Problemas Tema 4 mates 2 PDF

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AE-EC-FC. Matem´ aticas II. Problemas del tema 4 1. Halla las u ´ nicas soluciones posibles a los siguientes problemas de optimizaci´ on restringida: a) m´ ax f (x, y) = x + y sujeto a x2 + y = 1. b) m´ın f (x, y) = x2 + y 2 sujeto a x + 2y = 4. c) m´ ax f (x, y) = 10x1/2 y 1/5 sujeto a 2x + 4y = 9. 2. Halla los extremos, si existen, de las funciones que se indican y con las restricciones dadas: a) f (x, y) = 3xy sujeto a x2 + y 2 = 8. b) f (x, y) = x + y sujeto a x2 + 3xy + 3y 2 = 3. 3. Sea el problema de maximizar la funci´ on f (x, y) = x + y con la condici´ on g(x, y) = x2 + y = 1. a) Escribe la funci´ on lagrangiana del problema y resuelve las condiciones necesarias en este caso. b) Sustituye la restricci´ on por x2 + y = 1.1 y resuelve el problema en este caso. Halla la variaci´ on en el valor ´optimo de f y comprueba si es aproximadamente igual a λ · 0.1. 4. Sea el problema de minimizar f (x, y) = x2 + y 2 sujeta a x + 2y = a (a constante). a) Transforma el problema en uno de minimizaci´ on en la variable x s´ olo (despejando la y). b) Escribe la funci´ on lagrangiana del problema y resuelve las condiciones necesarias en este caso. c) Sea (x∗ (a), y ∗(a)) la soluci´ on del problema. Comprueba que se verifica que: df (x∗ (a), y∗ (a)) = λ(a) da siendo λ(a) el valor del multiplicador de Lagrange del problema. 5. Resuelve los problemas siguientes por el m´etodo del lagrangiano. Prueba en cada caso que se ha encontrado la soluci´ on o´ptima. a) m´ax x2 + 3xy + y 2 sujeta a x + y = 100. √ b) m´ax 12x y sujeta a 3x + 4y = 12. 1

6. Sea el problema de maximizar xy sujeto a x + y = 2. Usando el m´ etodo de los multiplicadores de Lagrange, demuestra que (x, y) = (1, 1) resuelve el problema con λ = 1. Demuestra que el punto (1, 1) no maximiza la funci´ on L(x, y) = xy − 1 · (x + y − 2). 7. Sea el problema de hallar el m´ ax 10x1/2 y 1/3 sujeta a 2x + 4y = m. a) Escribe las condiciones necesarias en este caso y resu´elvelas en x, y, λ como funciones de m. b) Comprueba otra vez que: df (x∗ (m), y∗ (m)) = λ(m) dm 8. El texto siguiente est´ a sacado de un libro de matem´ aticas de gesti´ on y contiene errores graves. Det´ectalos y corr´ıgelos: “Consideremos el problema general de hallar los puntos o´ptimos de z = f (x, y) sujeta a la restricci´ on g(x, y) = 0. Claramente los puntos ´optimos deben verificar que fx′(x, y) = 0, as de la restricci´ on g(x, y) = 0. As´ı hay tres ecuaciones fy′ (x, y) = 0 adem´ que deben verificarse por las dos inc´ ognitas x, y. Como hay m´ as ecuaciones que inc´ ognitas, el sistema se llama superdeterminado y, en general, es dif´ıcil de resolver. Para facilitar los c´alculos . . . ” 9. Consideremos el problema: m´ın f (x, y) = (x − 1)2 + y 2 sujeto a y 2 − 8x = 0 a) Trata de convertir el problema en uno de optimizaci´ on con la variable x. ´Idem con la variable y. Comenta las conclusiones. b) Resuelve el problema por el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange. 10. Consideremos el problema: m´ın x2 + y 2 + z 2 sujeto a x + y + z = 1 Escribe la funci´ on lagrangiana del problema y resuelve el sistema para hallar el u ´ nico punto (x, y, z) que verifica las condiciones necesarias en este caso. 11. Resuelve el problema: 1 m´ın x + 4y + 3z sujeto a x2 + y 2 + z 2 = b 3 tomando b > 0 y suponiendo que el problema admite soluci´ on.

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12. Consideremos el problema m´ın f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 sujeto a: x + 2y + z = 1 , 2x − y − 3z = 4 a) Construye la funci´ on Lagrangiana, aplica la condici´ on necesaria de extremo y encuentra la soluci´ on (x, y, z; λ1 , λ2 ) = (16/15, 1/3, −11/15; 52/75, 54/75) b) Sea el punto (x, y, z) = (16/15 + h, 1/3 + k, −11/15 + l). Demuestra que si este punto satisface las restricciones, entonces debe ser k = −h y l = h. Prueba que, en este caso, es f (x, y, z) = (16/15)2 + (1/3)2 + (−11/15)2 + 3h2 ¿Cual es la conclusi´ on? 13. Resuelve el problema m´ın f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + z 2 − 2x + z sujeto a: x + y + z = 1 , 2x − y − z = 5 14. Halla los valores donde se alcanza el m´ aximo y el m´ınimo de la funci´ on: f (x, y, z ) = x + y + z sujeto a: x2 + y 2 + z 2 = 1 , x − y − z = 1 15. ´Idem (si es posible) con f (x, y, z ) = x + y sujeto a: x2 + 2y 2 + z 2 = 1 , x + y + z = 1 16. Un problema estad´ıstico exige resolver el problema (suponiendo la existencia de la soluci´ on) m´ın a21 x12 + a22x22 + · · · + an2 x2n sujeto a: x1 + x2 + · · · + xn = 1 Resuelve el problema. 3

17. Sea el problema m´ ax f (x, y, z) = 4z − x2 − y 2 − z 2 sujeto a: g(x, y, z) = z − xy = 0 a) Construye la funci´ on Lagrangiana, aplica la condici´ on necesaria de extremo y encuentra todas las soluciones del sistema resultante. b) Demuestra que el punto (1, 1, 1) es un m´ aximo de f . c) Halla un valor aproximado de la variaci´ on del valor m´ aximo de f si se cambia la restricci´ on original por una “pr´ oxima” como z − xy = 0.1.

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