Teoria dei vettori 1 - Appunti di lezione 1 PDF

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ELEMENTI DI TEORIA DEI VETTORI

INTRODUZIONE

In Meccanica le grandezze caratterizzanti un qualunque fenomeno possono suddividersi in : grandezze scalari, ovvero grandezze (angoli, temperatura, lunghezza, volume, lavoro, area ecc.) definite attraverso la loro misura (rispettivamente grado centesimale/sessagesimale/ radiante, grado Celsius/Kelvin, metro, mc, Joule, mq ecc.) in una certa scala, cioè per mezzo di un semplice numero reale riferito all’unità di misura prescelta (30 rad, 36° C ecc.). Il numero reale con il quale si esprime la misura di una grandezza è detto semplicemente “scalare”. grandezze vettoriali o vettori (dal latino vehere = trasportare) (forze, spostamenti, velocità, accelerazioni, ecc.) definite attraverso un numero reale non negativo (quindi positivo o nullo), detto modulo o intensità, una direzione e un verso. Queste grandezze possono essere rappresentate in forma geometrica e in forma algebrica. La rappresentazione in forma geometrica, che consideriamo per il momento, fa uso di segmenti orientati, ovvero di segmenti la cui lunghezza (in un’apposita scala di lettura e secondo una definita unità di misura) rappresenta la misura (o intensità o modulo) della grandezza (1000 kN per una forza, 10 km per uno spostamento, 50 km/h per una velocità, 60 m/sec2 per un’accelerazione ecc.), mentre la retta a cui il segmento appartiene dà la direzione lungo la quale è definita la grandezza (direzione orizzontale, verticale o comunque inclinata per una forza, direzione N-S per uno spostamento e suoi derivati ecc.) e la freccia posta ad una delle due estremità fornisce il verso della grandezza (verso secondo cui agisce la forza, verso del moto ecc.).

La retta di appartenenza del vettore o segmento orientato è definita retta di azione del vettore Si farà per ora uso di soli vettori rappresentati in forma geometrica e quindi attraverso segmenti orientati. Essi sono generalmente indicati con lettere dell’alfabeto in grassetto, u, oppure da lettere con un trattino sopra o sotto (a volte anche una freccia), i.e. u. Il modulo di un vettore u si indica con la lettera rappresentante il vettore, non in grassetto, i.e. u, oppure con il vettore all’interno del simbolo di modulo, i.e l u l. Il modulo è sempre una quantità positiva. I vettori si suddividono a loro volta in -

vettori liberi definiti univocamente dalle sole tre caratteristiche prima menzionate, i.e. intensità, direzione e verso vettori applicati definiti univocamente attraverso le tre caratteristiche di cui sopra e un punto (definito con le sue coordinate nel piano o nello spazio) detto punto di applicazione del vettore

I vettori in uso saranno per la maggior parte vettori applicati: -

vettore forza, supposto applicato in un punto A (anche se in realtà trattasi di una pressione esercitata su una porzione finita di superficie), con una intensità prefissata, secondo una direzione e un dato verso

-

vettore spostamento, applicato in un punto A (primo estremo del segmento orientato), tale da trasportare il punto A in B (punta della freccia) lungo una certa direzione (la retta passante per A e B), nel verso indicato dalla freccia, coprendo la distanza che intercorre fra A e B (modulo del vettore)

Lo stesso dicasi per tutte le grandezze vettoriali derivanti fa forza e spostamento (pressione, velocità, accelerazione) A volta risulterà utile indicare il generico vettore u come differenza fra il secondo estremo e il primo estremo del segmento orientato, i.e.

VETTORI LIBERI Sono definiti unicamente da intensità, direzione e verso, senza che sia specificato un loro punto di applicazione. Pertanto, con un solo vettore libero si indica in realtà un insieme di infiniti vettori fra loro paralleli aventi tutti la stessa intensità, la stessa direzione, lo stesso verso. Si suol dire che questi vettori rappresentano una classe di segmenti orientati equipollenti Alcune definizioni importanti: -

vettore nullo 0, oppure 0, è un vettore di modulo nullo. Il segmento orientato corrispondente degenera in un punto versore è un vettore di modulo unitario vettore opposto di u è il vettore – u avente stessa intensità, stessa direzione di u ma verso opposto

Operazioni definite per vettori liberi: -

somma sottrazione moltiplicazione di un vettore per uno scalare prodotto scalare fra due vettori prodotto vettoriale fra due vettori

E’ definibile anche una quinta operazione, il cosiddetto prodotto misto, che però tralasciamo non essendo di nostro interesse

SOMMA O COMPOSIZIONE

Dati due vettori liberi u e v, si definisce somma di questi due vettori un terzo vettore w = u + v, graficamente ottenuto riportando il vettore v di seguito al vettore u e unendo il primo estremo di u con il secondo estremo di v tramite il vettore somma w. Si ricorda che questa operazione è possibile in tal modo in quanto i vettori sono liberi e, in quanto tali liberi, di traslare nel piano e nello spazio. La successione dei vettori u e v si chiama poligono dei vettori e il vettore w “risultante” della somma o composizione dei due vettori.

Alo stesso risultato si giunge definendo l’operazione di somma o composizione attraverso la regola del parallelogramma, ossia trasportando i due vettori u e v parallelamente a se stessi fino a far coincidere l’origine di ciascuno con X: il segmento individuato dalla diagonale del parallelogramma costruito su u e v con origine in X rappresenta il vettore somma w

L’operazione di somma può essere estesa a più vettori, ad es. u1, u2, u3, con le stesse modalità, o riportando i vettori l’uno di seguito all’altro o applicando la regola del parallelogramma in primo luogo alla coppia di vettori u1, u2 e in secondo luogo alla coppia di vettori w1 (vettore di servizio), u3. In questo caso specifico si ottiene come risultante una delle diagonali del parallelepipedo costruito sui tre vettori assegnati

I vettori u e v, come pure i vettori u1, u2, u3 si chiamano componenti della somma, mentre il vettore somma w, come già detto, è il risultante della somma o composizione All’operazione di composizione secondo la regola del parallelogramma resta associata l’operazione di scomposizione di un vettore w in due vettori componenti u e v secondo due direzioni assegnate. Infatti, con riferimento alla figura precedente, dato il vettore w = (H-X), è possibile scomporlo secondo due direzioni (supponiamo quelle relative ai vettori u e v per ora non definiti) riportando per X le rette secondo queste due direzioni e mandando da H le parallele ad esse (rette proiettanti). I segmenti intercettati dalle rette proiettanti sulle due rette per X individuano i due vettori componenti u e v. Analogamente, nel caso tridimensionale, il vettore w può essere scomposto in tre direzioni (quelle ad es. associate ai vettori u1, u2, u3 ancora non definiti e che chiameremo r1, r2, r3): si riportano per X le rette secondo le tre direzioni r1, r2, r3;

la proiezione di w sulla retta r3 , o nella direzione r3 , fornisce il vettore componente u3, la proiezione di w sul piano definito dalle rette u1 e u2 fornisce il vettore di servizio w1 che, scomposto a sua volta nelle direzioni r1, r2 fornisce i rimanenti vettori componenti u1 e u2. La differenza fra i vettori u e v, u – v, è il vettore w ottenuto sommando al vettore u l’opposto del vettore v, i.e w = u + (-v)

PROPRIETA’ RELATIVE ALLA SOMMA DI VETTORI

In particolare a- Cambiando l’ordine dei vettori componenti della somma il risultante non cambia b- Il risultante non cambia se a un qualunque componente della somma viene sommato il risultante dei rimanenti componenti c- Un qualunque vettore resta invariato se ad esso viene sommato il vettore nullo d- Il vettore nullo è dato dalla somma di un qualunque vettore e del suo opposto MOLTIPLICAZIONE DI UN VETTORE PER UNO SCALARE Indicando con k una quantità scalare (numero reale positivo o negativo) si definisce prodotto di un vettore v per lo scalare k il l vettore w = k v ottenuto moltiplicando il modulo di v per lo scalare k. Il vettore w avrà la stessa direzione di v, modulo dato dal prodotto del modulo di v per il valore assoluto di k , i.e.

e verso concorde o discorde rispetto a v a seconda che k sia positivo o negativo:

PROPRIETA’ RELATIVE ALLA MOLTIPLICAZIONE DI VETTORI PER SCALARI h , k

In particolare e- Un qualunque vettore resta invariato se moltiplicato per l’unità f- Il prodotto di uno scalare per un vettore moltiplicato per uno scalare è uguale al prodotto del vettore per il prodotto degli scalari g- Il prodotto di un vettore per la somma di due scalari è uguale alla somma dei prodotti del vettore per i singoli scalari h- Il prodotto di uno scalare per la somma di due vettori è uguale alla somma dei prodotti dello scalare per ciascuno dei due vettori

PRODOTTO SCALARE FRA DUE VETTORI (definizione in forma cosiddetta intrinseca) Si definisce prodotto scalare fra due vettori u e v LO SCALARE K ottenuto moltiplicando il modulo di u per il modulo di v e per il coseno del più piccolo angolo ϕ compreso fra i due vettori traslati nel piano o nello spazio fino ad avere in comune il primo estremo. Il prodotto scalare si indica con il punto inserito fra i due vettori del prodotto. Pertanto u · v = |u||v|cos ϕ = |v||u|cos ϕ (per la proprietà commutativa del prodotto fra scalari) Va notato che il prodotto del modulo di uno dei due vettori, ad es. u, per il coseno dell’angolo compreso fra i due, fornisce la proiezione ortogonale di u nella direzione di v, ovvero lo scalare uv , positivo nel caso che l’angolo sia acuto, negativo se ottuso. In altre parole lo scalare uv sarà positivo se la proiezione di u sulla retta di azione di v cade su v, negativo se invece tale proiezione cade fuori di v. Tale scalare con il suo segno positivo o negativo si definisce componente di u su v. Pertanto |u||v|cos ϕ = |u| uv = |v||u|cos ϕ = |v|vu

Dalla definizione di prodotto scalare si evince che due vettori sono ortogonali (ϕ = 90°) se il loro prodotto scalare è nullo. Pertanto l’annullarsi del prodotto scalare fra due vettori è condizione necessaria e sufficiente per l’ortogonalità dei vettori. Da notare che il prodotto scalare di un qualunque vettore per se stesso fornisce il quadrato del modulo del vettore Infatti u · u = |u||u|cos ϕ = |u||u|= |u|2 essendo ϕ = 0 e quindi cos ϕ = 1

COMPONENTE DI UN VETTORE SECONDO UNA RETTA r ORIENTATA Si definisce intanto versore un qualunque vettore avente qualunque direzione e verso ma modulo unitario Data una retta r si definisce versore associato alla retta r il vettore e di modulo unitario, avente la direzione della retta r e un qualunque verso definito lungo r. In tal modo, la retta r a cui è stato associato il versore e, si definisce retta orientata (come ad esempio gli assi coordinati x,y,z)

Con riferimento alla definizione data di prodotto scalare, si definisce componente di un vettore u su una retta orientata r (così definita attraverso il suo versore associato e) il prodotto scalare del vettore u per il versore e ovvero u · e = |u||e|cos ϕ = ur dove ϕ è al solito il più piccolo angolo definito fra il vettore u e il versore e

PRODOTTO VETTORIALE FRA DUE VETTORI Si definisce prodotto vettoriale (indicato con l’operatore x ) fra i vettori u e v IL VETTORE w il cui modulo è ottenuto moltiplicando il modulo di u per il modulo di v per il seno del più piccolo angolo ϕ definito fra i due vettori. Ovvero |w| =| u x v |= |u||v|sen ϕ La direzione di w è ortogonale al piano individuato dai due vettori u e v del prodotto mentre il suo verso è quello di avanzamento di una vite che ruota nello stesso modo in cui ruota il primo vettore u del prodotto per andare a sovrapporsi al secondo vettore v. A tal riguardo ci sono varie modalità a questa equivalenti per definire il verso di w. In figura n è il versore, ortogonale al piano dei due vettori u e v, che conferisce direzione e verso al vettore w (la vite cioè avanza in direzione ortogonale al piano individuato da u e v e verso l’alto). Infatti un qualunque vettore w può definirsi come prodotto di una quantità scalare (modulo di w) per un versore che con la sua direzione e verso conferisce caratteristiche vettoriali, ovvero direzione e verso, a w, i.e. w = |w|e

Va notato che il modulo di w rappresenta il doppio dell’area del triangolo costruito su u e v, ovvero l’area del parallelogramma costruito su di essi.

Dalla definizione di prodotto vettoriale discende che due vettori sono fra loro paralleli (ϕ = 90° ovvero 180°) se il loro prodotto vettoriale è nullo. Pertanto l’annullarsi del prodotto vettoriale fra due vettori è condizione necessaria e sufficiente per il parallelismo dei vettori. Va infine ricordato che per il prodotto vettoriale non vale la proprietà commutativa in quanto uxv=-vxu come è facile verificare in base alla definizione data di prodotto vettoriale

PROPRIETA’ RELATIVE AL PRODOTTO SCALARE A- u · v = v · u (propr. commutativa) B- (ku) · v = u · (kv) (propr. associativa rispetto alla moltiplicazione per uno scalare) C- u · (v + w) = u · v + u · w (propr. distributiva rispetto alla somma di vettori) PROPRIETA’ RELATIVE AL PRODOTTO VETTORIALE D- (ku) x v = k ( u x v) E- u x (v + w) = u x v + u x w

(propr. associativa) (propr. distributiva rispetto alla somma di vettori)

NOTA IMPORTANTE Per velocizzare la scrittura e la diffusione di questi appunti potrò riportare relazioni in forma vettoriale tratti da un testo classico, ma ormai datato anche se molto lineare nella trattazione, in cui gli operatori matematici indicanti prodotto scalare e vettoriale sono diversi da quelli sopra introdotti, che sono quelli attualmente in uso nella comunità scientifica. Pertanto troverete il prodotto scalare indicato con X anziché con · , mentre il prodotto vettoriale è indicato con una V rovesciata anziché con X. Quindi tenete presente questa corrispondenza in modo da non fare confusione. Il testo di riferimento è “STATICA applicata alle costruzioni “ di L. Boscotrecasa, A Di Tommaso, Edizioni Patron, presente nella nostra Biblioteca in circa 10 copie tutte a disposizione degli studenti.

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA DEI VETTORI La presentazione delle operazioni vettoriali nella loro forma intrinseca è utile per comprendere il significato geometrico di ciascuna operazione ma non è altrettanto utile a fini operativi qualora si intende procedere con quantità numeriche. Si ricorre quindi alla rappresentazione dei vettori, finora supposti ancora liberi, in uno spazio cartesiano definito da una terna destrorsa di assi x, y, z, con origine in O, rappresentabile cioè con le prima tre dita della mano destra con la seguente corrispondenza: x = pollice, y = indice, z = medio. Gli assi di riferimento x, y, z sono assi orientati (i semiassi orientati uscenti da O definiscono il cosiddetto triedro positivo nello spazio) e quindi, secondo quanto già detto in precedenza, rette orientate il cui orientamento è definito attraverso il versore associato a ciascuna retta (vettore di modulo unitario, nella direzione della retta, con verso tale da definire il semiasse positivo di riferimento nel triedro positivo. In particolare resta definita la seguente associazione: asse x : versore u

asse y: versore j asse z: versore k

Sia dato quindi un vettore libero v che per comodità trasliamo nello spazio fino a far coincidere il suo primo estremo con l’origine O. Sempre per semplicità il vettore sia definito nel triedro positivo. P sia il secondo estremo del vettore con coordinate x, y, z. Si proietti il vettore v ortogonalmente sui semiassi positivi di riferimento mandando da P le rette proiettanti ortogonali a ciascuno di essi. Si otterranno i vettori componenti vx, vy, vz rispettivamente sugli assi x, y, z. Poiché, come già detto, un qualunque vettore può essere espresso come prodotto della sua parte scalare (modulo) per il suo versore (che conferisce direzione e verso) è possibile la seguente rappresentazione dei vettori componenti: vx = vx u,

vy = vy j,

v z = vz k

dove gli scalari vx, vy, vz , dette le componenti del vettore v, altro non sono se non le coordinate di P ovvero vx = x, vy = y, vz = z. Pertanto, il vettore v, come somma o composizione dei tre vettori componenti potrà essere definito nella seguente forma che costituisce la rappresentazione cartesiana del vettore v=xi+yj+zk

Da ricordare che le componenti di v sono in questo caso tutte positive avendo assunto il vettore nel triedro positivo (con coordinate di P tutte positive). Se invece fosse stato assunto in qualunque altro triedro, pur sempre con origine in O, una o più componenti sarebbero risultate negative.

Pertanto le componenti di un vettore possono essere definite come i moduli dei vettori componenti con il segno positivo o negativo a seconda che i corrispondenti vettori componenti siano concordi o meno con i semiassi positivi del riferimento. A differenza del modulo, sempre positivo, le componenti di un vettore sono quantità definite in segno. Grazie a questa rappresentazione cartesiana sarà ora possibile ridefinire tutte le operazioni già viste in termini anche quantitativi a cominciare già dalla stessa rappresentazione di un vettore. Ad es. dato il vettore v con primo estremo in O (0,0,0) e secondo estremo in P (5, 3, 7) esso sarà rappresentabile nella forma cartesiana v=5i+3j+7k nel triedro positivo, con 5 componente in x, 3 componente in y e 7 componente in z. Invece, se P avesse coordinate (-1, 5,- 7), sarebbe v = -1 i + 5 j - 7 k e il vettore sarebbe definito in un altro triedro Da ricordare che le parti scalari (positive o negative), oltre ad essere le coordinate di P sono anche le componenti del vettore sugli assi di riferimento. Di conseguenza, un qualsiasi vettore potrà essere rappresentato in maniera univoca attraverso le sue componenti sugli assi coordinati. Es. v = (5, 3, 7), v = (-1, 5, -7) Come esercizio, assunta un’apposita scala di rappresentazione riportare nel piano x, y i seguenti vettori liberi v1 = (- 3, 4);

v2 = (2, - 6);

v3 (-1, 3)

ANGOLI COMPRESI FRA UN VETTORE E GLI ASSI COORDINATI Come già detto vx è la componente di v sull’asse x, e come tale resta definita come prodotto scalare fra il vettore v e il versore i associato all’asse orientato x, i.e. vx = v · i= |v||i|cos α = |v|cos α dove α è l’angolo (sempre inteso come il più piccolo angolo) compreso fra v e i, e quindi fra v e il semiasse positivo x. Poiché v è il vettore risultante dalla composizione dei tre vettori componenti vx, vy, vz (applicando in successione la regola del parallelogramma), il suo modulo sarà definito attraverso il teorema di Pitagora nello spazio, i.e.

Di conseguenza

cos α =

Analogamente, definendo β e ꓬ rispettivamente gli angoli che v forma con i semiassi positivi y e z, risulterà vy = v · j = |v||j|cos β = |v|cos β vz= v · k = |v||k|cos ꓬ = |v|cos ꓬ

e pertanto cos β =

cos ꓬ =

da cui α = arcos

β = arcos

ꓬ = arcos

NB: nelle calcolatrici la funzione arcos è la funzione inversa di cos e indicata con cos -1 e così per le altre due....