Logika notatki ćwiczenia PDF

Preview

Summary

Download Logika notatki ćwiczenia PDF

Description

Def 1: Zdanie w sensie logicznym jest to wypowiedź prawdziwa albo fałszywa. Def 1': Zdanie w sensie logicznym jest to wyrażenie posiadające wartość logiczną. Def 2: Nazwa jest to wyrażenie służące do oznaczania pewnych obiektów. Def 2’: Nazwa jest to wyrażenie, które może w sposób sensowny wystąpić w roli podmiotu lub orzecznika w co najmniej jednym zdaniu postaci: S jest P ( ewentualnie S jest to P) Def 3: Spójnik jest to wyrażenie odnoszące się do zdania lub paru zdań (argumentów danego spójnika) i tworzące z nimi zdanie. Spójniki wchodzą w skład szerszej klasy wyrażeń nazywanych funktorami. Funktory są wyrażeniami niesamodzielnymi znaczeniowo, które wraz z pewnymi wyrażeniami (argumentami danego funktora) tworzą wyrażenia bardziej złożone. Funktory mogą ze swoimi argumentami tworzyć: zdania (nazywamy je funktorami zdaniotwórczymi), nazwy (nazywamy je wtedy funktorami nazwotwórczymi), funktory (nazywamy je wtedy funktorami funktorotwórczymi). Spójniki należą do grupy funktorów zdaniotwórczych. Argumentami spójników są tylko i wyłącznie zdania. Do grupy funktorów zdaniotwórczych należą też predykaty. Def 3’: Spójnik jest to funktor zdaniotwórczy o wszystkich argumentach zdaniowych. Def 4: Predykat jest to funktor zdaniotwórczy o wszystkich argumentach nazwowych. Podstawowe spójniki logiczne klasycznego rachunku zdaniowego (krz): Nazwa spójnika Zapis symboliczny Przykładowe odpowiedniki w języku polskim Spójnik negacji

Spójnik koniunkcji

Spójnik alternatywy zwykłej (nierozłącznej)

Spójnik alternatywy rozłącznej

~ ( ewnetualnie: ¬)

∧

∨

⊥

Nieprawda, że z ; nie jest tak, że z

z i z ; z oraz z ; z ,a z ; z ale z; z lecz z; zarazem z i z ; zarówno z jak i z ; chociaż z, to z

z lub z ; albo z albo z

z albo z ; albo z albo z

Matryca prawdziwości P

~p

0

1

1

0

P

q

p∧q

0

0

0

0

1

0

1

0

0

1

1

1

P

q

p∨q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

1

P

q

p⊥q

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

Spójnik implikacji

Spójnik równoważności

→ (ewentualnie: ⇒)

↔ (ewentualnie: ⇔, albo: ≡ )

jeżeli z, to z ; jeśli z, to z ; o ile z, to z ; z jeżeli z ; z jeśli z ; z o ile z

z wtedy i tylko wtedy, gdy z ; wtedy i tylko wtedy z, gdy z; z wtedy i tylko, gdy z ; wtedy i tylko z, gdy z; z zawsze i tylko wtedy, gdy z zawsze i tylko wtedy z, gdy z; z zawsze i tylko, gdy z zawsze i tylko z, gdy z;

p

q

p→q

0

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1

1

p

q

p↔q

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

Sposób zapamiętania tabelek (matryc): 1) zdanie negacyjne (czyli ze spójnikiem negacji jako funktor główny) ma inną wartość logiczną od argumentu spójnika negacji 2) zdanie koniunkcyjne (czyli ze spójnikiem koniunkcji jako funktor główny) jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy (skrót: wtw) obydwa argumenty spójnika koniunkcji są zdaniami prawdziwymi 3) zdanie ze spójnikiem alternatywy zwykłej jako funktor główny jest prawdziwe wtw co najmniej jeden argument tej alternatywy jest zdaniem prawdziwym 4) zdanie ze spójnikiem alternatywy rozłącznej jako funktor główny jest prawdziwe wtw dokładnie jeden argument tej alternatywy jest zdaniem prawdziwym 5) zdanie implikacyjne (czyli ze spójnikiem implikacji jako funktor główny) jest fałszywe wtw poprzednik implikacji jest zdaniem prawdziwym, a następnik implikacji jest zdaniem fałszywym. 6) Zdanie równoważnościowe (czyli ze spójnikiem równoważności jako funktor główny) jest prawdziwe wtw argumenty spójnika równoważności mają tą samą wartość logiczną. Symbole używane w krz: p, q, r, s, t – zmienne zdaniowe ∼, ∧, ∨, ⊥, →, ↔ − spójniki logiczne (, ), [, ], {, }- nawiasy Reguły tworzenia wyrażeń zdaniowych w krz: − spójnik negacji musi znajdować się w zapisie symbolicznym przed swoim argumentem (na lewo od swojego argumentu) − spójniki dwuargumentowe muszą znaleźć się w zapisie symbolicznym pomiędzy swoimi argumentami − jeśli argumentem danego spójnika jest wyrażenie złożone (czyli z co najmniej jednym spójnikiem), to ma ono być zapisane w nawiasach. Def 5: Zdanie proste jest to zdanie, w którym nie ma żadnego spójnika logicznego Def 6: Zdanie złożone jest to zdanie, w którym występuje co najmniej jeden spójnik logiczny. Def 7: Schemat zdania zapisany w krz jest to taki zapis symboliczny tego zdania, w którym zmienne zdaniowe odpowiadają zdaniom prostym języka naturalnego. Def 8: Funktor główny wyrażenia W jest to taki funktor w nim (w tym wyrażeniu) występujący, który wraz ze swoimi argumentami tworzy całe wyrażenie W.

Przykłady: 1) spójnik koniunkcji Eksperyment jest niedopuszczalny bez zgody uczestnika, na którym jest przeprowadzany, należycie poinformowanego o spodziewanych korzyściach i grożących mu ujemnych skutkach oraz prawdopodobieństwie ich powstania, jak również o możliwości odstąpienia od udziału w eksperymencie na każdym jego etapie. 2) Spójnik alternatywy zwykłej Zawieszając wykonanie kary, sąd może zobowiązać skazanego do: (...) 5) powstrzymania się od nadużywania alkoholu lub używania innych środków odurzających (...). 3) Spójnik alternatywy rozłącznej a) Roszczenia przysługujące spedytorowi przeciwko przewoźnikom i dalszym spedytorom, którymi się posługiwał przy przewozie przesyłki, przedawniają się z upływem sześciu miesięcy od dnia, kiedy spedytor naprawił szkodę, albo od dnia, kiedy wytoczono przeciwko niemu powództwo. b) Kto zabija człowieka, podlega karze pozbawienia wolności na czas nie krótszy od 8 lat, karze 25 lat pozbawienia wolności albo karze dożywotniego pozbawienia wolności. 4) Spójnik implikacji a) Pełnoletnim jest kto ukończył lat osiemnaście. b) Zaginiony może być uznany za zmarłego, jeżeli upłynęło lat dziesięć od końca roku kalendarzowego, w którym według istniejących wiadomości jeszcze żył. 5) Spójnik równoważności Przyjmujący zlecenie może powierzyć wykonanie zlecenia osobie trzeciej tylko wtedy, gdy to wynika z umowy lub ze zwyczaju albo gdy jest do tego zmuszony przez okoliczności. 6) Inne przykłady a) Art 30 ust.1 pkt 1a ustawy z dnia 20 czerwca 1997r- Prawo o ruchu drogowym: Kierujący pojazdem jest obowiązany zachować szczególną ostrożność w czasie jazdy w warunkach zmniejszonej przejrzystości powietrza, spowodowanej mgłą, opadami atmosferycznymi lub innymi przyczynami, a ponadto kierujący pojazdem silnikowym jest obowiązany włączyć światła mijania lub przeciwmgłowe przednie albo oba te światła jednocześnie. b) Kodeks karny Kto znieważa funkcjonariusza publicznego albo osobę do pomocy mu przybraną podczas lub w związku z pełnieniem obowiązków służbowych, podlega grzywnie, karze ograniczenia wolności albo pozbawienia wolności do roku.

Zadanie 1 Odpowiednikiem jakiego spójnika logicznego klasycznej logiki zdaniowej jest zwrot: 1) Mimo, że ; 2) chyba, że ; 3) zawsze wtedy, gdy ; 4) tylko wtedy gdy Zadanie 2

Zapisz w języku klasycznej logiki zdaniowej schematy następujących zdań: 1) Jeśli nie będę się rzetelnie uczyć powszechnej historii państwa i prawa, to nie zdam egzaminu z tego przedmiotu na WPiA. 2) Jeśli zdam egzamin z powszechnej historii państwa i prawa na WPiA, to będzie to znaczyło, że wcześniej rzetelnie się uczyłem tego przedmiotu. 3) Jesteś inteligentny, ale nie masz dobrej pamięci. 4) Nieprawda, że zarazem jesteś inteligentny i masz złą pamięć. 5) Ani nie pójdę do kina, ani nie pójdę do teatru. 6) Albo udowodnią winę Pawłowi, albo Paweł zostanie uniewinniony. 7) Pozew ulega odrzuceniu, jeżeli sprawa nie należy do orzecznictwa sądów polskich 8) Nieprawda, że jeżeli Jan nie odstąpił dobrowolnie od dokonania czynu zabronionego, to Jan dobrowolnie zapobiegł skutkowi stanowiącemu znamię czynu zabronionego. 9) Jeśli myślisz jasno, to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyrazić swojej myśli. 10)Nieprawda, że jeżeli myślisz jasno, to nie potrafisz jasno wyrazić swojej myśli. 11)Jeżeli nieprawdą jest, że myślisz jasno, to nie potrafisz jasno wyrazić swojej myśli. 12)Nieprawda, że wtedy i tylko wtedy czyn nie jest zakazany, gdy jest on nakazany. 13) Jeśli Kasia ukończyła 18 lat lub wstąpiła w związek małżeński, to jest osobą pełnoletnią. 14)Jeśli Kasia jest osobą pełnoletnią, to albo ukończyła 18 lat, albo wstąpiła w związek małżeński. 15)Jeśli dany czyn jest dozwolony, ale nie jest fakultatywny, to nie jest on czynem indyferentnym. 16)Jeżeli wierzyciel zwalnia dłużnika z długu, to jeśli dłużnik zwolnienie z długu przyjmuje, to zobowiązanie wygasa. 17)Jeżeli wierzyciel zwalnia dłużnika z długu i dłużnik zwolnienie z długu przyjmuje, to zobowiązanie wygasa. 18)Jeżeli Jan uczy się pilnie, to otrzymuje dobre stopnie, a jeżeli nie otrzymuje dobrych stopni, to traci humor. 19)Jeżeli Jan nie lubi logiki, to twierdzi, że ma zainteresowania humanistyczne i uważa, że znajomość logiki jest humanistom niepotrzebna. 20)Jeżeli Jan jest inteligentniejszy od Piotra, a jest jego podwładnym, to Piotr czuje się zagrożony. 21)Jeżeli Paweł był posłem, ale nie uchylono mu immunitetu parlamentarnego, to jeśli Paweł popełnił przestępstwo, to nie został postawiony w stan oskarżenia. 22)Jeżeli Jan podlega karze za usiłowanie, to wtedy i tylko wtedy Jan nie odstąpił dobrowolnie od dokonania czynu zabronionego, gdy Jan dobrowolnie zapobiegł skutkowi stanowiącemu znamię czynu zabronionego. 23)Jeśli czyn popełniony przez Pawła nie jest dozwolony i wtedy i tylko wtedy czyn jest dozwolony, gdy nie jest zakazany, to czyn popełniony przez Pawła jest zakazany. 24)Jeżeli będę miał szczęście i albo dostanę spadek albo wygram w lotto, to jeśli cło nie będzie zbyt wysokie, to kupię sobie mercedesa. 25)Jeżeli będzie padać, to zostanę w domu, a jeżeli nie będzie padać, to nie zostanę w domu, lecz pójdę do lasu lub nad jezioro.

Zadanie 3 Jakie interpretacje składniowe dopuszcza każde z podanych niżej zdań złożonych, jeśli abstrahuje się od treści występujących w nich zdań prostych? Którą interpretację sugeruje treść tych zdań? Zbuduj schematy. a) Jeżeli byłeś w Paryżu, to zwiedziłeś Luwr i widziałeś wieżę Eiffla. b) Jeżeli mówisz nieprawdę, to mylisz się lub kłamiesz. c) Ukończę studia rusycystyczne lub podejmę studia matematyczne i zostanę nauczycielem matematyki. d) Ukończę studia rusycystyczne i zostanę tłumaczem literatury rosyjskiej lub będę nauczycielem języka rosyjskiego. Zadanie 4 Niekiedy (zwłaszcza w piśmie) ani zewnętrzna postać zdania, ani jego treść nie pozwala ustalić roli składniowej poszczególnych spójników. Zdanie takie jest wieloznaczne, nie zawiera więc żadnej określonej informacji. Zastanów się nad możliwymi interpretacjami podanych niżej zdań i zbuduj ich schematy przy każdej z tych interpretacji: a) Przeczytam kilka podręczników lub wysłucham wykładów i rozwiążę kilkadziesiąt zadań. b) Jeżeli ukończę studia doktoranckie, to będę pracować naukowo lub zostanę nauczycielem. c) Ukończę studia doktoranckie i będę pracować naukowo lub zostanę nauczycielem zawsze i tylko wtedy, gdy zadowolę się skromnymi dochodami. Zadanie 5 Która z podanych informacji pozwala ustalić wartość logiczną zdania Z jeśli wiadomo, że za „p” podstawiamy zdanie prawdziwe, za „q”- zdanie fałszywe, a za „r”- zdanie o nieznanej wartości logicznej? a) b) c) d) e) f) g) h)

Schematem Z jest: p ∧ (q ∨ r) Schematem Z jest: p ∨ (q ∧ r) Schematem Z jest: ∼p ∧ (q ∨ r) Schematem Z jest: ∼p ∨ (q ∧ r) Schematem Z jest: (p∧q) → r Schematem Z jest: p → ( r∧q ) Schematem Z jest: (p ∨ q) → r Schematem Z jest: p → ( r∨ p )

i) Schematem Z jest: p → ( r ┴ p ) j) Schematem Z jest: (q ┴ r) → p k) Schematem Z jest: (p↔q) ∨ r l) Schematem Z jest: (p↔q) ∧ r m) Schematem Z jest: ∼p ∨ ∼(q→r) n) Schematem Z jest: ∼[∼p →∼(q ┴ r)]

Zadanie 6 Jaką wartość logiczną ma zdanie Z, jeśli prawdą jest, że: a) Z tworzy fałszywą koniunkcję z dowolnym zdaniem b) Z tworzy fałszywą koniunkcję tylko z niektórymi zdaniami c) Z tworzy prawdziwą koniunkcję z niektórymi zdaniami d) Z tworzy prawdziwą alternatywę nierozłączną z dowolnym zdaniem e) Z tworzy prawdziwą alternatywę zwykłą tylko z niektórymi zdaniami f) implikacja, której Z jest poprzednikiem, jest zawsze prawdziwa g) Implikacja, której następnikiem jest Z, jest zawsze prawdziwa h) Czasem jest fałszywa implikacja, której poprzednikiem jest Z, a następnikiem jest alternatywa rozłączna zdania Z z innym zdaniem. i) Implikacja, której poprzednikiem jest Z, a następnikiem ∼Z, jest fałszywa. j) Implikacja, której poprzednikiem jest Z, a następnikiem ∼Z, jest prawdziwa. Zad 7 Czy można wskazać jednoznacznie wartość logiczną zdania Z, jeśli wiadomo, że: a) Fałszywe jest zdanie równoważnościowe, w którym pierwszym argumentem spójnika równoważności jest Z, a drugim jest ∼Z. b) Prawdziwa jest alternatywa rozłączna zdania Z ze zdaniem ∼Z. c) Prawdziwa jest alternatywa zwykła zdania Z ze zdaniem Z. d) Fałszywa jest koniunkcja zdania Z ze sobą samym (czyli ze zdaniem Z). Zad 8 Czy na podstawie informacji, że podane niżej zdanie jest prawdziwe można odpowiedzieć na któreś z pytań (1), (2), (3), gdzie: (1) Czy Platon był założycielem Akademii? (2) Czy Arystoteles był uczniem Platona? (3) Czy Arystoteles uczęszczał do Akademii? Jeśli tak, to na które i jaka jest to odpowiedzieć? a) Nieprawda, że jeśli Platon założył Akademię, to jeśli Arystoteles był uczniem Platona, to Arystoteles nie uczęszczał do Akademii. b) Jeżeli Platon założył Akademię i był nauczycielem Arystotelesa, to Arystoteles uczęszczał do Akademii. c)Platon założył Akademię, a Arystoteles uczęszczał do Akademii lub nie był uczniem Platona. d) Nieprawda, że albo Platon nie założył Akademii i Arystoteles nie był jego uczniem albo Arystoteles nie uczęszczał do Akademii....