Catàleg Mates per Micro PDF

Preview

Summary

Mates básica...

Description

Notes pel curs de Micro 1: 2020-21 Ferran Sancho Catàleg de conceptes matemàtiques necessaris en Microeconomia

Variables, funcions i equacions. Procurarem limitar l’ús de les matemàtiques però no és possible reduir el seu ús a zero. Hi han uns mínim de suficiència i competència imprescindibles. Se suposa que tothom té capacitat per entendre i distingir: 



que és una una

i que és .

que és una funció i que és una equació. i Els valors que adoptin les variables independents determinarà el valor de la variable dependent. Aquí teniu uns qu ts xemples de funcions amb dos

u  u ( x1 , x2 )  x1  x2 u  u ( x1 , x2 )  x1  x2 u  u ( x1 , x2 )  Min ( x1 , x2 )

En definitiva, constatem que una n la primera funció tenim una regla per la suma de les variables independents i que ens dona el valor de la dependent u. En la segona la regla de transformació és el producte mentre que en la tercera la variable dependent pren el valor del mínim de les dos independents. Els possibles , mentre que els . Una funció és una regla amb una propietat especial: un valor en el domini de la funció només pot tenir una imatge en el recorregut. Per exemple, la regla que transforma un número real positiu en la seva arrel quadrada no és una funció. En efecte, amb aquesta regla el número real 4 es transformaria en dos imatges: els números +2 i -2. Quan necessitem fer servir l’arrel 1

quadrada com a funció hem de explicitar si usem l’arrel quadrada positiva o la negativa. Cadascuna d’aquestes sí que és una funció, un cop introduïm la restricció del signe. En general, si el domini i recorregut d’una funció f és el conjunt R dels números reals, escrivim f:R→R. Si el domini son parelles de números reals, aleshores el conjunt rellevant és R2 i si el recorregut continua sent R, aleshores ho escrivim així f:R2→R. Podeu pensar en la generalització a altres espais, però en el curs de Micro aquests són els casos habituals. En ocasions, el domini i el recorregut d’una funció f són subconjunts de R, R2, etc. i aleshores escrivim f:AR→BR o f:AR2→BR, etc. En particular, en economia aquest subconjunts A, B, etc. són sovint la part no negativa de R, R2, etc. ja que les variables econòmiques són, com a regla general, no negatives (hi han excepcions: els beneficis d’una empresa poden ser negatius).

. Per exemple, la expressió 22 = 4 és una equació que ens diu que el quadrat del número 2 és el número 4. Es rics. Per exemple l’equació: x2  4

es compleix quan x = 2 (i també quan x = –2) . Direm que x = 2 és una solució de l’equació. En canvi, la equació: x 2  4

no es compleix per cap número real. La funció: 



tenim l’equació: 



que es compleix per diversos valors de x1 i de x2. Així, aquesta equació és verdadera quan x1=5 i x2=2, o x1=1 i x2=10 però és falsa quan x1=4 i x2 =3. El llenguatge matemàtic presenta algunes ambigüitats, com qualsevol llenguatge. Malgrat que una funció i una equació són en principi coses diferents, la funció: 2

y  a b x

amb constants reals a i b també és coneguda com a "equació de la recta". Quan no facin cap mal, acceptarem aquestes petites ambigüitats designatives. . En l’equació de la recta cal distingir entre el

Operacions algebraiques bàsiques. Es imprescindible tenir familiaritat amb la manipulació algebraica d’expressions matemàtiques ja que ens facilitaran, i molt, la simplificació i de retruc la comprensió de la matèria. Per exemple, tindrem sempre: a



 

1 

1 

x  x x x

 x x

(x )  x

 x

 1

x

1

 ( x )  (x )

El pendent d’una funció d’una funció. El cas de la recta és, sortosament, particularment simple. Si l’equació es compleix en els punts (x0, y0) i (x1, y1) aleshores es verificarà que y1  a  b  x1 y0  a  b  x0

Restant membre a membre: y 1  y 0  bx 1  bx 0  b( x 1  x 0)

3

Veiem que la diferència y1  y 0 és el canvi en la variable dependent y quan canvia la variable independent x en x1  x0 . Aquests canvis els representem habitualment amb el símbol Δ:  y  y1  y 0  x  x1 x 0



 

Si la constant b és positiva, tindrem que la variable dependent y augmentarà quan ho faci la independent x. I recíprocament també sabem que y caurà quan caigui x. Quan els canvis Δ en les variables són molt petits (en economia els hi direm canvis "marginals") es canvia la notació a: b

dy dx

i veurem que el coeficient b de l’equació de la recta és precisament allò que coneixem amb el nom de derivada de la funció quan adopta el format d’equació de la recta. Les derivades. Per una funció real d’una sola variable independent acostumem a escriure: y  f ( x)

i la seva derivada la representem de diverses maneres; per exemple és comú usar: dy df ( x)   f ( x) dx dx

El significat del concepte de derivada el podem apreciar inspeccionant la definició del concepte de derivada. Per un punt x0 en el domini de la funció y = f(x), la derivada en x0 es defineix com: f '( x0 )  lim

x1 x0

f ( x1 )  f ( x 0 ) x1  x0

4

Veiem que en el numerador tenim el canvi en el valor de la funció entre el punt base x0 i un punt molt proper com x1 i en el denominador tenim el canvi en la variable independent entre x1 i x0. La derivada per tant ens mesura la ràtio entre els canvis en la variable independent (numerador) i els de la variable independent (denominador). Com fem el càlcul tendint al límit, acabem tenim la pendent mesurada per la tangent a la funció f(x) en el punt x0. El següent dibuix és gairebé auto-explicatiu. La recta entre els punts A1 i A0 és una recta secant del gràfic de la funció. El seu pendent ve donat per: f ( x1 )  f ( x 0 ) x1  x0



3.74  5.09 4 2

 0.67

Quan fem que el punt A1 s’apropi paulatinament al punt A0 sobre la funció, veiem que la recta secant esdevé la recta tangent en el punt A0. pren valor ‒0.39. Aquest és el valor de la derivada de la

La operació de passar al límit ens permet calcular la derivada en el punt x0, i de fet en qualsevol altre punt. Si podem aplicar aquest criteri del límit en qualsevol altre punt del domini de la funció f(x) haurem obtingut un egla per la qual qualsevol x del domini es transforma en una imatge amb valor (x). Aquesta regla és el que denominem la funció derivada de f(x). Es en conseqüència important, quan parlem de derivades d’una funció en un punt i la funció derivada. La derivada en un punt concret

5

Si estem treballant amb la funció: 3

y  f (x)  x 1

La funció derivada (si recordem les regles de derivació) serà: dy dx



df ( x) dx

2

 f ( x)  3  x

En el punt x0 = 1 que te imatge f(1)=2 el pendent resultarà ser f '(1)=3. Comproveu el gràfic i veureu que tot quadra.

La derivada d’una funció pot existir o no existir. Quan la derivada d’una funció . En llenguatge quotidià diem que una funció derivable és "llisa" o "suau". El que volem dir és que si visualitzem la funció en un gràfic aquesta no te cap angle o corner. Per exemple, la funció: y  f ( x)  x

no és derivable en x = 0, on té un "angle”. Recordeu que aquesta funció la podem també definir per:



≠ 0 però direm que aquesta



En aquest cas de més d’una variable independent, el concepte de derivada rellevant

Derivada d’una funció constant

Derivada d’una constant per una funció

dx

d

Derivada d’una funció composta (Regla de la cadena) Aquesta important regla de derivació requereix una notació curosa. El problema és el següent: una variable x es transforma en un valor g(x) per una primera funció g i després aquest valor es transforma en un altre valor f(g(x) per una segona funció f. Esquemàticament: x



g( x)  z



f ( g ( x ))  f ( z )  y

La funció composta es per tant: y  f ( z )  f ( g ( x ))

fent z =g(x). La "Regla de la cadena" ens diu que podem calcular la derivada així: dy df ( z) dz df ( z) dg( x)      f ( z)  g ( x) dx dz dx dz dx

Un exemple ajudarà a aclarir-ho. Considerem la funció: y  (ln( x ))

2

8

Primer la variable x es transforma en ln(x) i posteriorment tot aquest valor es transforma en el seu quadrat: x



g ( x )  ln( x )  z



2

2

f ( z )  z  ln( x )  y

Apliquem ara la "Regla de la cadena": dy dx



1 1 df ( z) dz df ( z) dg( x)     f ( z)  g ( x)  (2 z)   2 ln( x)  dz dx dz dx x x

Atenent que per les regles que hem vist amunt tindrem que f '( z )  2  z si 2 f ( z )  z i z  ln( x ) , i g ( x )  1 / x si g ( x )  ln( x ) .

és considera una constant. I a l’inrevés, quan . Per exemple per una funció u definida com tenim a baix comprovaríem que:

ts. d’una funció mesura el pendent de funció en els diversos punts del domini d’una dy df ( x )   f ( x) dx dx

Si resulta que f ( x )  0 en qualsevol x aleshores veiem que també dy/dx > 0 i per tant quan dx > 0 (és a dir, la variable independent x augmenta de valor) ha de ser el cas que dy > 0 (la variable dependent y també augmenta de valor). 



monòtona creixent. Observeu que tot continua sent vàlid si en lloc d’increments pensem en decrements. Si f ( x )  0 i dx < 0 per força dy < 0 i un cop més la variable x i la y és mouen alhora en la mateixa direcció. Si f ( x )  0 això ens detectaria una funció f que seria estrictament monòtona decreixent. Exemples:

9

f ( x)  2  x satisfà f ( x)  2  0 per tot x i per tant és estrictament creixent. f ( x)  10  2  x és estrictament decreixent: f ( x )   2  0 . f ( x)  ln( x) és estrictament creixent per x  0 ja que f  ( x )  1 / x  0. f( x)  

x és estrictament creixent per x 0 ja que f ( x) 1 / (2

x ) 0.

Convexitat. Ens centrarem en R2 per fixar les idees de forma gràfica però tot és extensible a espais amb dimensió més gran. Si x = (x1, x2) i z = (z1, z2) són dos punts (o vectors) en R2, una combinació convexa de x y z és una col·lecció de punts cλ = (c1, c2) construït de la següent manera: c    x  (1   )  z

amb 0    1

Quan λ = 0, tenim cλ = z i quan λ = 1 aleshores cλ = x. Si λ=0.5, tenim que el punt c0.5 és el punt mig entre x i z. En llenguatge estadístic, c0.5 seria la seva mitjana aritmètica; per qualsevol altre valor de λ, cλ seria una mitjana ponderada de x i z. En definitiva, una combinació convexa representa, en termes gràfics, el segment rectilini que uneix dos punts x i z.  



 construïda ara amb 0 < λ < 1 forma part de  i 0 < λ < 1 aleshores  Òbviament, , però no a l’inrevés. Un conjunt pot ser convex però no ser estrictament convex. El conjunt A és convex i estrictament convex (qualsevol combinació convexa està dins del conjunt); el conjunt B és convex però no estrictament (hi ha una combinació convexa que se solapa amb part de la frontera del conjunt); finalment, el conjunt C no és convex, hi ha una combinació convexa que s’escapa del conjunt.

Funcions convexes i còncaves. Només considerarem funcions reals d’una única variable real amb domini tot R.

10

 ( x, z ) / z 

f ( x)

. Per la funció y = f(x)=10/x tenim el següent gràfic:

El vector (x, z) = (4, 2.5) forma part del CS de f, ja que de fet està situat en la pròpia funció. El vector (x, z) = (6, 4) també forma part del CS, en aquest cas està situat per dalt de la funció; en canvi el vector (x, z) = (1, 6) no és un element del CS, el tenim situat per sota de la funció. En definitiva, el contorn superior CS és, gràficament parlant, el conjunt de tots els vectors o punts en o per sobre de la funció. El següent gràfic representa el CS de la funció i podem verificar, addicionalment, que és un conjunt estrictament convex.

11

Per tant podem concloure que la funció y = f(x)=10/x és una funció estrictament convexa, i per tant també convexa. –

CI  ( x, z ) / f ( x)  z

Són tots els punts en la pròpia funció ( = ) o per sota ( < ). Convexitat en funcions derivables. Com hem esmentat abans, la derivada f ( x ) d’una funció f ( x ) és, a la seva vegada un altre funció, i com a tal pot ser també derivable. Si "la derivada de la derivada" existeix li direm la derivada segona i la denotarem per: d dx

f ( x ) 

d  df (x )     f  ( x ) dx  dx 

Propietats: Per funcions doblement derivables tenim la següent i molt útil i operativa caracterització: i) Una funció f ( x ) és convexa si i només si f ( x )  0 en tot punt del domini. ii) Una funció f ( x ) és còncava si i només si f ( x )  0 en tot punt del domini.

12

iii) Si f ( x )  0 en tot x, aleshores la funció f és estrictament convexa. iv) Si f ( x )  0 en tot x, aleshores la funció f és estrictament còncava. Uns quants exemples. La funció: 2

y  f ( x)  x

és estrictament convexa ja que verifiquem que per tot x es compleix que f ( x )  2  0 . En canvi la funció: 4

y  f ( x)  x

2 no es estrictament convexa, ja que f ( x ) 12 x  0 però no és sempre positiva (falla en x = 0), però sí és convexa. Finalment, la funció:

3

y  f ( x)  x

resulta que no és ni còncava ni convexa; si calculem la seva segona derivada trobarem que f ( x )  6  x , que serà positiva per x > 0, negativa per x < 0 i zero per x = 0. Corbes de nivell. Considerem una funció u(x1, x2) amb dos variables independents. Si les imatges generades per la funció les seguim representant pel símbol u, podem escriure: u  u ( x1 , x 2 )

on u és la imatge numèrica del parell (x1, x2) que genera la funció u(x1, x2). Per exemple si u ( x1 , x2 )  x1  x2

i (x1, x2) = (1, 1) aleshores la imatge d’aquest punt per la funció serà u = u(1, 1) = 1. Si ara fixem numèricament el cantó esquerra, el que fem no és res més que convertir la funció u = u(x1, x2) en l’equació 1 = u(x1, x2). Aquesta equació la satisfà el punt (x1, x2) = (1, 1), com sabem, però també molts altres punts. Per exemple, aquests: (x1, x2) = (2, 0.5) i (x1, x2) = (0.5, 2). Tots ells generen la mateixa imatge u = 1.

13

El conjunt de tots els punts (x1, x2) que generen el mateix nivell d’imatge u per la funció u(x1, x2) s’anomena corba de nivell u de la funció u(x1, x2). Pel cas de l’exemple, la corba de nivell u = 1 surt de l’expressió: 1  x 1 x 2

que podem resoldre explícitament com: x2 

1 x1

Si el nivell el fixéssim em u = 4, aleshores la corba de nivell passaria a ser: x2 

4 x1

En el gràfic podeu veure tres corbes de nivell per aquesta funció considerant només valors positius de x1.

Les corbes de nivell són molt útils i ens permeten entreveure com és una funció que involucra tres variables (una dependent i dos independents) en el plànol de dos dimensions. Noteu dos coses en aquest exemple concret: 1) com a mesura que el nivell augmenta ens allunyem de l’origen de coordenades, i 2) com per un nivell fixat hi ha una relació inversa entre la variable x2 i la variable x1 Considerem un segon exemple amb la funció:

14

2

u( x1 , x2 )  2  x1  x2

Fixem un nivell u = 1 per la funció i obtenim l’equació: 2

1  2 x1 x 2

Resolem per x2 la solució no negativa de l’arrel (compte, requereix x1 > 0.5): x2 

2  x1  1

I ja podem representar aquesta corba de nivell, o qualsevol altre canviant el nivell escollit. En el dibuix en teniu tres, per u=1, u=4 i u=8:

Sistemes d’equacions rs d’unes En el cas que el nombre d’equacions coincideixi amb el nombre d’incògnites tenim un sistema quadrat d’equacions. El fet que tinguem tantes equacions com incògnites no garanteix que el sistema tingui una solució o que aquesta solució sigui única. El sistema composat per les equacions: x13  x 2  4   3  x1  x2  0 

té una única solució en números reals: (x1, x2) = (1, 3). El sistema: 15

x21  3  x2  10   6  x1 + x22  28  

té dos solucions reals: (x1, x2) = (4, 2) i (x1, x2) = (-5.81, 7.93) mentre que el sistema: x1  2  x2  4   2 x1  x2  6  

no en té cap. El procediment "manual" de resolució habitual usa el mètode de substitució:  

, cal escollir una equació i aïllar una variable en funció de l’altre; , es procedeix a substituir l’expressió obtinguda en l’altre equació que

 

, si hi ha encert (o sort) introduir el resultat en l’expressió de l’altre

Fem-ho pel primer sistema d’equacions: x13  x 2  4   3  x1  x2  0 

i) En la segona equació aïllem x2 en funció de x1: x2 = 3  x1 ii) Substituïm en la primera. Queda: x13  3  x1  4 . iii) Resolem: x13  3  x1  4 . A simple vista es veu que x1=1 funciona. iv) Calculem l’altre variable: x2 = 3  x1 = 3  1=3. Finito. Malauradament, no sempre és tan immediat. Tot depèn de lo complexa que sigui l’estructura del sistema d’equacions. Els sistemes lineals són molt més tractables que els no lineals. Optimització sense restriccions. Partim d’una funció derivable y = f(x) i volem esbrinar quins valors de la variable independent x donen lloc als valors màxims (o mínims) de la variable dependent y. Ens centrarem ara en els màxims. Una primera distinció és si els valors màxims en qüestió són locals o globals. Direm que la funció f(x) assoleix un màxim global en x0 si f(x) ≥ f(x0) per tot valor x en el domini de la funció.

16

Direm que la funció f(x) assoleix un màxim local en x0 si f(x) ≥ f(x0) per tot valor x en un entorn del punt x0. Condició necessària: Si x0 és un punt de l’interior del domini de la funció i x0 dóna lloc a un màxim local aleshores la derivada de la funció en el punt x0 és zero: f ( x0 )  0 . Condició suficient: Si x0 és un punt interior del domini de la funció, la primera derivada en x0 és zero: f ( x0 )  0 i la segona derivada en x0 és negativa: f ( x 0 )  0 , aleshores podem garantir que x0 dóna lloc a un màxim local de la funció. Observació 1. Quant la primera derivada en un punt interior x0 és zero això identifica un punt que pot ser un màxim local, un mínim local o fins i tot un punt d’inflexió. Exemples: i) Si

2

f (x)  x

tenim que f ( x )  2  x i per x 0  0 es compleix que

f (0)  0 . Aquest punt x0 = 0 genera un màxim local.

ii) Si

f ( x)  x

2

tenim que

f ( x)  2  x i per x 0  0 es compleix que la

derivada f (0)  0 . No obstant, aquest punt x0  0 genera un mínim local. 3 2 iii) Si f ( x )  x tenim que f ( x )  3  x i per x 0  0 també és compleix que

f (0)  0 . Aquest punt x0 = 0 resulta que no dóna lloc ni a un màxim ni a un

mínim local. El que tenim és un punt d’inflexió. La condició que la primera derivada sigui zero no és suficient per identificar un màxim, com constatem en els exemples anteriors. Es necessària però no és suficient. Observació 2. Si la funció f(x) satisfà f ( x )  0 per tot punt x del domini de la funció, i per tant és estrictament còncava, aleshores la condició necessària identifica directament un màxim. I a més, aquest màxim és global. Observació 3. Si el punt in...