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Lógica Matemática para Informáticos Ejercicios propuestos

Teresa Hortalá González Narciso Martí Oliet Miguel Palomino Tarjuelo Mario Rodríguez Artalejo Rafael del Vado Vírseda Departamento de Sistemas Informáticos y Computación Universidad Complutense de Madrid

Parte I

LÓGICA PROPOSICIONAL

CAPÍTULO

hA, σ i

SINTAXIS Y SEMÁNTICA

8 |H ϕ

1.1.



1

PREGUNTAS DE TEST 1.1.

La cadena de símbolos ((p ∨ q) → (¬q → p)) formada usando 6 = { p, q } (a) es una fórmula proposicional

1.2.

(b) no es una fórmula proposicional

(b) no se puede saber

(b) v(p) debe valer 0

(c) v(p) puede valer 0 o 1

(b) v(p) = 1 y v(q) = 0

(c) v(q) = 1

Sabiendo que [[q → ¬ p]]v = 0, se puede asegurar: (a) v(p) = 1 y v(q) = 0

1.8.

(c) es una fórmula proposicional

Sabiendo que [[¬(p → q)]]v = 1, se puede asegurar: (a) v(p) = 0

1.7.

(b) no se puede saber

Sabiendo que [[(p → q) → p]]v = 0, ¿qué se puede asegurar acerca de v(p)? (a) v(p) debe valer 1

1.6.

(c) no es una fórmula proposicional

La cadena de símbolos (((p ↔ ¬q) ∧ p) ∧ ¬q) formada con 6 = { p, q } (a) no es una fórmula proposicional

1.5.

(c) no se puede saber

La cadena de símbolos (p → (q → ¬r )) formada usando 6 = { p, q, r } (a) es una fórmula proposicional

1.4.

(c) no se puede saber

La cadena de símbolos (p ∨ q) → ((¬q → p) formada usando 6 = { p, q } (a) es una fórmula proposicional

1.3.

(b) no es una fórmula proposicional

(b) v(p) = 1 y v(q) = 1

(c) v(p) = 0

Sabiendo que [[(p ∧ q) → (¬ p ∨ ¬q )]]v = 0, (a) debe ser v(p) = 1

(b) debe ser v(p) = 0

(c) puede ser v(p) = 1 o v(p) = 0

4 Lógica Matemática para Informáticos 1.9.

Sabiendo que [[¬ p → (q → p)]]v = 0, se puede asegurar: (a) v(p) = 1

1.10.

(b) v(r ) = 1

(c) v(r ) = 0

(b) v(r ) = 1

(c) v(r ) = 0

(b) v(r ) = 1

(c) No depende de v(r )

Dadas la fórmula proposicional ϕ = (q → r ) → ¬(q ∨ r ) y la valoración v(q) = 0, ¿cuánto vale [[ϕ]]v? (a) Depende de v(r )

1.2.

(c) v(r ) = 0

Dadas la fórmula proposicional ϕ = (p → r ) → (q → r ) y la valoración v(p) = v(q) = 0, para que [[ϕ ]]v = 1, ¿cuánto debe valer v(r )? (a) v(r ) = 0

1.15.

(b) v(r ) = 1

Dadas la fórmula proposicional ϕ = ¬(p → r ) → (q ∨ r ) y la valoración v(p) = v(q) = 0, para que [[ϕ ]]v = 1, ¿cuánto debe valer v(r )? (a) No depende de v(r )

1.14.

(c) v(r ) = 0

Dadas la fórmula proposicional ϕ = ¬((¬ p → r ) → (p ∧ r )) y la valoración v(p) = 0, para que [[ϕ ]]v = 1, ¿cuánto debe valer v(r )? (a) No depende de v(r )

1.13.

(b) v(r ) = 1

Dadas la fórmula proposicional ϕ = (p → q) ∧ ((¬ p → r ) → q) y una valoración v tal que v(p) = v(q) = 0, para que [[ϕ]]v = 1, ¿cuánto debe valer v(r )? (a) No depende de v(r )

1.12.

(c) v(q) = 0

Dadas la fórmula proposicional ϕ = (p → q) → ((q ∨ ¬r ) → ¬ p) y una valoración v tal que v(p) = v(q) = 0, para que [[ϕ]]v valga 1, ¿cuánto debe valer v(r )? (a) No depende de v(r )

1.11.

(b) v(p) = 0 y v(q) = 1

(b) [[ϕ]]v = 1

(c) [[ϕ]]v = 0

EJERCICIOS

1.16.

Considera las siguientes fórmulas: (a) ¬ p ∨ q ∧ ¬r (b) ¬q ∧ p → r (c) ¬ p ∨ q ∧ ¬r → ¬q ∧ p → r (d) ¬ p ∨ q ∧ ¬r → ¬q ∧ p → r ↔ ¬s Para cada fórmula, escríbela en forma no abreviada, indicando cómo construirla mediante las reglas de formación, y dibuja su árbol estructural.

1.17.

Escribe una definición recursiva de la aplicación sub que hace corresponder a cada fórmula proposicional ϕ ∈ L 6 el conjunto finito sub(ϕ) formado por todas las subfórmulas de ϕ.

1.18.

Calcula el conjunto de todas las subfórmulas de las siguientes fórmulas: (a) (¬ p ∨ (q ∧ ¬r ))

Sintaxis y semántica

5

(b) ((¬q ∧ p) → r ) (c) ((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) (d) (((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) ↔ ¬s) (e) ¬¬((p → q) → (q → ¬r ))

1.19.

El vocabulario de una fórmula proposicional ϕ ∈ L 6 se define como el conjunto finito formado por todos los símbolos de proposición p ∈ 6 que aparecen en ϕ. Escribe una definición recursiva de la aplicación voc que hace corresponder a cada fórmula ϕ su vocabulario voc(ϕ).

1.20.

Usando la definición del ejercicio 1.19, calcula el vocabulario de las siguientes fórmulas: (a) (¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) (b) ((¬q ∧ p) → r ) (c) ((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) (d) (((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) ↔ ¬s) (e) ¬¬((p → q) → (q → ¬r ))

1.21.

Dada una fórmula proposicional ϕ ∈ L 6 , sea bn(ϕ) el número de apariciones de conectivas binarias en ϕ y sea at(ϕ) el número de apariciones de ⊥, ⊤ y de símbolos de proposición p ∈ 6 en ϕ. Define recursivamente las funciones bn y at, y demuestra por inducción sobre la estructura de ϕ que at(ϕ) = bn(ϕ) + 1 se cumple para toda fórmula ϕ ∈ L 6 .

1.22.

Usando la definición del ejercicio 1.21, calcula el valor de la función at para las siguientes fórmulas: (a) (¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) (b) ((¬q ∧ p) → r ) (c) ((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) (d) (((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) ↔ ¬s) (e) ¬¬((p → q) → (q → ¬r ))

1.23.

Usando la definición del ejercicio 1.21, calcula el valor de la función bn para las siguientes fórmulas: (a) (¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) (b) ((¬q ∧ p) → r ) (c) ((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) (d) (((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) ↔ ¬s) (e) ¬¬((p → q) → (q → ¬r ))

1.24.

Dada una fórmula proposicional ϕ ∈ L 6 , sea pf (ϕ) la profundidad de una fórmula, es decir, la longitud de la rama más larga del árbol estructural de ϕ, y sea cn(ϕ) el número de apariciones de conectivas unarias y binarias en ϕ (es decir, sin contar las constantes ⊥ y ⊤). Define recursivamente las funciones pf y cn, y demuestra por inducción sobre la estructura de ϕ que pf (ϕ) ≤ cn(ϕ) se cumple para cualquier fórmula ϕ ∈ L6 .

1.25.

Usando la definición del ejercicio 1.24, calcula el valor de la función pf para las siguientes fórmulas:

6 Lógica Matemática para Informáticos (a) (¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) (b) ((¬q ∧ p) → r ) (c) ((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) (d) (((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) ↔ ¬s) (e) ¬¬((p → q) → (q → ¬r ))

1.26.

Usando la definición del ejercicio 1.24, calcula el valor de la función cn para las siguientes fórmulas: (a) (¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) (b) ((¬q ∧ p) → r ) (c) ((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) (d) (((¬ p ∨ (q ∧ ¬r )) → ((¬q ∧ p) → r )) ↔ ¬s) (e) ¬¬((p → q) → (q → ¬r ))

1.27.

Un prefijo propio de una fórmula proposicional ϕ es cualquier cadena de símbolos no vacía u tal que ϕ se pueda expresar como la concatenación de u con otra cadena de símbolos no vacía v; es decir, ϕ = uv con u, v 6= ε. Escribe todos los prefijos propios de la fórmula ¬¬((p → q) → (q → ¬r )).

1.28.

Demuestra sucesivamente: (a) Ninguna fórmula proposicional ϕ está formada exclusivamente por signos de negación. (b) Cualquier fórmula proposicional contiene el mismo número de apariciones del símbolo ‘(’ que del símbolo ‘)’. (c) Si u es un prefijo propio (véase el ejercicio 1.27) de una fórmula proposicional ϕ, entonces o bien u es una cadena de signos de negación, o bien u contiene más veces el símbolo ‘(’ que el símbolo ‘)’. (d) Un prefijo propio de una fórmula proposicional nunca es a su vez una fórmula proposicional.

1.29.

Apoyándote en el último apartado del ejercicio 1.28, demuestra que el principio de unicidad de estructura para fórmulas proposicionales es válido.

1.30.

Construye dos fórmulas proposicionales ϕ y ψ y dos cadenas de símbolos u y v, de tal modo que (ϕ ∨ ψ ) y (u ∨ v) sean idénticas como cadenas de símbolos, y sin embargo se tenga ϕ 6= u y ψ 6= v. ¿Puede ocurrir esto en el caso de que u y v sean fórmulas proposicionales? Razona tu respuesta.

1.31.

De las cadenas de símbolos que siguen determinar cuáles son fórmulas proposicionales de L 6 y cuáles no lo son. Razona la respuesta, suponiendo p, q, r ∈ 6 . (a) (¬ p ∧ (q ∨ r )) (b) ((p ∨ q) ∧ ((¬r ) (c) ((p ∨ q)∧)(¬r ) (d) (p → ∧ q)

1.32.

En la valoración v para 6 = { p, q, r } tal que v(p) = 1, v(q) = 0 y v(r ) = 1, calcula el valor veritativo de las fórmulas siguientes: (a) p ∨ ¬ p

Sintaxis y semántica

7

(b) p ∧ ¬ p (c) p ↔ ¬¬ p (d) ( p → q) → ( p ∨ q) (e) p → (q ↔ r ) (f) (p ∨ q) ∧ r → (q ↔ p)

1.33.

Estudia mediante una tabla veritativa si los conjuntos de fórmulas indicados a continuación son satisfactibles o insatisfactibles. (a) { p → q, ¬q} (b) { p → q, ¬q ∨ r, p ∧ ¬r } (c) { p ∨ q → r, ¬((¬ p ∧ ¬q) ∨ r )}

1.34.

Perico, Quique y Raimundo son sospechosos de tráfico ilegal de bolas de anís en el patio de los Escolapios. Supón que p, q y r simbolizan los enunciados “Perico es inocente”, “Quique es inocente” y “Raimundo es inocente”, respectivamente. Construye fórmulas proposicionales que simbolicen los enunciados siguientes y estudia en cada caso qué valoraciones hacen verdadera la fórmula. (a) Hay a lo sumo un inocente. (b) Hay a lo sumo un culpable. (c) Si hay algún culpable, entonces hay más de uno. (d) Hay más culpables que inocentes. (e) Hay más inocentes que culpables.

1.35.

Se dice que dos valoraciones v1 y v2 coinciden sobre una fórmula ϕ ∈ L 6 si y solo si v1 (p) = v2 (p) para cualquier p ∈ voc(ϕ) (véase el ejercicio 1.19 para la definición del vocabulario de una fórmula). Demuestra por inducción sobre la estructura de ϕ que si v1 y v2 coinciden sobre ϕ, entonces [[ϕ]]v1 = [[ϕ ]]v2 . Este resultado se conoce como lema de coincidencia .

1.36.

Dadas las fórmulas proposicionales ϕ1 , . . . , ϕn−1 , ϕn ∈ L 6 y una valoración v, demuestra por inducción sobre n ≥ 2 que (a) v |H ϕ1 ∧ . . . ∧ ϕn−1 ∧ ϕn ⇐⇒ v |H ϕi para todo i ∈ {1, . . . , n − 1, n}. (b) v |H ϕ1 ∨ . . . ∨ ϕn−1 ∨ ϕn ⇐⇒ v |H ϕi para algún i ∈ {1, . . . , n − 1, n}.

CAPÍTULO

hA, σ i

8 |H ϕ

2.1.



FORMALIZACIÓN. TÉCNICAS DE RAZONAMIENTO

PREGUNTAS DE TEST 2.1.

La fórmula proposicional ϕ = p → ¬ p es una: (a) tautología

2.2.

(b) contradicción

(c) contingencia

(b) tautología

(c) contingencia

(b) contradicción

(c) contingencia

La fórmula ϕ = (p ∨ q) ↔ (¬q → p) es una: (a) tautología

2.8.

(c) contingencia

La fórmula proposicional ϕ = (p ↔ q) ∧ p ∧ ¬q es una: (a) tautología

2.7.

(b) contradicción

La fórmula proposicional ϕ = p → (q → p) es una: (a) contradicción

2.6.

(c) contingencia

La fórmula proposicional ϕ = p ↔ ¬ p es una: (a) tautología

2.5.

(b) contradicción

La fórmula proposicional ϕ = p ∨ ¬ p es una: (a) tautología

2.4.

(c) contingencia

La fórmula proposicional ϕ = p ∧ ¬ p es una: (a) tautología

2.3.

(b) contradicción

(b) contradicción

(c) contingencia

La fórmula proposicional ϕ = ¬(p ↔ q) ∧ (¬ p ∨ ¬q) es una: (a) tautología

(b) contradicción

(c) contingencia

2

10 Lógica Matemática para Informáticos 2.9.

La fórmula proposicional ϕ = (p → ¬q) ∧ p ∧ q es una: (a) contradicción

2.10.

(c) tautología

(b) contingencia

(c) tautología

(b) contingencia

(c) tautología

(b) contingencia

(c) tautología

(b) contingencia

(c) tautología

(b) contingencia

(c) tautología

Si ϕ1 es una tautología y ϕ2 es una contradicción, entonces ϕ1 ∨ ϕ2 es una: (a) contradicción

2.21.

(b) contingencia

Si ϕ1 es una contradicción y ϕ2 es una fórmula proposicional cualquiera, entonces ϕ1 → ϕ2 es una: (a) contradicción

2.20.

(c) tautología

Si ϕ1 y ϕ2 son tautologías, entonces ϕ1 ∧ ϕ2 es una: (a) contradicción

2.19.

(b) contingencia

Si ϕ es una tautología, entonces ¬¬ϕ es una: (a) contradicción

2.18.

(c) tautología

La fórmula proposicional ϕ = ¬((p → (q → r )) ↔ ((p ∧ q) → r )) es una: (a) contradicción

2.17.

(b) contingencia

La fórmula proposicional ϕ = (p ∨ q) → (q ∧ r ) es una: (a) contradicción

2.16.

(c) contingencia

La fórmula proposicional ϕ = (p ∧ q) → (q ∨ r ) es una: (a) contradicción

2.15.

(b) contradicción

La fórmula proposicional ϕ = ( p ∧ q) → ( p ∨ q) es una: (a) contradicción

2.14.

(c) tautología

La fórmula proposicional ϕ = ( p → (q ∨ p)) ∧ ( p → ¬q) es una: (a) contradicción

2.13.

(b) contingencia

La fórmula proposicional ϕ = (q → r ) → ¬(q ∨ r ) es una: (a) tautología

2.12.

(c) tautología

La fórmula proposicional ϕ = p → (q → (p ∧ q)) es una: (a) contradicción

2.11.

(b) contingencia

(b) contingencia

(c) tautología

Si ϕ1 y ϕ2 son contradicciones, entonces ϕ1 ↔ ϕ2 es una: (a) contradicción

(b) contingencia

(c) tautología

Formalización. Técnicas de razonamiento

2.22.

Si ϕ1 es una contradicción y ϕ2 es una tautología, entonces (ϕ1 → ⊥) → ϕ2 es una: (a) contradicción

2.2.

11

(b) contingencia

(c) tautología

EJERCICIOS

2.23.

Demuestra que todas las fórmulas de las formas indicadas a continuación son tautologías, donde ϕ, ψ, η ∈ L 6 son fórmulas proposicionales cualesquiera. (a) ϕ ∧ ψ → ϕ (b) ϕ → (ψ → ϕ ∧ ψ ) (c) ψ → ϕ ∨ ψ (d) (ϕ → η) → ((ψ → η) → (ϕ ∨ ψ → η)) (e) ¬ϕ → (ϕ → ψ ) (f) ϕ → (ψ → ϕ)

2.24.

Usando sus tablas veritativas, demuestra que: (a) ( p ↔ q) ∧ ( p → ¬q) es una contingencia. (b) ¬(p ∨ q) ↔ (¬ p ∧ ¬q) es una tautología. (c) (p ↔ ¬q) ∧ (p ∨ ¬q) es una contingencia. (d) (p ↔ q) ∧ (q ↔ r ) ∧ (¬ p ∧ ¬q ∧ r ) es una contradicción.

2.25.

Estudia las fórmulas siguientes y determina en cada caso si se trata de una tautología, una contradicción o una contingencia. (a) p ∧ (p → ¬ p) (b) (p ↔ ¬q) ∨ q (c) (p → q) → ¬(q → p) (d) (¬ p → ¬q) → (q → p) (e) ((p → q) → p ) → p (f) ( p ↔ q) ∧ ( p → ¬q)

2.26.

Para las tres fórmulas proposicionales que siguen construye sus tablas veritativas y averigua cuál es tautología, cuál contradicción y cuál contingencia. Para esta última escribe las valoraciones que la hagan cierta y las que la hagan falsa. (a) ϕ1 = ((¬ p → q) ∨ (¬q → r )) → (¬r → (p ∨ q )) (b) ϕ2 = ((¬ p → q) ∨ (¬q → r )) → ((¬ p ∨ ¬q) → r ) (c) ϕ3 = (¬((p ∧ q) → ¬r ) ∧ (p → ¬r ) ∧ (¬q → ¬ p))

2.27.

Para las tres fórmulas proposicionales que siguen construye sus tablas veritativas y averigua cuál es tautología, cuál contradicción y cuál contingencia. Para esta última escribe las valoraciones que la hagan cierta y las que la hagan falsa. (a) ϕ1 = ¬(p ∨ q) ↔ (¬ p ∧ ¬q) (b) ϕ2 = (p ↔ (q → r )) ∧ ( p ↔ q) ∧ ( p → ¬r )

12 Lógica Matemática para Informáticos (c) ϕ3 = ¬((p → q ∨ r ) ∧ ¬(q → p ∨ r ))

2.28.

Para cada uno de los enunciados que siguen, relativos a fórmulas de la lógica proposicional, decide si es verdadero o falso, justificando adecuadamente la respuesta. (a) Si ϕ y ψ son contingencias, entonces el conjunto {ϕ, ψ } es satisfactible. (b) Si ϕ es una tautología y ψ es una contingencia, entonces el conjunto {ϕ, ψ } es satisfactible. (c) ϕ es una contingencia si y solo si ¬ϕ lo es también. (d) Si ϕ |H 6 ψ , entonces ϕ |H ¬ψ .

2.29.

Dada una fórmula ϕ de la lógica proposicional, demuestra las tres propiedades siguientes: (a) ϕ es una tautología si y solo si para toda fórmula ψ se tiene ψ |H ϕ. (b) ϕ es una contradicción si y solo si para toda fórmula ψ se tiene ϕ |H ψ . (c) ϕ es una contingencia si y solo si hay una fórmula ψ 1 de la que ϕ no es consecuencia lógica (es decir, ψ1 |H 6 ϕ) y hay una fórmula ψ 2 que no es consecuencia de ϕ (es decir, ϕ |H 6 ψ 2 ).

2.30.

Para cada una de las siguientes afirmaciones, determina si es válida o no: (a) p → q |H ¬q → ¬ p, (b) p → q |H q, (c) p ∨ q → r, ¬r |H ¬ p, (d) (p → q) → p |H p.

2.31.

Demuestra las siguientes propiedades de la relación de consecuencia lógica, donde 8, 9 ⊆ L 6 son conjuntos de fórmulas y ϕ, ψ, χ ∈ L 6 son fórmulas. (a) Si 8 |H ϕ, entonces 8 ∪ 9 |H ϕ. (b) Si ϕ ∈ 8, entonces 8 |H ϕ. (c) Si 8 ∪ {ϕ} |H ψ y 8 |H ϕ, entonces 8 |H ψ . (d) Si ϕ |H ψ y ψ |H χ, entonces ϕ |H χ.

2.32.

Estudia si las afirmaciones que siguen son o no correctas, donde la notación 8, ϕ abrevia la unión de conjuntos de fórmulas 8 ∪ {ϕ}. (a) Si 8, ϕ1 ∧ ϕ2 |H ψ , entonces 8, ϕ1 |H ψ y 8, ϕ2 |H ψ . (b) Si 8, ϕ |H ψ y 8, ϕ |H ¬ψ , entonces 8 |H ¬ϕ. (c) Si 8, ϕ1 |H ψ o 8, ϕ2 |H ψ , entonces 8, ϕ1 ∧ ϕ2 |H ψ . (d) Si 8 |H ψ 1 ∨ ψ 2 , entonces 8 |H ψ 1 o 8 |H ψ 2 . (e) 8, ϕ1 ∨ ϕ2 |H ψ si y solo si 8, ϕ1 |H ψ y 8, ϕ2 |H ψ . (f) Si 8 |H ψ 1 o 8 |H ψ 2 , entonces 8 |H ψ 1 ∨ ψ 2 . (g) Si 8, ϕ1 ∧ ϕ2 |H ψ , entonces 8, ϕ1 |H ψ o 8, ϕ2 |H ψ .

2.33.

En todos los apartados de este ejercicio utilizamos la signatura 6 = { p, q, r }, entendiendo que: p formaliza el enunciado “Zipi puede robar la tarta”,

Formalización. Técnicas de razonamiento

13

q formaliza el enunciado “Zape vigila la puerta”, r formaliza el enunciado “Don Pantuflo se descuida”. (a) Construye razonadamente fórmulas proposicionales de L 6 que formalicen los siguientes enunciados: ϕ1 : ϕ2 : ϕ3 : ϕ4 :

“Si Zape vigila la puerta y Don Pantuflo se descuida, entonces Zipi puede robar la tarta”. “Si Zipi puede robar la tarta, entonces Zape vigila la puerta y Don Pantuflo se descuida”. “Si Zape vigila la puerta, entonces Don Pantuflo no se descuida”. “Zipi no puede robar la tarta”.

(b) Construye la tabla veritativa de las fórmulas ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 y ϕ4 . (c) Usando la tabla veritativa construida en el apartado (b), demuestra que las fórmulas que formalizan los enunciados ϕ1 y ϕ2 no significan lo mismo, viendo que las valoraciones que las satisfacen no son las mismas. (d) Usando la tabla veritativa construida en el apartado (b), demuestra que el razonamiento que tiene como premisas los enunciados ϕ1 y ϕ3 y como conclusión el enunciado ϕ4 no es válido. (e) Usando la tabla veritativa construida en el apartado (b), demuestra que el razonamiento que tiene como premisas los enunciados ϕ2 y ϕ3 y como conclusión el enunciado ϕ4 sí es válido.

2.34.

Considera la siguiente argumentación:

∴

Si la gente no estuviera embrutecida, rechazaría el mundo en que vivimos o desesperaría. Por otra parte, la gente no rechaza este mundo. Luego, la gente anda embrutecida o desesperada.

(a) Define la signatura 6 adecuada para construir razonadamente fórmulas proposicionales de L ...