Lista 7 Mates I 2020-21 PDF

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lista de ejercicio de mates I...

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Grado en Administración y Dirección de Empresas Grado en Contabilidad y Finanzas Grado en Economía Grado en Empresa y Tecnología

Matemáticas I Lista de problemas

Tema 7: Optimización con una variable

Departament d’Economia i d’Història Econòmica

1. Dad el conjunto de puntos candidatos a extremos locales (sin clasificarlos en máximos y mínimos) y estudiad los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones. (a) (c) (e) (g)

(i)

x3 − 2x2 + 3x + 1 3 (x − 2)3 f (x) = (x − 1)2

f (x) =

f (x) = cos x ln x x 1  , si x < −1,   x f (x) = x, si −1 ≤ x < 0,     −x(x − 1), si x ≥ 0; f (x) =

(b)

f (x) = | ln x|

(d)

f (x) = (x − 1) · x2/3

(f)

f (x) = | sin x|

(h)

f (x) =

x ln x

  1 , si x < 0,  x−1 f (x) =   1 , si x ≥ 0; x+1

(j)

(k)

Según los valores del parámetro a,  ax · (x + 1), si x < 0, f (x) = −x · (x − 1), si x ≥ 0.

2. Para cada una de las funciones del ejercicio anterior clasificad los candidatos en máximos, mínimos y puntos de inflexión. Calculad también los intervalos de concavidad y convexidad.

3. Calculad los máximos y mínimos de la siguiente función según los valores del parámetro a:  −x, if x ∈ [−1, 1], f (x) = a  , if x > 1. x 4. Para cada una de las siguientes funciones calculad los máximos y mínimos locales y globales en los dominios que se indican. (a)

f (x) = x · (x − 1), D = [0, 1];

(b)

f (x) = −x · (x − 1), D = [0, ∞];

(c)

f (x) = | ln x|, D = (0, e];

(d)

f (x) =

2

1 , D = (−1, 1). x2

5. Fijaos bien en que la condición f ′ (x) = 0 sólo nos da información de extremos (máximos y mínimos) locales. Calculad ahora los extremos globales de las siguientes funciones en los dominios que se indican usando todas las herramientas necesarias. (a)

f (x) = x · (1 − x), D = R;

(b)

f (x) = x · (1 − x), D = [−1, 1];

(c)

f (x) = x · (1 − x), D = (−∞, 0);

(d)

f (x) = | ln x|, D = R;

(e)

f (x) = | ln x|, D = (0, ∞);

(f)

f (x) = | ln x|, D = (1, 2);

(g)

f (x) = x, D = R;

(h)

f (x) = x, D = (−1, 1).

6. Calculad los máxims y mínimos de las siguientes funciones definidas a trozos en los dominios donde están definidas.   x2 − x + 1, si x ∈ [0, 1], (a) f (x) = 1   , si x ≥ 1; x

(b)

f (x) =

 −(x + 1), si x ∈ [−3, −1),       (x + 1)(x + 2), si x ∈ [−1, 0),   (x − 1)(x − 2), si x ∈ [0, 1),      x − 1, si x ∈ [1, 4].

7. La función de utilidad de cierto consumidor es u(x, y) = x2 y4 . Maximizad su utilidad suponiendo que su restricción presupuestaria es x + y = 1.

8. Como es sabido muchas empresas de bebidas presentan su producto en latas. Supongamos que el volumen de cada lata está fijado por el mercado en un litro. ¿Cuales deben ser las dimensiones de la lata (que suponemos cilíndrica) para minimizar la superfície (y de esta manera el coste de producción por unidad)?

9. Examen: (a) Demostrad que la función x3 − 3x + k, k ∈ R, tiene, como mucho, una raíz en [−1, 1]. Identificad los valores de k para los que tiene solución única. (b) Demostrad que la ecuación ex − x = 1 tiene una única solución real. [INDICACIÓN: Utilizad el teorema de Bolzano que afirma que si una función f está definida, es continua en un interval cerrado y acotado [a, b], y

luego f tiene al menos una raíz que pertenece a (a, b).]

f (a) · f (b) < 0,

10. Una empresa sabe que vende 100 unidades de cierto producto si ofrece un precio de 50 euros. Además también sabe que un aumento en el precio del producto de un euro provoca un descenso de las ventas de 5 unidades. Suponiendo que la función de demanda es lineal y la función de costes de la empresa es C(q) = q 2 + 10q + 100, obtened la función de demanda, es decir, p(q) y el precio que maximiza el beneficio.

3

11. Una empresa produce un cierto bien en una cantidad q. Las funciones de ingresos y coste son: I(q) = − C(q) =

18 6 3 q + 3 q 2 − 2q + 100; 106 10

2 2 q − 24q + 11000. 102

(a) Calculad el valor de q que maximiza el ingreso marginal, es decir la función derivada del ingreso. (b) Calculad el valor de q que nos da beneficio máximo (recordad que el beneficio viene dado por la ecuación B(q) = I(q) − C(q)). ¿Cual es el beneficio máximo?

12. Calculad los extremos (máximos y mínimos relativos) y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones en cada uno de los siguientes dominios: D1 = R, D2 = [−1, 1], D3 = (−∞, 0), D4 = (−2, −1) ∪ [1, 3].  x2 + x,

si x ≤ 0,

(a)

f (x) =

(b)

 1  , si x < −1,  2   x si −1 ≤ x ≤ 1, f (x) = −x,    ln x   , si x > 1. x

13. Examen: Sea la función:

Se pide:

x2 − x,

si x > 0.

 2 x   , si x < 0,  x+1 f (x) =    1 , si x ≥ 0. x+1

(a) Dad el dominio de definición de f y estudiad su continuidad en x = 0. ¿De qué tipo de discontinuidad se trata? (b) Calculad la recta tangente a f en el punto x = 1. (c) Estudiad la monotonía de f . (d) Calculad las asíntotas de f . (e) Haced un esbozo de la gráfica de f . (f) ¿Porqué se puede asegurar que f tiene un máximo absoluto en el intervalo [3, 5]? ¿Dónde se encuentra?

14. Examen: En un mercado monopolístico, la función de demanda es: p(q) = 50 − q

donde p es el precio y q la

cantidad. La función de costes es: C(q) = q 2 + 6q + 20. Se pide calcular la función de beneficios (en función de q) y determinar la cantidad q ∗ que maximiza el beneficio.

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