et arrivant en F. c) A quelle condition sur L ce rayon est-il réellement parcouru par la lumière ?

2) Première tentative simpliste : viser le point F avec un miroir plan. On place face au soleil un miroir plan perpendiculaire à (O, x, y), passant par O et incliné d'un angle par rapport à l'axe (Ox) a) Préciser la coordonnée y(x) du point I courant du miroir. b) Appliquer le principe de Fermat, et déterminer lequel de ces rayons incidents passe réellement par F. On perd tous les autres rayons...

3) Seconde tentative : miroir sphérique et stigmatisme approché. On place désormais un miroir sphérique de rayon R dont le sommet se trouve en O. a) Expliquer pourquoi le trajet H(0,h) → O → F sera effectivement parcouru par la lumière. b) Exprimer l'ordonnée y(x) du point d'incidence I. On considère les points I proches de O : réaliser un développement limité, à l'ordre 2 en x...