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TEORIA DEI GIOCHI Christian Garavaglia

COME SI TROVA UN EQUILIBRIO DI NASH PROCEDURA DA SEGUIRE Data la rappresentazione in forma normale del gioco seguiamo questi passi: - determino le strategie per i due giocatori e le rappresento nella matrice dei pay-off (N.B. la struttura sequenziale del gioco amplia lo spazio delle strategie di uno dei giocatori rispetto al caso di simultaneità delle scelte: ossia attenzione a specificare correttamente nel caso il gioco sia sequenziale tutte le strategie, che per il Giocatore che sceglie per secondo tipicamente non coincidono semplicemente con le azioni disponibili). In ogni cella della matrice, il primo pay-off è del giocatore le cui strategie sono rappresentate sulle righe, mentre il secondo pay-off è del giocatore le cui strategie sono sulle colonne. - fisso la prima strategia di un giocatore (ad esempio il primo), e determino in base ai pay-off riportati quale è la scelta ottimale dell’altro giocatore (il secondo): sottolineo-evidenzio, quindi, il pay-off di questo giocatore - tengo fisse anche le altre strategie del primo giocatore e determino in base ai pay-off riportati quale è la scelta ottimale del secondo giocatore per OGNUNA delle strategie del primo giocatore: sottolineo-evidenzio, quindi, il pay-off del secondo giocatore in ogni situazione - faccio lo stesso per il secondo giocatore, ossia tengo fisse a turno tutte le strategie del secondo giocatore e determino in base ai pay-off riportati quale è la scelta ottimale del primo giocatore per OGNUNA

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delle strategie del secondo giocatore: sottolineo-evidenzio, quindi, il payoff del primo giocatore in ogni situazione - se in una cella della matrice compaiono entrambi i pay-off (di entrambi i giocatori) sottolineati, allora tale combinazione di strategie è un EQUILIBRIO DI NASH

COME SI TROVA UN EQUILIBRIO PERFETTO PROCEDURA DA SEGUIRE Data la rappresentazione in forma sequenziale (o estesa) del gioco seguiamo questi passi: - rappresento, con il così detto albero del gioco, la sequenza delle azioni dei giocatori, i nodi decisionali in cui indichiamo il giocatore che deve fare la scelta, ed i pay-off in corrispondenza dei nodi terminali (il primo payoff che scriviamo è quello del giocatore che sceglie per primo, ed il secondo è del giocatore che sceglie per secondo)

C Giocatore 2

A

D

Giocatore 1 C B Giocatore 2 D 2

- procedo ora utilizzando il metodo dell’induzione all’indietro - nella parte superiore del gioco (considero quindi solo una parte del gioco, e precisamente quella in cui il primo giocatore ha scelto l’azione che rappresentiamo nel ramo superiore: nell’esempio il ramo in cui il Giocatore 1 ha scelto A), considero quale è la scelta ottimale (cioè quella che dà un pay-off più elevato) per il Giocatore 2 tra le possibilità a sua disposizione, ossia tra C e D - faccio lo stesso nella parte inferiore del gioco (considero quindi solo la parte del gioco in cui il primo giocatore ha scelto l’azione che rappresentiamo nel ramo inferiore: nell’esempio il ramo in cui il Giocatore 1 ha scelto B), e quindi considero quale è la scelta ottimale per il Giocatore 2 tra le possibilità a sua disposizione, ossia tra C e D - ora faccio UN PASSO INDIETRO, e vado a studiare quale è la scelta migliore per il Giocatore 1: guardando i pay-off del Giocatore 1 corrispondenti alle due scelte fatte dal Giocatore 2 nei due rami del gioco visti sopra (una nel ramo superiore ed una nel ramo inferiore!), considero quale è il suo (del Giocatore 1!) pay-off più alto, e risalgo quindi alla sua scelta corrispondente tra le due che ha a disposizione, ossia A o B - tale scelta, a cui si accompagna la scelta del Giocatore 2, rappresenta L’EQUILIBRIO PERFETTO del gioco*

* Attenzione: nei giochi sequenziali, tipicamente per il giocatore che sceglie per secondo dobbiamo rappresentare il piano completo di azioni, ossia le strategie (che non coincidono semplicemente con le azioni a disposizione). Quindi, non basta dire ad esempio che l’equilibrio perfetto è dato da (A; D), ma occorre specificare anche quale sia la scelta migliore del Giocatore 2 qualora il Giocatore 1 avesse scelto B (supponiamo che tale scelta sia C). Quindi l’equilibrio perfetto deve essere specificato nel modo seguente: ( A; (D; C) ) Un modo comodo per determinare tali strategie è quello di specificare prima il gioco sequenziale in forma normale, trovare gli equilibri di Nash, e poi specificare il gioco in forma estesa e trovare quale tra questi equilibri di Nash (se ce ne sono più di uno) è un equilibrio perfetto!

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