Lista de Exercícios: soluções -Unidade 2 PDF

Preview

Summary

Lista de Exercícios: soluções - Unidade 2 2.1 Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo de elasticidade E = 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola simplesmente apoiada nas duas extremidades p...

Description

Lista de Exercícios: soluções - Unidade 2 2.1

Uma lâmina de aço de espessura (ou altura) t = 3 mm, comprimento L = 300 mm, largura b = 20 mm, módulo de elasticidade E = 210 x 109 Pa tem a sua face plana paralela ao plano horizontal e é usada como uma mola simplesmente apoiada nas duas extremidades para suportar uma massa na metade de seu comprimento. (a) Determinar a constante de mola para a força e deslocamento na direção vertical, na posição da massa. (b) Quais as modificações que se fariam nas dimensões da viga para duplicar a sua constante de mola? (c) Determinar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra com lubrificante entre elas (não há atrito). (d) Encontrar a constante de mola se duas lâminas são usadas uma em cima da outra e soldadas juntas. Dados: t = 3 mm, L = 300 mm, b = 20 mm, E = 210 x 109 Pa 48EI (a) Viga bi-apoiada sob flexão  k  3 L bt 3 0,02  0,0033 com I    45 1012 m4 12 12 48EI 48  210 10 9  45 10 12  16,8 10 3 N/m k 3  0,33 L (b) Para duplicar a constante de mola da viga podem ser adotadas as seguintes soluções: 1. Diminuir o comprimento para

L3

48EI 48  210 10 9  45 10 12 3  0,238 m 2k 2 16,8 10 3

2. Aumento do momento de inércia (dimensões da seção transversal) 2kl 3 2  16,8  103  0,33 I   9  1011 m4 48E 48  210  109 (c) A configuração proposta consitui-se em uma associação em paralelo, implicando na duplicação da rigidez, de forma que k  2 16,8 103  33,6 103 N/m (d) Desta forma a espessura da viga é duplicada t = 6 mm bt 3 0,02  0,0063 I   360 1012 m4 12 12 48EI 48  210  10 9  360  10 12 k 3   134  10 3 N/m L 0,33 2.2

Uma máquina de massa m = 500 kg é montada em uma viga de aço bi-apoiada, de comprimento L = 2 m, que possui uma seção transversal retangular (espessura = 0,1 m, largura = 1,2 m) e E = 210 x 109 N/m2. Para reduzir a flecha no centro da viga foi colocada uma mola de rigidez k, como mostra a Fig. 2.1. Determinar o valor de k necessário para reduzir a flecha da viga para um terço do seu valor original (sem a mola). Assumir que a massa da viga é desprezível.

m k Figura 2.1 Dados: m = 500 kg, L = 2 m, t = 0,1 m, b = 1,2 m e E = 206 x 109 N/m2. Como o momento de inércia (em relação à linha elástica) de uma viga é b t 3 1,2  0,13 I   1,00  10  4 m 4 12 12 A rigidez de uma viga bi-apoiada com carga concentrada no centro é 48EI 48  210  10 9  1,00  10 4 kv  3   126  10 6 N/m L 23

A mola de rigidez k se associa em paralelo (observar que aumenta a rigidez) com a viga. Para que a flecha seja reduzida para um terço de seu valor inicial tem-se P  kv P   fina l  viga  3 3 keq De onde keq  kv  k  3 kv  k  2kv  2  123,6  10 6  252  10 6 N/m 2.3

O eixo de um elevador em uma mina está suspenso por dois cabos de comprimento L = 150 m e diâmetro d = 20 mm cada. Os cabos são feitos de aço com módulo de elasticidade E = 210 x 109 Pa. (a) Determinar a constante de mola do sistema se for aplicada uma carga vertical na extremidade inferior do eixo para deslocamento na direção vertical. (b) Determinar como a constante de mola irá variar se o número de cabos for aumentado para quatro. (c) Determinar como a constante de mola irá variar se o diâmetro do cabo mudar para 30 mm (com dois cabos). Dados: L = 150 m, d = 20 mm, E = 210 x 109 Pa. EA Ed 2   210  10 9  0,02 2 (a) k   440  10 3 N/m   L 4L 4  150 Com dois cabos em paralelo keq  2k  880 10 3 N/m (b) keq  4k  1,76  10 6 N/m (c) k 

EA Ed 2   210 10 9  0,03 2    990 10 3 N/m 4L 4 150 L

keq  2k  1,98  10 6 N/m

Comparando os resultados dos itens a) e c), ocorreu uma variação de 2,25 vezes na rigidez para uma ampliação de 50% no diâmetro do cabo. 2.4

Um sistema de barra de torção de uma suspensão automotiva possui comprimento L = 1,5 m e diâmetro d = 18 mm. O módulo de elasticidade transversal é G = 85 GPa. (a) Determinar a rigidez torsional da barra para torques aplicados em ambas extremidades. (b) Determinar a rigidez torsional se o material da barra for bronze com G = 41 GPa. Dados: l = 1,5 m, d = 18 mm, G = 85 GPa (a) d 4   0,0184 J    10,3  109 m4 32 32 GJ 85  10 9  10,3  10 9 kt    584 N.m/rad L 1,5 (b) Com G = 41 GPa GJ 41  10 9  10,3  10 9 kt    282 N.m/rad L 1,5

2.5

Uma mola de lâminas múltiplas consiste de três lâminas de aço de comprimento L = 0,3 m, largura b = 0,10 m e espessura t = 0,005 m (Fig. 2.2). Determinar a constante de mola para deflexão vertical se o módulo de elasticidade é E = 210 x 109 Pa e o bloco de conexão é rígido. Notar que as extremidades das lâminas permanecem sempre horizontais.

Figura 2.2 Dados: L = 0,3 m, b = 0,10 m, t = 0,005 m e E = 210 GPa Uma viga bi-engastada, com carregamento P concentrado no seu centro, possui uma deformação igual a PL3viga  192 EI Cada uma das 3 lâminas é uma viga engastada com a sua extremidade condicionada a uma deformação vertical, sem girar. Desta forma ela pode, em função da simetria, ser considerada como a metade de uma viga bi-engastada com carregamento concentrado no centro. Desta forma pode-se dizer que será necessário o dobro da carga para produzir uma igual deformação em uma viga bi-engastada com o dobro do comprimento de cada lâmina. F  F  3   2 2 L 3 3     k 192 EI de onde F  0,1  0,005 3   12  210  10 9   3  12 EI 12  97,2  10 3 N/m k  3   0,33 L Como são três lâminas que sofrem a mesma deformação, estão associadas em paralelo de forma que a rigidez equivalente é keq  3k  292  10 3 N/m 2.6

Uma mola torsional conectando dois eixos, consiste de oito barras de d = 8 mm, conectadas como mostrado, em um círculo de um raio R = 100 mm, na Fig. 2.3. Se o seu comprimento é l = 250 mm e o módulo de elasticidade do material na mola é E = 210 GPa, calcular a constante de mola torsional e notar que cada barra está carregada em flexão com a sua extremidade permanecendo perpendicular aos discos.

Figura3 Dados: d = 8 mm, R = 100 mm, l = 250 mm E = 210 GPa, Cada barra se comporta como as lâminas do exercício anterior, submetidas a flexão, de forma que sua rigidez é

kba rra 



12 EI  l3 A rigidez torsional proporcionada por cada barra é determinada por   0,008 4 12  210 10 9   0,12 2 Mt P  R 12 EI R 64 2 kt    kbarra R    324 N.m/rad   l3 0,25 3 R Como são 8 molas combinadas proporcionando um efeito torsional equivalente a uma associação em paralelo (mesma deformação), a rigidez torsional equivalente é kteq  8kt  8  324  2,59 10 3 N.m/rad

2.7

P

Uma barra de torção consiste de três segmentos com diâmetros de 30, 40, e 50 mm e comprimentos de 400, 600, e 500 mm, respectivamente, conectados em série de forma a formar um eixo reto. Se G = 105 GPa, determinar a constante de mola torsional. Dados: d1 = 30 mm, d2 = 40 mm, d3 = 50 mm, l1 = 400 mm, l2 = 600 mm, l3 = 500 mm, G = 105 GPa. GI Gd14 105  10 9    0,034 kt1  P1   20,9  10 3 N.m/rad  l1 32l1 32  0,4 kt 2 

kt 3 

keq 

2.8

GI P 2 Gd 24 105  10 9    0,04 4    44,0  10 3 N.m/rad l2 32l 2 32  0,6

GI P 3 Gd 34 105  10 9    0,05 4  129  10 3 N.m/rad   l3 32l3 32  0,5

1 1   12,8  10 3 N.m/rad 1 1 1 1 1 1     20,9  10 3 44,0  10 3 129  10 3 kt1 kt 2 kt 3

Uma mola helicoidal usada em uma transmissão de caminhão tem diâmetro do arame d = 10 mm, diâmetro = 100 mm e tem 15 espiras, módulo de elasticidade transversal G = 81 GPa. (a) Encontrar a constante de mola axial. (b) Encontrar a constante de mola axial se for dobrado o número de espiras. (c) Encontrar a constante de mola se duas molas estão conectadas em paralelo. (d) Encontrar a constante de mola se duas molas são conectadas em série.

D

Dados: d = 10 mm, D = 100 mm, n = 15 espiras e G = 81 GPa. Gd 4 81  10 9  0,014 (a) k    6,75  10 3 N/m 8nD 3 8  15  0,13 Gd 4 81  10 9  0,014 (b) k    3,38  10 3 N/m 3 8nD 8  30  0,13 (c) keq  2k  13,5  10 3 N/m (d) keq 

2.9

k  3,38  10 4 N/m 2

Uma mola de retorno de uma manivela Fig. 2.4 possui seis espiras e é feita de aço com E = 2,1 x 1011 Pa, 3 mm e de Di = 30 mm. Determinar a constante torsional da mola. Dados: E = 210 GPa, d = 3 mm, Di = 30 mm e n = 6. D = Di + d = 3 + 30 = 33 mm kt 

Ed 3 210  10 9  0,0033   895 N.m/rad 32nD 32  6  0,033

d=

Figura 2.4 2.10 Determinar a constante de mola equivalente para o sistema mostrado na Fig. 2.5, na direção de 

Figura 2.5



1 keq 2 2 1 1 1 1 1 2 2 U  kt1 2  kt 2 2  k1  k2  l1   k3  l 2   kt1  kt 2  k1  k2 l12  k3 l 23  2 2 2 2 2 2 keq  kt1  kt 2  k1  k2 l12  k3 l 22 U

2.11 Determinar a constante de mola equivalente torsional para o sistema mostrado na Fig. 2.6 Os três segmentos de eixos, com rigidezes k1, k2 e k3, estão submetidos à torção estão associados em série, possuindo rigidez equivalente: 1 k1k2 k3  keq1  1 1 1 k1k2  k2 k3  k1k3   k1 k2 k3 Combinando-se com o quarto segmento de eixo, localizado do outro lado do disco, de rigidez torcional k4, ocorre uma associação em paralelo: keq 2  keq1  k4 As duas molas de rigidezes k5 e k6 estão associadas em paralelo, possuindo rigidez equivalente keq 3  k5  k6

Figura 2.6 As duas molas de rigidezes k7 e k8 estão associadas em série, possuindo rigidez equivalente 1 kk  7 8 keq 4  1 1 k7  k8  k7 k8

Os segmentos de eixo estão submetidos à torção , enquanto que as molas estão submetas a uma deformação linear igual a x  R A energia potencial total é igual à soma das energias potenciais armazenadas em cada um dos elementos deformados (segmentos de eixos e molas) 1 1 1 1 U  keq 2 2  keq 3 x2  keq 4 x2  keq 2  keq 3 R2  keq 4 R2  2 2 2 2 2 Substituindo os termos das rigidezes  1 kk   k1k2 k3   k5  k6  7 8  R2   2 U  k4  2  k7  k8   k1k2  k2 k3  k1k3  De forma que a rigidez torcional equivalente é  k1k2 k3 kk  keq  k4    k5  k6  7 8  R2 k1k2  k2 k3  k1k3  k7  k8  2.12 Determinar o comprimento do eixo vazado uniforme de diâmetro interno d e espessura t que possui a mesma constante de mola axial que o eixo sólido cônico mostrado na Fig. 2.7.

D

d

l

k

EDd



4lt d  t  l1  Dd

4l

EA  l1

E

 d e2  d i2  4 l1





Figura 2.7



E d  2t   d 2 E 4dt  4t 2   4l1 4l1 2

2.13 Determinar a massa equivalente referente à coordenada x para o balancim mostrado na Fig. 2.8.

Figura 2.8 x A massa m2 se movimenta com velocidade x , a o balancim com velocidade angular   e a massa m1 b a com velocidade linear  a  x . b A energia cinética total é igual à soma das energias cinéticas de cada uma das inércias (massas em translação e balancim em rotação), dada por 2 2 2 1 a 2 1 1 1 a  2 1 1 2 1 2 2     T  m1   x  J O   m2 x  m1   x  J O   x  m2 x 2 2 b 2 2 2 b 2 b 2

T

2 2  2 1 a 1 m1    J O    m2  x 2   b  b 

De forma que a massa equivalente é ma2  J meq  1 2 O  m2 b 2.14 Duas massas, com momentos de inércia de massa J 1 e J 2, são colocadas em eixos rígidos rotativos que são ligados por engrenagens, como mostra a Fig. 2.9. Se o número de dentes nas engrenagens 1 e 2 são n1 e n2, respectivamente, determinar o momento de inércia de massa equivalente correspondente a 1.

Figura 2.9 Energia cinética 1 1 EC  J 112  J 222 2 2 Relação de transmissão

1n1  2 n2

Então

2 2  n1    2 1  2 1  n1   2 1  EC  J 11  J 2   1   J 1    J 2 1 2 2  n2  2  n2    Momento de inércia equivalente

n  J eq  J 1   1  J 2  n2  2

2.15 Determinar o momento de inércia de massa equivalente do trem de engrenagens mostrado na Fig. 2.10, com referência ao eixo de acionamento. Na Fig. 2.10, J i e ni são os momentos de inércia de massa e os números de dentes, respectivamente, das engrenagens i, i= 1,2, ... , 2N.

Figura 2.10 Energia cinética 2N 1  EC    J i i2  i 1  2  Relações de transmissão

nii  ni 1i 1

n n n  1 EC   J 2i  J 2i 1  1 3  2i 1  12 2i  i 0 2  n2 n4 2

N

n n n  1 N EC   J 2i  J 2i 1  1 3  2i 1  2  i 0 2i   n2 n4 

Então

n n n  J eq   J 2i  J 2i 1  1 3  2i 1  2i  i 0  n2 n4

Momento de inércia equivalente N

2

 12 

2

2.16 Um oscilador harmônico possui massa m = 1,2 kg e constante de rigidez k = 8,5 kN/m. Determinar a freqüência natural em rad/s, Hz, cpm (ciclos por minuto). Dados: m = 1,2 kg, k = 8,5 kN/m 8500 k n    84,2 rad/s 1,2 m  84,2 f    13,4 Hz  (13,4  60) cpm  804 cpm 2 2

2.17 Um oscilador harmônico possui massa m = 10 kg e período de vibração natural, medido em um osciloscópio, igual a 35 ms. Determinar a constante de mola. Dados: m = 10 kg, Tn = 35 ms. 4 2 m 4   2  10 2 k  m n2  m2f n     322  10 3 N/m Tn2 0,035 2 2.18 Um automóvel com massa de 2000 kg deforma suas molas da suspensão 0,02 m sob condições estáticas. Determinar a freqüência natural do automóvel na direção vertical assumindo que o amortecimento seja desprezível. Dados: m = 2000 kg, st = 0,02 m

n 

k g    st m

9,81  22,1 rad/s 0,02

2.19 Uma prensa industrial está montada sobre uma camada de borracha para isolá-la de sua base. Se a borracha está comprimida 5 mm pelo peso próprio da prensa, determinar a freqüência natural do sistema. k g mg  k st   m  st

n  fn 

k g    st m

9,81  44,3 rad/s 0,005

n 44,3   7,05 Hz 2 2

2.20 Um sistema massa-mola possui um período natural de 0,21 seg. Qual será o período se a constante de mola é (a) aumentada em 50 % ? (b) reduzida em 50 % ? Dados: Tn = 0,21 seg Tn 

2

 2

m  0,21 s k n (a) Rigidez aumentada em 50 % ?

Tn  2

m 1   0,21  0,171 s 1,5k 1,5 (b) Rigidez reduzida em 50 % ?

Tn  2

m  0,5k

1 0,5

 0,21  0,297 s

2.21 Um sistema massa-mola tem uma freqüência natural de 10 Hz. Quando a constante de mola é reduzida em 800 N/m, a freqüência natural é alterada em 45 % (a diferença). Determinar a massa e a constante de mola do sistema original. Dados: fn = 10 Hz, k = 800 N/m. k  n  2fn  2  10  20 rad/s m

k  mn2  m20 

2

k  800 m20   800   0,55  20 m m Resolvendo 0,55n 

2

m

800  0,291 kg 1  0,552 20 2

k  m20   0,2905  20   1,15  103 N/m 2

2

2.22 Um oscilador harmônico de massa m = 1 kg e rigidez k = 40 kN/m possui uma freqüência natural próxima à freqüência excitadora. Decidiu-se que se deveria mudar a massa ou a rigidez para diminuir a freqüência natural em 30% (a diferença). Determinar as possíveis mudanças requeridas. Dados: m = 1 kg e k = 40 kN/m

n 

40000 k   200 rad/s 1 m n1  0,7n  0,7  200  140 rad/s Mantendo a massa k1  mn21  11402  19,6 kN/m Mantendo a rigidez k 40000 m1  2   2,04 kg  n1 140 2 ou uma infinita combinação de parâmetros garantido que n1  140 rad/s

2.23 Uma mola helicoidal, quando fixada em uma extremidade e carregada na outra, requer uma força de 100 N para produzir um alongamento de 10 mm. As extremidades da mola estão agora rigidamente fixadas e uma massa de 10 kg é colocada no ponto médio de seu comprimento. Determinar o tempo necessário para completar um ciclo de vibração quando a massa vibra. Dados: F = 100 N,  = 10 mm e m = 10 kg. 100 F  10,0 kN/m k   0,010 Quando dividida em duas a constante de mola se torna 1 1 1 1    k1 k1 k 10000

2 1   k1  20,0 kN/m k1 10000 Na nova configuração, as duas metades estão associadas em paralelo

keq  2k1  2  20000  40,0 kN/m O tempo para cumprir um ciclo é 10 m  2  99,3 ms Tn  2 40000 k

2.24 O cilindro de um servo-mecanismo mostrado na Fig. 2.11 possui um pistão com m = 0,3 kg e está suportado por uma mola helicoidal de d = 1 mm, D = 10 mm, 10 espiras e G = 105 GN/m2. Determinar a freqüência natural da vibração do pistão se não há óleo no cilindro.

Figura 2.11

Dados: m = 0,3 kg, d = 1 mm, D = 10 mm, n = 10 espiras e G = 105 GN/m2. Gd 4 105  10 9  0,0014 k   1,31 kN/m 8nD 3 8  10  0,013

n  fn 

k 1,31  10 3   66,1 rad/s m 0,3

 n 66,1   10,5 Hz 2 2

2.25 O cilindro de uma válvula mostrado na Fig. 2.12 tem um pistão com m = 0,2 kg e é suportado por uma mola helicoidal de 6 espiras com d = 2 mm, D = 30 mm, G = 105 GN/m2, determinar a freqüência natural de vibração do pistão se não há fluido na válvula.

Figura 2.12 Dados: m = 0,2 kg, n = 6 espiras, d = 2 mm, D = 30 mm e G = 105 GN/m2. Gd 4 105  10 9  0,002 4 k   1,30 kN/m 8nD 3 8  6  0,033

n  fn 

k 1,30  10 3   80,5 rad/s m 0,2

 n 80,5   12,8 Hz 2 2

2.26 Uma unidade de ar-condicionado está ligada ao solo por quatro molas de borracha. A massa da unidade é 300 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível da constante de cada mola. Dados: m = 300 kg, fn = entre 32 e 40 Hz. n  2fn  64 a 80 rad/s Rigidez 4k  mn2 300  64   3,03 MN/m 4 2 300  80    4,74 MN/m 4

kmin 

kmax

2

2.27 Um desumidificador de ar está suspenso no teto por 4 barras de meio metro de comprimento, posicionadas fixamente. A massa da unidade é de 200 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração vertical seja maior do que 30 Hz e para vibração horizontal esteja entre 10 e 15 Hz. Determinar a faixa permissível para os diâmetros das barras. E = 210 GN/m2. Dados: 4 barras, l = 0,5 m, m = 200 kg, fn > 30 Hz (vertical), 10 Hz ≤ fn ≤ 15 Hz (horizontal) e E = 210 GN/m2. n min  2fn min  20 rad/s

n max  2fn max  30 rad/s

Limites para a rigidez horizontal (flexão)

kmin  m n2min  200  20   790 kN/m

kmax  m n2max  200  30   1,78 MN/m 2

2

Rigidez horizontal – flexão (assumindo viga em balanço) d 4 4  3  210  10 9   3EI  64  990  10 9 d 4 k  4 3   0,5 3  l  d min  4

kmin 790  10 3 4  29,9 mm  990  10 9 990  10 9

kmax 1,78  10 6 4   36,6 mm 990  10 9 990  10 9 Rigidez horizontal – flexão (assumindo duplo engaste) d 4 4  12  210  10 9   12 EI  64  3,96  1012 d 4 k  4 3   0,5 3  l  d max  4

d min  4

kmin 790  10 3 4   21,1 mm 3,96  1012 3,96  1012

kmax 1,78  10 6 4   25,9 mm 3,96  1012 3,96  1012 Rigidez vertical – tração-compressão n min  2fn min  60 rad/s d max  4

kmin  mn2min  200  60   7,11 MN/m 2

 EA  k  4   l 

d min 

4  210  10 9  0,5

d 2

4  1,32  1012 d 2

kmin 7,11  10 6   2,32 mm 12 1,32  10 1,32  1012

2.28 Um coletor de lixo limpo está fixado no solo por 4 colunas de seção tubular retangular de espessura 5 cm e comprimento 0,5 m. A massa da unidade é 500 kg e se deseja que a freqüência natural para vibração horizontal esteja entre 32 e 40 Hz. Determinar a faixa permissível para a largura da sessão tubular. E = 210 GN/m2...