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CÁLCULO INTEGRAL####### Percy Enrique Angulo Vilca© 2013 Percy Enrique Angulo VilcaISBN: Depósito Legal:Impreso en:Trujillo, Marzo del 2013CAPÍTULO 1ANTIDERIVADA EINTEGRAL INDEFINIDA1. ANTIDERIVADA E INTEGRAL DEFINIDA2. INTEGRACIÓN DIRECTASECCIÓN 1 ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDAANTIDERIVADA¿Cómo...

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CÁLCULO INTEGRAL

ercy Vilca Per cy Enrique Angulo V ilca

1

© 2013 Percy Enrique Angulo Vilca ISBN: Depósito Legal:

Impreso en:

Trujillo, Marzo del 2013

2

A Dios, por ser nuestro creador, amparo y fortaleza, cuando más lo necesitamos, y por hacer palpable su amor a través de cada uno de los que nos rodea.

3

CAPÍTULO 1

ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA 1. ANTIDERIVADA E INTEGRAL DEFINIDA 2. INTEGRACIÓN DIRECTA

SECCIÓN 1.1 ANTIDERIVADA E INTEGRAL INDEFINIDA ANTIDERIVADA 4

¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para determinar precios futuros? ¿Cuál es la velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con aceleración conocida? ¿Cómo se puede usar la tasa a la cual cambia la población para predecir niveles futuros de población? En todas estas situaciones se conoce la derivada (tasa de cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación se presenta la terminología que se usará en el proceso de obtención de una función a partir de su derivada. Supongamos que se nos pide encontrar una función F cuya derivada sea: f ( x)  4 x3

Por lo que sabemos de derivación, probablemente diríamos que: F ( x)  x 4 ya que

d 4  x   4 x3 dx  

Esto permite definir lo siguiente. Definición: Una función F recibe el nombre de ANTIDERIVADA de f en un intervalo I, si: F ' ( x)  f ( x) Para cada x  I . Observación: Decimos que F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f . La razón es que, por ejemplo, F1 (x )  x 4 , F2 ( x)  x4  3 y F1 ( x)  x4  54 3 son, todas ellas, antiderivadas de f ( x)  4 x . De hecho, para cualquier valor de 4 la constante C , F ( x)  x  C es antiderivada de f .

Definición: Antiderivada general Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general, G , de f en I es de la forma: G( x)  F ( x)  C , para todo x en I

donde C denota una constante. Observación: Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, sino una familia dé funciones, que difieren entre sí en una constante. El proceso de hallar todas las antiderivadas de

f ( x) se denomina integración

indefinida o antiderivación y se denota por el símbolo

5



, llamado signo de

integración, la expresión

 f (x)dx

se lee la integral indefinida de f ( x) con respecto a

x.

INTEGRAL INDEFINIDA Definición: Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) en un intervalo I , entonces a su antiderivada general G( x)  F ( x)  C se le denota por:

 f (x)dx  F ( x)  C

x  I

Llamada la INTEGRAL INDEFINIDA de f ( x) con respecto a x . Nota: De la definición de Integral Indefinida se tiene F ' ( x)  f ( x) , es decir:

d f ( x) dx  f ( x) dx  Ejemplos: 1) Determine Solución:

 3x

3

 3x3  2 x  5dx



2x 5 dx   3x3dx  2 xdx  5 dx 3 x3 dx 2 xdx 5 dx  x4   x2  3 4 2  3    2    5 x  C  x  x  5 x  C 4 2 4    

2) Determine

 y 2  y 4  2dy

Solución:





y 2  y 4  2 dy   y 2 dy   y 4dx   2dx 

3) Determine

y3 y 4   2x  C 3 4

2

 y 3 dy

Solución: y 2 2 1 3    C   y 2  C   2  C dy y dy 2 2  y3  2 y 4) Determine (2sin x  3cos x) dx Solución: (2sin x 3cos x) dx  2sin xdx  3cos xdx  2cos x 3sin x  C

FORMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN 6

Sea u  u( x) una función diferenciable en x , entonces: u n1 C n 1

1.

n u du 

2.

u

3.

e du  e

du

 ln u  C

u

u

C

au  C, a  0 a  1 ln a du 1 u 5.  2 2  arctan   C , a  0 a u a a

4.

u a du 

6.

 u 2  a 2  2a ln u  a  C

7.

 a 2  u 2  2a ln u  a  C

du

1

u a

du

1

u a

a 0

a 0

Integrandos que contienen raíces cuadradas 8.



9.



10.



11.

u

12.

du u a du 2

2

2

2

u a

 ln u  u 2  a 2  C a  0  ln u  u 2  a 2  C a  0

u   arcsin    C a  0 a  a2  u 2 du

du u2  a2



 u 1 arcsec   C a  0 a  a



u2  a2 du 

u 2 a2 u  a2  ln u  u2  a2  C 2 2

13.



u2 a2 du 

u 2 a u  a2  ln u  u2  a2  C 2 2

14.



a2  u 2 du 

u 2 a2  u u  a2  arcsin  C 2 2 a 

2

Integrandos que contienen funciones trigonométricas 15. sin udu   cos u  C 16. cos udu  sin u  C 17.  tan udu   ln cos u  C 18. cot udu  ln sin u  C 19. sec udu  ln sec u  tan u  C 7

20. csc udu  ln cscu  cot u  C 21. csc udu  ln cscu  cot u  C 22.  sec 2 udu  tan u  C 23. csc 2 udu   cot u  C 24. sec u tan udu  secu  C 25. csc u cot udu   csc u  C Integrandos que contienen funciones hiperbólicas 26. sinh udu  cosh u  C 27. cosh udu  sinh u  C 28.  tanh udu  ln cosh u  C 29. coth udu  ln sinh u  C 2 30. sech udu  tanh u  C 2 31. csch udu   coth u  C

32. sech u tanh udu   sech u  C 33. cosh u coth udu   csch u  C Integrandos que contienen funciones trigonométricas inversas 34. arcsin udu  uarcsin u  1  u2  C 35. arccos udu  uarccos u  1  u2  C 1 2 1 37. arccot udu  u arccot u  ln(1  u2 )  C 2

36.  arctan udu  u arctan u  ln(1  u2 )  C

2 38. arcsec udu  u arcsec u  ln u  u  1  C

39. arccsc udu  uarccsc u  ln u  u 2  1  C Formulas útiles de integración  n1 40.  (ax  b)n dx  1 (ax b) C a

n 1

8

1 a 1 dx  ln ax  b  C 42.  ax  b a 1 43.  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a 1 44.  cos(ax  b)dx  sin( ax  b)  C a

41. e ax bdx  e ax b  C

SECCIÓN 1.2 INTEGRACIÓN DIRECTA Se trata aquí de lograr las primitivas en forma inmediata con el conocimiento de derivadas y la aplicación de la tabla básica considerando algunos recursos algebraicos y las propiedades señaladas. Algunas veces, antes de realizar la integral correspondiente, se procede a simplificar la expresión por si de esa forma se puede integrar mejor. Posteriormente, haciendo uso de las propiedades de las integrales, se descomponen en otras más sencillas, transformándose en una simple suma de integrales más elementales. Ejemplos:

1

x

1. Determine

5

dx .

Solución:

x 51 1 1 5 dx x dx    C 4  C x5  5  1 4x 2. Determine 





2

x  3 dx

Solución:





 x  2 3 x  3dx   xdx  2 3  x dx  3 xdx

2

x

3 dx 



x 2 4 3 32  x  3x  C 2 3





3. Determine  x  x  1



x  1 dx

Solución:

 x 



x 1



x  1 dx    x 

3

2

 1 dx 

5

2x 2   x C 5 9

 2 x3  7 x 2  4  4. Determine    dx x2   Solución: Descomponiendo la fracción en suma de fracciones:

2 x 3 7 x 2 4 2 x 3 7 x 2 4  2  2  2  2 x  7  4 x2 2 x x x x Por tanto:  2x 3  7x 2  4  2  dx    2x  7  4x dx   x 2  x2 x 1  2  7x  4 C 1 2 4  x2  7x   C x  2 x3  7 3 x5  4 x  5. Determine    dx.   35 x2   Solución: Transformando las raíces en potencia, descomponiendo en suma de fracciones y simplificando, tenemos: 2 x 3 7 3 x 5 4 x 5

2



2x

3

2

7 x

5

3

4 x

2

3 x

3x 5 11



2x

3

2

2

3x 5 19



7x

5 2

3

3x 5



4x 2

3x 5

3

2x 10 7x 15 4 x 5    3 3 3 Por lo que la integral nos queda:

 2x1110 7x 1915 4x 35   2 x 3  7 3 x 5  4x     dx  dx      5 2   3  3 3 x 3     11

19

3

2x 10 7x 15 4x 5  dx   dx   dx 3 3 3 

20 2110 105 3415 5 85 x  x  x C 63 102 6

 3x5  2x 2  x 6  6. Determine    dx . 3 x2   Solución:

10

 3x 5  2 x 2  x 6  x5 x2 x6    3 2 dx dx dx    3 x2  x23  x23  x23 dx  13

4

16

 3 x 3 dx  2 x 3 dx   x 3 dx 

7. Determine

9 16 3 6 7 3 3 19 3 x  x  x C 16 7 19

2 x 5

 x  2 dx

Solución: 2 x 5

2x 4 1 1  1   2x 4  2( x  2) dx    dx    dx    x 2 x  2   x 2 x 2   x 2 1  1  dx   2dx   dx  2 x  ln x  2  C   2   x  2 x 2 

 x  2 dx  

8. Determine



x2  25 x 2 16

dx .

Solución:



x 2  25 x  16 2

dx  

x 2 16  9 x  16 2

dx 

  x 2 16 dx  9



x  16 dx 2

dx  9 

dx x  16 2

x 2  16

x

1  x

dx

Solución: x x  1 1 1  1  x1  1 x dx   1 x dx   1 x  1 x dx   1 x  1 dx   dx  

10. Determine Solución:

1 dx  x ln  x 1  C x1

 xa  bx dx 2

 xa  bx dx   ax  bx dx 2

3



x

m

11. Determine



dx

1 x x 2  6  16 ln x  x 2  16   9 ln x  x 2  16  C   2

 9. Determine

x2  16

 xn  x

ax2 bx4  C 2 4

dx

Solución: A la función, se expresa en la forma: 11

x

m

 xn 

2

x

1 1 1 4 1 2 m n 2 m 2 n x 2 m  2x m n  x 2 n 2 2 2 2 x x x x x   2   2 x m

m  2n  1 2

Entonces:



x

m

 xn 

2

x

2 m 2 n 1 2 n 1  4 m 1  dx   x 2  2 x 2  x 2  dx  

2m 1

2m 2n 1

4n 1

x 2 x 2 2x 2    c 4m  1 2m  2n 1 4 n 1 2 2 2

2 x 4 m1 4 x 2 m 2 n1 2 x4 n1   c 4m  1 2m  2n  1 4n  1 x  x  1 x  1 dx 

12. Determine







Solución: Efectuando la multiplicación de x  x  1

x 

Luego:

13. Determine

 x  x

2



 x  1, tenemos: x  1 x  1  x  1 3



x 1

2



3 x  1 dx    x 2  1dx   2 5  x 2  x C 5

dx  4 x  13

Solución: Usando el procedimiento de completamiento de cuadrados: x 4  x  13  x 2  4x  4  9   x  2 2  9 Entonces: dx dx 1  x 2   x 2  4x  13    x  2 2  9  3 arctg 3   c



14. Determine





dx 5  2x  x 2

Solución: Usando el procedimiento de completamiento de cuadrados: 5  2x  x 2  x 2  2x  1  4  x  1  4 Entonces: dx dx 2  5  2x  x 2   ( x 1) 2  4  ln x  1  5  2 x  x  c

12

x

4n  1 2

15. Determine  (2  tan2 θ ) dθ Solución:

 2  tan  d   2d   tan d  2   (sec  1) d  2   sec d   1d 2

2

2

2

 2  tan     c

16. Determine

 2sinh x  5cosh x)dx

Solución:

2sinh x 5cosh x) dx 2 sinh xdx 5 cosh xdx 2cosh x 5sinh x  C 17. Determine



tan x  cot x dx sin x

Solución:



tan x  cot x tan x cot x dx   dx   dx   sec xdx   cot xcsc xdx sin x sin x sin x  ln sec x  tan x  csc x  C

18. Determine

1  sin x

 cos 2 x dx

Solución:



1  sin x 1 sin x  sin x 1  dx    2  dx   sec2 x  dx 2 2  cos x cos x  cos x  cos x cos x   

sec

2



x  tan x sec x dx  sec 2 xdx  tan x sec xdx

 tan x  sec x  C

19. Determine

(1  x)2

 x(1  x 2 )dx

Solución:



2  1  x2 (1  x)2 2x  2  x  2 x 1 1    dx dx dx    dx    2 2 2 2  2   x(1  x ) x(1  x )  x 1 x   x(1 x ) x(1 x ) 

1 dx   dx  2  ln x  2arctan x  C x 1  x2

APLICACIONES DE LOS PROBLEMAS CON VALOR INICIAL 1. Un fabricante determina que el costo marginal 3q 2  60q  400 dólares por unidad cuando se producen q unidades. El costo total de producción de las primera dos unidades es $ 900. ¿Cuál es el costo total? Solución: 13

Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total C (q) . Entonces,

dC  3q 2  60q  400 dq Y por lo tanto, C (q) debe ser la antiderivada

C (q)  





dC dq   3q 2  60q  400 dq dq

 q 3  30q  400q  K Para alguna constante K. (la letra K se empleó a fin de evitar la confusión con la función de costo C). El valor de K se determina por el hecho de que C (2)  900 . En particular,

900  (2) 3  30(2) 2  400(2)  K o

K  212

De aquí,

C (q )  q 3  30q 2  400q  212 Y el costo de producción de las primeras 5 unidades es: C (5)  (5) 3  30(5)  400(5)  212  $1587 2. Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el instante en el que el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los frenos proporcionan una desaceleración constante de 22 pies/s2, ¿Qué distancia recorre el automóvil antes de detenerse por completo? Solución: Sea s(t ) la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar los frenos. Como el automóvil desacelera a 22 pies/s2, se tiene que a(t )  22 ; es decir,

dv  a (t )  22 dt Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dado por: v(t )    22dt  22t  C1

Para calcular C1, observe que v  66 cuando t  0 , de modo que: 66  v(0)  22(0)  C1

Y C1  66 . Por lo que la velocidad en el momento t es v(t)  22t  66 . A continuación, para encontrar la distancia s(t ) , se inicia con el hecho de que:

ds  v (t )  22t  66 dt e integrando se tiene que: s( t)    22 t  66 dt  11t 2  66t  C2

14

Como s (0)  0 , se deduce que C 2  0 y s(t )  11t 2  66t Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, este se detiene cuando v(t )  0 , lo cual sucede cuando: v(t )  22t  66  0 Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 segundos de desaceleración, y en ese tiempo a recorrido

s (3)  11(3) 2  66(3)  99 pies 3. CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha estimado que dentro de t meses la población P(t ) de una cierta ciudad cambiará a razón de P '(t)  4  5t 2/3 personas por mes. Si la población actual es de 10000, ¿cuál será la población dentro de 8 meses? Solución: La población P(t )

se encuentra antiderivando

dP dt

como se

muestra a

continuación: P( t) 

dP

 dt

 t5/3  dt  (4  5 t2/3 ) dt  4 t  5  C 4 t 3 t5/3  C  5 / 3      

Como la población es de 10000 cuando t  0 , se tiene que: P(0)  10000  4  0   3  0 

5/3

C

 C  10000

Así, P(t )  4t  3t 5/3  10000

Entonces, después de 8 meses, la población es P(8)  4 8  3 8 

5/3

 10000  10128

4. Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán e un periodo de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes. Si los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los próximos 5 meses? Solución: Sea S (t ) el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el arroz se consume a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de kilogramos de arroz almacenado después de t meses es de 10000  2000t . Por tanto, como los costos de almacenamiento son 1 centavo por kilogramo al mes, la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo es dS  costo mensual  número de      0.01(10000  2000t ) dt  por kilogramo kilogramos

Se deduce que S (t ) es una antiderivada de 0.01(10000  2000t)  100  20t . 15

Es decir, S (t )  

dS dt   (100  20 t) dt 100 t 10 t2  c dt

Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega el cargamento (cuando t  0 ) no hay costo, por lo que: 0  100(0)  10(0)2  c  c  0

De aquí, S (t )  100t  10t 2

Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será S (5)  100(5)  10(5) 2  $250

PR0BLEMAS 1.1 1. En los siguientes ejercicios, halle las integrales dadas: a) b) c)

x5  3 dx

j)

  3x  2 x  5dx 2 4   y  y  2dy 3

k) l)

1

 e3x    3  2sin x dx  

 e e  4  dt 2   tan x 3cos xdx 0.02 t

0.13t

2



d)

 y 3 dy

m)

  x  2sin 2x dx

e)

 x2  3x  2    x  2 dx

n)

t

f)

  3x

g)

  t  5e dt

h) i)

2



t

  3 x 

 1

5

e



y

t

2



 t  2 dt

1   2 x 2   5 dx x   3z 2  2 z  3  p)   dz  z  

 5x  2 dx

4

1/2

  ex /2  dx x 

o)

 x

q)

 



3

x3 



  2 2 x  1

2

 1 dy

2. Resuelve los siguientes problemas a) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de cierto artículo es R '( q)  4q  1.2q 2 dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20 unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción ...