MAKALAH METODE NEWTON RAPHSON PDF

Preview

Summary

MAKALAH METODE NEWTON RAPHSON Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc Disusun oleh: Disusun oleh: Kelompok 3/7A2 Tri Wahzudi (14144100018) Avindita Putri Ariestyanti (14144100045) Tunjung Dyah Ovi Pramaeda (14144100071)...

Description

MAKALAH METODE NEWTON RAPHSON Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc

Disusun oleh: Disusun oleh: Kelompok 3/7A2 Tri Wahzudi

(14144100018)

Avindita Putri Ariestyanti

(14144100045)

Tunjung Dyah Ovi Pramaeda

(14144100071)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2017

KATA PENGANTAR Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karuniaNya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah Metode Newton Raphson dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita. Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas Mata Kuliah Metode Numerik. Dalam membuat Makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang kami miliki, kami berusaha mencari sumber data dari berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Kami juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan Makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan. Dalam penulisan Makalah ini kami merasa masih banyak kekurangan kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang kami miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam Makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat kami harapkan demi penyempurnaan pembuatan Makalah ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga Makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.

Yogyakarta, 2 Desember 2017

ii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL................................................................................................ i KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii DAFTAR ISI .......................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN ...................................................................................... 1 A. Latar Belakang ............................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ........................................................................................ 2 C. Tujuan .......................................................................................................... 2 BAB II KAJIAN PUSTAKA ................................................................................. 3 A. Metode Numerik .......................................................................................... 3 B. Angka Bena .................................................................................................. 4 C. Deret Taylor dan Maclaurin ......................................................................... 9 D. Galat ........................................................................................................... 12 E. Persamaan Non Linear ............................................................................... 15 F.

Metode Terbuka ......................................................................................... 15

BAB III PEMBAHASAN .................................................................................... 18 A. Metode Newton Raphson ........................................................................... 18 B. Algoritma Metode Newton Raphson ......................................................... 19 C. Kelebihan dan Kekurangan Metode Newton Raphson .............................. 19 D. Contoh Soal ................................................................................................ 20 BAB IV STUDI KASUS ..................................................................................... 23 BAB V KESIMPULAN ....................................................................................... 27 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 28

iii

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Persoalan yang melibatkan model matematika sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti bidang Fisika, Kimia, Ekonomi, atau pada rekayasa (enginering) seperti Teknik Sipil, Teknik Mesin, dan sebagainya. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang rumit atau tidak dapat diselesaikan dengan metode biasa, sehingga solusi yang digunakan adalah Metode Numerik. Metode Numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan. Metode numerik digunakan karena model matematika yang sering muncul adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik. Seperti halnya untuk menentukan solusi dari persamaan (akar persamaan) yang berbentuk f(x) = 0. Sebuah bilangan dianggap akar dari sebuah persamaan jika seandainya bilangan tersebut dimasukkan ke dalam persamaan, maka nilai persamaan itu akan sama dengan nol atau bisa dikatakan akar sebuah persamaan f(x) =0 adalah nilai-nilai x yang menyebabkan nilai f(x) sama dengan nol. Persamaan yang bentuknya sederhana seperti persamaan linier dan persamaan kuadrat dapat dengan mudah diselesaikan secara analitik. Sehingga jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak dapat menggunakan metode analitik, dapat digunakan metode numerik. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Ada 2 pendekatan yang dapat digunakan pada penyelesaian persamaan non linier yaitu dengan metode tertutup dan metode terbuka. Metode tertutup (Bracketing Method) adalah metode yang hanya membutuhkan 2 tebakan awal untuk mengira-ngira akar dari sebuah persamaan. Sebuah fungsi sesuai

1

jenisnya akan berubah disekitar harga suatu akar. Akar sebenarnya dari persamaan tersebut nantinya akan berada di antara 2 angka yang telah ditebak tersebut. Sementara itu metode terbuka adalah metode yang tidak memerlukan batas bawah dan batas atas pada perkiraan nilai awal. Karena hal itu, bila tebakan awal tepat, maka hasilnya akan mendekati akar yang sesungguhnya dengan kecepatan lebih cepat dari metode biseksi. Metode yang akan dibahas pada makalah ini adalah metode terbuka yaitu metode Newton Raphson. B. Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang, permasalahan yang akan dibahas dirumuskan sebagai berikut: 1. Apa pengertian metode numerik? 2. Apa pengertian metode Newton Raphson? 3. Bagaimana algoritma dan penyelesaian metode Newton Raphson? C. Tujuan Tujuan penyusunan makalah ini adalah sebagai berikut: 1. Memahami pengertian metode numerik 2. Memahami pengertian metode Newton Raphson 3. Mengetahui dan memahami algoritma dan penyelesaian metode Newton Raphson.

2

BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Metode Numerik Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan permasalahanpermasalahan yang diformulasikan secara matematis dengan menggunakan operasi hitungan (arithmatic) yaitu operasi tambah, kurang, kali, dan bagi. Terdapat banyak jenis metode numerik, namun pada dasarnya, masing masing metode tersebut memiliki karakteristik umum, yaitu selalu mencakup sejumlah kalkulasi aritmetika. Solusi dari metode numerik selalu berbentuk angka dan menghasilkan solusi hampiran. Hampiran, pendekatan, atau aproksimasi (approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sebenarnya atau sejati (exact solution). Sedangkan galat atau kesalahan (error) didefinisikan sebagai selisih nilai sejati dengan nilai hampiran. Metode numerik dapat menyelesaikan permasalahan matematis yang sering nonlinier yang sulit diselesaikan dengan metode analitik. Metode analitik disebut

juga metode sejati

karena

memberi solusi

sejati

(exact solution) atau solusi yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol. Jika terdapat penyelesaian secara analitik, mungkin proses penyelesaiannya sangat rumit, sehingga tidak effisien. Contohnya: menentukan akar-akar polynomial. Jadi, jika suatu persoalan sudah sangat sulit atau tidak mungkin digunakan dengan metode analitik maka kita dapat

menggunakan metode numerik

sebagai

alternatif

penyelesaian persoalan tersebut. Metode numerik ini disajikan dalam bentuk algoritma-algoritma yang dapat dihitung secara cepat dan mudah. Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik merupakan pendekatan analisis matematis, dengan tambahan grafis dan teknik perhitungan yang mudah. Algoritma pada metode numerik adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan metode pendekatan, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai nilai error (nilai kesalahan)

3

Penggunaan metode numerik biasanya digunakan untuk menyelesaikan persoalan matematis yang penyelesaiannya sulit didapatkan dengan menggunakan metode analitik, yaitu: 1. Menyelesaikan persamaan non linear 2. Menyelesaikan persamaan simultan 3. Menyelesaikan differensial dan integral 4. Menyelesaikan persamaan differensial 5. Interpolasi dan Regresi 6. Masalah multivariabel untuk menentukan nilai optimal yang tak bersyarat Keuntungan penggunaan Metode Numerik: 1. Solusi persoalan selalu dapat diperoleh 2. Dengan bantuan komputer, perhitungan menjadi cepat dan hasilnya dapat dibuat sedekat mungkin dengan nilai sesungguhnya Kekurangan penggunaan Metode Numerik: 1. Nilai yang diperoleh adalah hampiran(pendekatan) 2. Tanpa bantuan alat hitung (komputer), perhitungan umumnya lama dan berulang-ulang. B. Angka Bena 1. Pengertian Angka Bena Dalam kehidupan sehari-hari angka signifikan (bena) dapat dijumpai pada bidang teknik, bisnis, sains, komunikasi, ekonomi dan lainnya. Dalam bidang teknik informatika biasanya untuk coding sistem, atau membuat program, pada bidang ini biasanya menggunakan mathlab untuk mempermudah perhitungan. Dalam bidang sains biasanya terdapat pada matematika untuk diperlajari oleh siswa atau mahasiswa, pada fisika biasanya untuk satuan ukur saat percobaan atau penelitian dan pada kimia atau farmasi untuk menimbang/meracik dosis obat. Konsep angka bena (significant figure) atau angka bermakna telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai

4

numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti. Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran. Angka taksiran terletak pada akhir angka signifikan. Ketika melakukan pengukuran atau perhitungan, kita harus menghindar dari keinginan untuk menulis lebih banyak digit pada jawaban terakhir dari jumlah digit yang diperbolehkan. Suatu indikasi bagi ketepatan pengukuran yang diperoleh dari banyaknya angka-angka penting. Angka-angka penting tersebut memberikan informasi yang aktual (nyata) mengenai ketelitian pengukuran. Makin banyak angka-angka penting, ketepatan pengukuran menjadi lebih besar. Sebagai contoh, jari-jari bumi adalah 695000000 m. Jari-jari ini sebenarnya tidak tepat, karena telah dibulatkan ke jutaan meter terdekat. Maka jari-jari tersebut hanya memiliki 3 angka bena, angka nol di akhir bukan merupakan angka penting. Angka nol bisa menjadi angka bena, jika memenuhi aturan-aturan tentang angka bena. 2. Aturan-aturan tentang Angka Bena a. Setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan adalah angka bena. Contoh: 14569 memiliki 5 angka bena. 2546 memiliki 4 angka bena. b. Setiap angka nol yang terletak diantara angka-angka bukan nol adalah angka bena. Contoh: 406 memiliki 3 angka bena. 5000,1003 memiliki 9 angka bena. 280,0050 memiliki 7 angka bena. c. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda desimal adalah angka bena. Contoh: 23,50000 memiliki 7 angka bena

5

278,900 memiliki 6 angka bena d. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena. Contoh: 38000000 memiliki 2 angka bena. e. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan merupakan angka bena. Contoh: 0,0090 memiliki 2 angka bena 0,0000000000000012 memiliki 2 angka bena f. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, dan terletak di depan tanda desimal merupakan angka bena. Contoh: 800,0 memiliki 4 angka bena. Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan. 3. Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tidak jelas berapa banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan pasti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah. Misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau ukuran jarak dalam astronomi. Contoh: a. 4,3123 × 10 memiliki 5 angka signifikan b. 1,2 × 10-6 memiliki 2 angka signifikan

6

4. Aturan Pembulatan Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan membuang yang bukan merupakan angka bena dengan mengikuti aturanaturan berikut: a. Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka tidak signifikan. Contoh: Empat angka bena dari bilangan 16,7321 adalah 16,73 (angka bena) dan 21 (bukan angka bena). b. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang bukan angka bena. Contoh: Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,5. c. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka bena. Contoh: Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,67 d. Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka: - Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan. Contoh: Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 37,8 - Jika digit terakhir dari angka bena merupakan bilangan genap genap, maka buang bukan angka bena.

7

Contoh: Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 79,8. 5. Operasi Angka Penting Dalam operasi perhitungan dengan menggunakan angka penting ada suatu aturan umum yang harus diikuti. a. Penjumlahan dan Pengurangan Hasil dari penjumlahan atau pengurangan bilangan hanya boleh mempunyai angka dibelakang koma sebanyak angka di belakang koma yang paling sedikit pada bilangan-bilangan yang dilakukan operasi penjumlahan atau penguranga. Contoh: 2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68) 34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48) b. Perkalian dan Pembagian Hasil perkalian atau pembagian hanya boleh mempunyai angka bena sebanyak bilangan dengan angka bena paling sedikit. Contoh: (32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095 Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2 (2 angka signifikan). Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dibulatkan menjadi 33 (2 angka signifikan). c. Kombinasi perkalian dan atau pembagian dengan penjumlahan dan atau pengurangan. Jika terdapat kombinasi operasi angka penting, maka hasil operasi di dalam kurung harus dibulatkan terlebih dahulu sebelum melakukan operasi selanjutnya. Penerapan angka penting dalam kehidupan sehari-hari salah satunya ketika seseorang melakukan pengukuran seperti mengukur tinggi badan,

8

mengukur celana, spedometer, dan lain-lain. Dalam pengukuran tersebut tidak pasti tepat sehingga angka penting berperan dalam pengukuran agar ketepatan pengukuran menjadi lebih besar. C. Deret Taylor dan Maclaurin 1. Deret Taylor Pada bidang teknik elektro lebih tepatnya teknik kendali (salah satu spesialisasi di teknik elektro) biasanya menggunakan deret taylor untuk mengendalikan

gerak

pesawat

dengan

menggunakan

perhitungan

persamaan matematis. Persamaan matematis ini biasanya berupa persamaan nonlinear, karena unutk mengolah persamaan nonlinear itu sangat sulit, jadi persamaan tersebut dilinearisasikan dengan menggunakan deret taylor. Dalam matematika, Deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlah tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tesebut di satu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polimial Taylor. Deret Taylor merupakan dasar untuk menyelesaikan masalah dalam metode numerik, terutama penyelesaian persamaan diferensial. Deret Taylor secara umum berarti deret pangkat (xa) , dengan a adalah konstanta. Suatu fungsi yang terdifferensial sampai orde n di x = a, jika diberikan fungsi f . Fungsi f tersebut dapat dinyatakan oleh suatu deret pangkat dalam x-a. Rumus Taylor

Misalkan f fungsi yang turunan ke (n+1), f ( n1) ( x) ada untuk masingmasing x dalam interval terbuka I yang mengandung a. Maka untuk masing-masing x dalam I f ( x)  f (a)  f '(a) ( x  a) 

f ''(a) f n (a) ( x  a) 2  ...  ( x  a) n 2! n!

9

Bentuk yang diperoleh diatas dikenal dengan bentuk polinomial taylor. Fungsi yang dapat diperderetkan dalam bentuk polinomial taylor, dinamakan deret Taylor. Contoh: Tentukanlah ekspansi Taylor orde 5 f(x)=cos x, a 

 6

Jawab: a

 6

 30 o

f ( x)  cos x f (a)  cos a f a   f(30)  cos 30 

1 3 2

f' (a)  f' (30)   sin 30  

1 2

f 2 (a)  f 2 (30)   cos 30   f 3 (a)  f 3 (30)  sin 30 

1 3 2

1 2

f 4 (a)  f 4 (30)  cos 30 

1 3 2

f 5 (a)  f 5 (30)   sin 30  

1 2

Substitusi a = 30 f(x)

f' ' (a) f' ' ' (a) f 4 (a) f 5 (a) (x a)2  (x a)3  (x a)4  (x a)5 2! 3! 4! 5! 1 1 1 1 3 3 1 3  (x  30)  2 (x  30)2  2 (x  30)3  2 (x  30)4  2 (x  30)5 2 2! 3! 4! 5! 1 1 1 1 1 3  (x  30)  (x  30)2  (x  30)3  (x  30)4  (x  30)5 2 4 12 48 240

 f(a)  f' (a) (x a)  1 2 1  2

cos x 

Bentuk pengaplikasian Deret Taylor adalah untuk penghitungan metode numerik, digunakan untuk sistem kendali, membuat persamaan

10

matematis dari suatu sistem/proses, penghitungan analisis matematika, terdapat dalam kombinatorika dengan nama fungsi pembangkit. 2. Deret maclaurin Dalam kasus a = 0 , polinom Taylor orde-n dapat disederhanakan yang disebut dengan polinom Maclaurin orde-n. Dengan demikian polinom Maclaurin orde-n diberikan oleh rumus,

f ( x)  f (0)  f '(0) x 

f 2(0) 2 f n (0) n x  ...  x 2! n!

Beberapa deret Maclaurin yang penting adalah sebagai berikut: 1.

1 1  x  x 2  x 3  x 4  ... 1- x

2. ln ( x  1 )  x  3. tan 1 x  x  4. e x 1  x 

x2 x3 x4 x5    ... 1  x  1 2 3 4 5

x3 x5 x7 x9    ... 3 5 7 9

x2 x3 x4   ... 2! 3! 4!

untuk semua x

5. sin x  x 

x3 x5 x7 x9    ... 3! 5! 7! 9!

untuk semua x

6. cos x 1 

x 2 x 4 x6 x8    ... 2! 4! 6! 8!

untuk semua x

7. cos ec x  x  8. sec x 1 

x3 x5 x7 x9    ... 3! 5! 7! 9!

x 2 x 4 x 6 x8     ... 2! 4! 6! 8!

Contoh: Dengan menggunakan rumus Maclaurin, tentukanlah polinom orde 5 dari f ( x)  (1  x) 5 / 2

11

Jawab: f ( x)  (1  x) 5 / 2

f (a)  (1  a) 5 / 2 f (a)  (1  a) 5 / 2  (1  0) 5 / 2  1 f ' (a) 

5 5 (1  a) 3 / 2  2 2

f 2 (a) 

15 15 ( 1  a )1 / 2  4 4 f 3 (...