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APLICACIÓN DE LOS LÍMITES EN LA INGENIERÍA MECATRÓNICA

DIEGO MIRANDA

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA EQUINOCCIAL FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA E INDUSTRIAS INGENIERÍA MECATRÓNICA MATEMÁTICA SUPERIOR

QUITO-ECUADOR 2016-2017 *ING. JAIME GARCÍA

APLICACIONES DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS EN LA INGENIERÍA MECATRÓNICA

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CONTENIDO CONTENIDO................................................................................................................................................ 2 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................ 3 JUSTIFICACIÓN.......................................................................................................................................... 5 OBJETIVOS ..................................................................................................................................................... 6 OBJETIVO GENERAL ................................................................................................................................... 6 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................................................ 6 MARCO TEÓRICO ...................................................................................................................................... 8 CAPÍTULO I ............................................................................................................................................. 8 CLASIFICACIÓN DE LOS LÍMITES ................................................................................................. 9 CAPÍTULO II ......................................................................................................................................... 10 CAPÍTULO III ........................................................................................................................................ 11 APLICACIÓN DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS A LA INGENIERÍA MECATRÓNICA ...... 11 Límites y su aplicación en Sistemas de Control .................................................................................. 11 Aplicación para el programa curricular: .............................................................................................. 14 Cálculo de la ganancia de velocidad global de un sistema. ................................................................. 18 Conexiones del microprocesador y diseño de memorias..................................................................... 19 MARCO ADMINISTRATIVO .......................................................................................................................... 20 CONCLUSIONES ....................................................................................................................................... 20 RECOMENDACIONES ............................................................................................................................... 20 BIBLIOGRAFÍA .......................................................................................................................................... 20

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INTRODUCCIÓN

En el presente trabajo investigativo se indagarán diversas fuentes de consulta acreditadas con respecto a una de las varias ramificaciones que presenta la matemática superior, los límites matemáticos, en vinculación con la ingeniería mecatrónica ciencia de estudio por quien realiza la presente monografía; tomando en cuenta su aplicabilidad y viabilidad en la solución de problemas actualmente y a futuro, en el desempeño del cargo como ingeniero en la materia de estudio; dejando en claro que al ser infinitas las aplicaciones que se le puede dar a los límites en cuanto respecta a la mecatrónica, se hará alusión solamente a contados temas que si bien parecerán escasos ante sus vastas aplicaciones a esta ingeniería, abarcan mucho más de lo que aparentan y serán detallados con cautela y precisión en este amplio espacio informativo y de reflexión. El tema de trabajo investigativo en cuestión estribado conforme a los límites matemáticos en vinculación con la ingeniería mecatrónica, abrirá horizontes mentales en nuestro ser mostrándonos una serie de alternativas para forjar nuestro camino hacia la óptima conclusión del estudio de la ingeniería mecatrónica y ayuda a largo plazo en nuestro desempeño laboral en la materia de competencia. Los límites matemáticos han sido objeto de estudio desde tiempos inmemoriales, remontándonos así a la antigua Grecia donde los griegos utilizaban procedimientos basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo , cuyo proceso consistía en cubrir o ( agotar) una región de forma tan completa como fuera posible utilizando triángulos; posteriormente y al igual que todo en el planeta fue parte de un proceso evolutivo, pero no muy alentador, ya que tuvieron que pasar siglos hasta el nacimiento de Sir Isaac Newton y Leibniz para que este tema empezará a

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ganar cabida en el mundo, pero aún sin encontrar una utilidad mas que teórica; hasta que apareció Augustine-louis cauchy, matemático francés que a través de una minuciosa investigación de campo definió formalmente un límite y sus aplicaciones empezaron a surgir en la elaboración de procesos mecánicos y eléctricos paulatinamente, materia de competencia hoy en día de los ingenieros mecatrónicos y que han llevado lo que comenzó como un arcaico método de cálculo al algoritmo que compone y facilita el mundo que nos rodea, del cual se hablará en este trabajo tomando como punto de referencia aquellos procesos de mi consideración más concurrentes y viables en la actualidad. Teniendo un conocimiento breve de los antecedentes correspondientes al trabajo investigativo que se pretende realizar, es de suma relevancia destacar que se realizará un análisis de las aplicaciones en la actualidad de los límites haciendo alusión al arcaico origen que los llevó a la trascendencia.

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JUSTIFICACIÓN En el presente trabajo se llevará a cabo una investigación minuciosa y exhaustiva; un análisis concienzudo de cada elemento que tengamos a nuestra disposición, a fin de encontrar una aplicación útil del tema de límites matemáticos en la ingeniería mecatrónica como ciencia y en el trajín hacia la obtención de una ingeniería en la materia, de tal manera que dicha investigación facilite nuestro desempeño y compresión de los temas próximos a ver; al igual que colabore en el desarrollo de innovaciones en pro del desarrollo de la humanidad en todos sus aspectos. De manera general hay que indicar que el propósito que se desea alcanzar luego de realizadas investigaciones, estudios pertinentes, análisis, estudios comparativos y haber agotado toda idea y formas de poder sacar a flote el tema de nuestra investigación, es inmiscuirnos de lleno y de manera precisa en los pocas aplicaciones que veremos con respecto a los límites en la mecatrónica, ya que de esa manera se podrá comprender a cabalidad cada tema detallado por la amplitud que pueden adquirir al ser pocos, ya que de lo contrario se vería forzado de hablar de una manera general y casi sin detalle de cada aplicación; de tal manera que esta investigación sea una guía y facilitadora para comprender los temas que se verán en semestres posteriores y por ende están vinculado al tema, al igual que se pueda percibir aires de trascendencia con respecto a la materia en cuestión. El estudio informativo, doctrinario de los diversos enfoques respecto al tema propuesto serán la pauta y punto de partida para empezar a lograr nuestro propósito de dar solución al problema planteado, del tema que ha sido cuestionado, que ha sido motivo de ideas controvertidas a lo largo de la vida de nuestro planeta. Dando lugar a diversos puntos de vista, estudios, investigaciones.

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OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL •Visualizar, analizar e indagar minuciosamente en el presente trabajo investigativo a fin de

hacernos con la sapiencia, desarrollo lógico, crecimiento en valores humanos, aptitudes y actitudes que se desea obtener del mismo, es decir, la elaboración de un proyecto cabal; mediante el empleo de los métodos de nuestra consideración más adecuados para el desarrollo del mismo, haciendo alusión siempre al empirismo y documentación histórica, que forman parte hoy en día tan requerido y acertado método científico que nos proporciona los resultados más acertados y veraces en lo que respecta investigación de campo, sin dejar de un lado el razonamiento lógico y matemático que sin duda con sus fórmulas y razones nos brindarán un resultado mejor de lo esperado; resultado tan ansiado para hallarnos con la satisfacción de haber sacado a flote y vinculado con la actualidad la importantísima doctrina siglos atrás expuesta por los sabios griegos, que si bien para su época era avanzada, hoy ya no lo es más, y pasa a ser primitiva, por lo que requiere de nuestra actualización, para que de tal forma esta pueda ser transmitida a través de generaciones y pueda seguir empapando de conocimiento a las contemporáneas generaciones y a las que están por venir, esperando así la formación de trabajadores y seres humanos de calidad.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS •Mostrar una aplicación sencilla pero importante del tema de límites como una operación matemática relevante para ciertos problemas en ingeniería.

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• Analizar, indagar, mejorar y razonar la serie de criterios vertidos por los antiguos griegos previo a la consolidación de la doctrina de los límites, así como también los criterios posteriores a la constitución de la misma, ya que de cierta manera complementaron la teoría original y permitieron su ascenso evolutivo, para de esa manera establecer una óptima aplicabilidad de la doctrina a nuestros días mediante la ingeniería mecatrónica.

• Establecer de manera amplia y detallada las diversas aplicaciones de los límites matemáticos a la ingeniería mecatrónica, por ende a los sistemas, mecanismos y soluciones que estas puedan crear a través de las mismas en pro de la mejora y/u optimización de la calidad de vida de la humanidad, en todos los ámbitos, tanto en el médico, laboral, familiar e individual

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MARCO TEÓRICO

CAPÍTULO I DEFINICIÓN DE LÍMITE

Considero la opción más óptima y conveniente dar inicio al desarrollo del trabajo investigativo en cuestión, haciendo hincapié en la definición de límite, para que con el conocimiento del argumento que componga al mismo, podamos comprender con claridad los temas a tratar posteriormente. El concepto de límite es una noción topológica, es decir, una noción dedicada al estudio de aquellas propiedades de

los

cuerpos geométricos que

permanecen

inalteradas por

transformaciones continuas; que formaliza “la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor”. (Stewart, 1988) En cálculo este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros. Si bien, el concepto de límite parece intuitivamente relacionado con el concepto de distancia, en un espacio tridimensional, es la clase de conjuntos abiertos inducidos por dicha métrica, lo que permite definir rigurosamente la noción de límite. “Para fórmular el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.” (Stewart, 1988)

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CLASIFICACIÓN DE LOS LÍMITES De manera general y escueta los límites se dividen en dos: Límite de una sucesión La definición de límite matemático para el caso de una sucesión indica intuitivamente que los términos de la sucesión se aproximan arbitrariamente a un único número o punto L, si existe, para valores grandes de n; de manera muy similar al límite de una función donde un valor x tiende a cualquier número real o infinito. Se denota como: lim

→∞

Ilustración de una sucesión convergente a cero. [Figura 1]. Recuperado de: rrinconmatematico.com

Si y solo si para todo valor real mayor que cero se puede encontrar un número natural tal que todos los valores de una sucesión, a partir de cierto valor natural n mayor que N, se acerquen a L cuando n crezca ilimitadamente. Este límite, si existe, se puede demostrar que es único. Si los términos de la sucesión no convergen a ningún punto específico, entonces se dice que la sucesión es divergente.

Límite de una función Intuitivamente se define como el hecho de que una función f alcance un límite L en un punto c, lo que significa que, tomando puntos suficientemente próximos a c, el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee. La cercanía de los

Ilustración de sistema de coordenadas cartesianas de los parámetros utilizados en la definición de límite. [Figura 2]. Recuperado de: rrinconmatematico.com

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valores de f y L no depende del valor que adquiere f en dicho punto c. Se denota por:lim ( ) → =

CAPÍTULO II

RESEÑA HISTÓRICA DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS

En este capítulo nos plantearemos los antecedentes de la doctrina emitida siglos atrás con respecto a los límites de manera informal hasta alcanzar su formalidad varios siglos después. Los

antiguos

utilizaban

griegos

procedimientos

basados en límites para calcular áreas, como el área del círculo, consistente en cubrir o (agotar) una región de

forma

como utilizando

tan

fuera

completa posible triángulos.

Sumando las áreas de los Ilustración de la aplicación de los límites en la medición de áreas en la antigua grecia. [Figura 3]. Recuperado de: rrinconmatematico.com

triángulos se tenía una aproximación al área de la región de interés. Newton y Leibniz, a pesar de ser los inventores del cálculo, no dieron una definición rigurosa del procedimiento, por lo que

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tuvieron que pasar varios años para que el matemático francés Augustine-louis cauchy(17891857) fuera el primero en desarrollar una definición rigurosa de límite, la cual tiempo después fue perfeccionada por el matemático alemán Karl Weierstrass (1815-1897), definición la cual ha sido la más aceptada al ser la más concisa y completa, razón por la cual se ha convertido en prácticamente una ley. (Alvarado)

CAPÍTULO III APLICACIÓN DE LOS LÍMITES MATEMÁTICOS A LA INGENIERÍA MECATRÓNICA En el presente capítulo se abordará el tema central de la presente investigación, que es el de que a partir de la recopilación de información de fuentes acreditadas y su correspondiente análisis, se logre delimitar algunas aplicaciones útiles de los límites matemáticos al campo de la mecatrónica, que como ciencia se desarrolla en pro de la trascendencia del ser humano y de la sociedad en general, así como también se busca traspasar las fronteras de la simplicia y muchas veces tediosa teoría que sin experimentación queda en la nada, remontándonos y entablando una relación entre la pasión y la doctrina. Límites y su aplicación en Sistemas de Control Para entrar de lleno al desarrollo del cuerpo del tema relativo a la aplicación de los límites matemáticos en sistemas de control es indispensable remontarnos a la base o matriz de un sistema de control, un sistema dinámico, aquel que como lo define Álvarez B. en su libro “Sistemas de control”:

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Abarca a un sistema de control y puede definirse conceptualmente como un ente que recibe unas acciones externas o variables de entrada, y cuya respuesta a estas acciones externas son las denominadas variables de salida. Las acciones externas al sistema se dividen en dos grupos, variables de control, que se pueden manipular, y perturbaciones sobre las que no es posible ningún tipo de control. (pág 3)

Ilustración del modo conceptual del funcionamiento de un sistema [Figura 4]. Recuperado de: https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/3330/34059-5.pdf?sequence=5

Dentro de los sistemas se encuentra el concepto de sistema de control. Un sistema de control es un tipo de sistema que se caracteriza por la presencia de una serie de elementos que permiten influir en el funcionamiento del sistema. La finalidad de un sistema de control es conseguir, mediante la manipulación de las variables de control, un dominio sobre las variables de salida, de modo que estas alcancen unos valores prefijados. Un sistema de control ideal debe ser capaz de conseguir su objetivo cumpliendo los siguientes requisitos:

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1. Garantizar la estabilidad y, particularmente, ser robusto frente a perturbaciones y errores en los modelos. 2. Ser tan eficiente como sea posible, según un criterio preestablecido. Normalmente este criterio consiste en que la acción de control sobre las variables de entrada sea realizable, evitando comportamientos bruscos e irreales. 3. Ser fácilmente implementable y cómodo de operar en tiempo real con ayuda de un ordenador. Los elementos básicos que forman parte de un sistema de control y permiten su manipulación son los siguientes: - Sensores: Permiten conocer los valores de las variables medidas del sistema. - Controlador: Utilizando los valores determinados por los sensores y la consigna impuesta, calcula la acción que debe aplicarse para modificar las variables de control en base a cierta estrategia. - Actuador: Es el mecanismo que ejecuta la acción calculada por el controlador y que modifica las variables de control.

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Ilustración de un sistema de control [Figura 5]. Recuperado de: https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2099.1/3330/34059-5.pdf?sequence=5

Aplicación para el programa curricular: Los problemas a continuación se relacionan con el área de los sistemas de control y en general el análisis de sistemas dinámicos. Estas áreas son de vital importancia en el desarrollo de la carrera de Ing. Mecatrónica y resulta de interés también para ingenieros mecánicos que requieren una visión ampliada de su carrera a técnicas de control de sistemas y mecanismos. Determinación de errores de estado estacionarios En el área de sistemas de control se utilizan las llamadas funciones de transferencia como una forma para representar un sistema de manera simplificada de modo que si definimos la función de transferencia de un sistema como G(s), la salida de ese sistema ante una determinada señal de entrada R(s) estará dada por la expresión:

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Para estas funciones se define el error de estado estacionario de posición (es decir la diferencia entre la salida esperada y salida obtenida) por la expresión:

Donde:

Para determinar el estado estacionario de posición con respecto a determinadas funciones se aplica límites de la siguiente manera, sien...