Método de Newton - Raphson PDF

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Este laboratorio se desarrolló con el fin de comprender los algoritmos a partir de ejemplos sencillos, partiendo de entender y aplicar los elementos de estos. Con base a un programa diseñado en código base vamos a comprobar los resultados obtenidos por medio del Método de Newton-Raphson en Matlab , ...

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Laboratorio Método de Newton-Raphson Practica de Laboratorio N°3 MARCO TEÓRICO

RESUMEN En la práctica de laboratorio virtual realizada el día de octubre del 2020, nos dimos cita por una reunión en Microsoft teams para iniciar la explicación hecha por nuestro docente Henry Moreno Cañas en esta él nos dio un recorrido por la guía de laboratorio que el realizo para nosotros, nos explicó cómo funcionan los ejemplos explicándoles qué son las variables, condicionales, interacciones,aproximaciones entre otros conceptos importantes para la realización del laboratorio, El tema de este fue el Método de Newton-Raphson aplicado en el software de MATLAB.

El Método Newton-Raphson En análisis numérico, el método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier) es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada. El método de Newton es un método abierto, en el sentido de que no está garantizada su convergencia global. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverge aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

PALABRAS CLAVE: Aproximaciones, iteración, función real, máximos, mínimos.

INTRODUCCIÓN Este laboratorio se desarrolló con el fin de comprender los algoritmos a partir de ejemplos sencillos, partiendo de entender y aplicar los elementos de estos. Con base a un programa diseñado en código base vamos a comprobar los resultados obtenidos por medio del Método de Newton-Raphson en Matlab , para esto vamos a realizar el procedimiento con los siguientes ejercicios propuestos.

PROCEDIMIENTO

Este método de resolución numérica busca un cero de la función f(x) por aproximaciones sucesivas a partir de un valor inicial x0. El valor sucesivo xn+1 es la abscisa del punto en que la tangente a la gráfica de f(x) en xn corta al eje Ox.

El docente explicó las diferentes funciones y herramientas del sistema Matlab por medio de ejemplos en donde, estos sirven como base para la solución del laboratorio. Se procedió a realizar y ejecutar los diferentes ejercicios sobre el tema de método NewtonRaphson, que a través de programación se procede a la solución de los ejercicios propuestos añadiendo conclusiones y análisis de los mismos. Se realizó la toma de datos necesarios para el informe de laboratorio.

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Figura 3. Imagen de Isaac Newton.. ¿Quién es Joseph Raphson? Joseph Raphson (Middlesex, Inglaterra, 1648 - 1715 ) fue un matemático inglés conocido por desarrollar el método de Newton-Raphson. El método de Newton-Raphson es llamado así debido a que en 1691 lo publica en su libro Aequationum Universalis, en 1690, que contenía este método para aproximar raíces. Newton en su libro Método de las fluxiones describe el mismo método, en 1671, pero no fue publicado hasta 1736, lo que significa que Raphson había publicado este resultado 46 años antes. Aunque no fue tan popular como los trabajos de Newton, se le reconoció posteriormente.

Figura 1. Gráfica ejemplo del método Newton-Raphson.

No se tiene imágenes de él y tampoco información acerca de su vida privada.

Figura 2. Gráfica 2 ejemplo del método NewtonRaphson. MATLAB ¿Quién es Isaac Newton? Isaac Newton fue un físico y matemático inglés de los siglos XVII y XVIII (nació el 4 de enero de 1643 y murió el 31 de marzo de 1727 a los 84 años) conocido principalmente por: – Establecer las bases de la mecánica clásica a través de sus tres leyes del movimiento y su ley de la gravitación universal.

MATLAB, (abreviatura de MATrix LABoratory, «laboratorio de matrices») es un sistema de cómputo numérico que ofrece un entorno de desarrollo integrado (IDE) con un lenguaje de programación propio (lenguaje M). Está disponible para las plataformas Unix, Windows, macOS y GNU/Linux. Entre sus prestaciones básicas se hallan la manipulación de matrices, la representación de datos y funciones, la implementación de algoritmos, la creación de interfaces de usuario (GUI) y la comunicación con programas en otros lenguajes y con otros dispositivos hardware.

Figura 4. Símbolo del software MATLAB.

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ALGORITMO La programación es el acto de programar, es decir, organizar una secuencia de pasos ordenados a seguir para hacer cierta cosa. Este término puede utilizarse en muchos contextos, es común hablar de programación a la hora de organizar una salida, las vacaciones o de la lista de programas con sus días y horarios de emisión de los canales de televisión o la lista de películas de un cine.

En matemáticas, lógica, ciencias de la computación y disciplinas relacionadas, un algoritmo significa «número», es un conjunto de instrucciones o reglas definidas y no-ambiguas, ordenadas y finitas que permite, típicamente, solucionar un problema, realizar un cómputo, procesar datos y llevar a cabo otras tareas o actividades. Dado un estado inicial y una entrada, siguiendo los pasos sucesivos se llega a un estado final y se obtiene una solución. Los algoritmos son el objeto de estudio de los algoritmos.

Además, en el campo de la informática, la programación es la pieza clave en la relación entre los ordenadores y los usuarios.

Figura 7. Imagen referente a la programación.

Figura 5. Ejemplo de un algoritmo.

LENGUAJE DE PROGRAMACIÓN CICLO WHILE El lenguaje de programación es un idioma artificial prediseñado formado por signos, palabras y símbolos que permite la comunicación entre el programador y el ordenador.

Los ciclos while son también una estructura cíclica, que nos permite ejecutar una o varias líneas de código de manera repetitiva sin necesidad de tener un valor inicial e incluso a veces sin siquiera conocer cuando se va a dar el valor final que esperamos, los ciclos while, no dependen directamente de valores numéricos.

Las instrucciones que sigue el ordenador para la ejecución de aplicaciones y programas están escritas en lenguaje de programación y luego son traducidas a un lenguaje de máquina que puede ser interpretado y ejecutado por el hardware del equipo (parte física).

Figura 8. Imagen referente a un lenguaje de programación.

Figura 6. Ejemplo de un ciclo while común.

RESULTADOS

¿QUÉ ES LA PROGRAMACIÓN?

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Realizamos cinco ejemplos simples de algoritmos en el software de MATLAB. A continuación, mostraremos los ejemplos con su funcionamiento.

Figura 10. Respuesta del Ejercicio n° 1a..

Figura 9. Código del Ejercicio n° 1a.

Figura 11. Gráfico del Ejercicio n° 1a.

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Figura 10. Respuesta del Ejercicio n° 1b.

Figura 13. Gráfico del Ejercicio n° 1b.

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corroborar resultados teóricos con resultados arrojados por el software de MATLAB y encontramos cierto rango de error en los resultados calculados esto se debe por no trabajar con todos los decimales, los de MATLAB son completamente precisos.

ANÁLISIS DE RESULTADOS Acorde a las pruebas realizadas en matlab se puede concluir que en efecto, la búsqueda de aproximaciòn de raíces en las funciones reales se aplicaba a sí como en los ejercicios en clase, de igual manera se parecen los máximos y mínimos en las gráficas resultantes con respecto a su primera derivada. De las pocas diferencias que se lograron apreciar, el rango de error es muy bajo, debido a que el programa nos permitió trabajar con tolerancias muy precisas.

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El lenguaje de programación que se usa en MATLAB es sin duda un lenguaje muy completo y específico que comparándolo con otros lenguajes de programación puede llegar a resultar más sencillo de comprender que otros como (lolcode, Java, python, entre otros).

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Además de solo ingresar líneas de texto, el haber comprendido lo que se estaba digitando es fundamental para un desarrollo mental de análisis y comprensión de tareas que requieran de un procedimiento dado.

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El desarrollo de esta práctica nos permitió volver a realizar ejercicios de lógica en programación, de los que logramos aclarar dudas ocasionales con respecto a la temática, como el uso del condicional for, while, if-else, ifend.

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Con la ayuda de la guía de laboratorio elaborada por nuestro docente, se logró realizar la práctica correctamente dando una respuesta concreta explicadas en la parte de análisis de resultados.

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La importancia de documentar el proceso de un algoritmo es muy importante al momento de darlo a conocer a otra persona esto hará que la lectura y comprensión del mismo sea más clara y eficaz.

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Se lograron solucionar las ecuaciones con el método de bisección y con el programa propuesto en clase.

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Se pudo ver en la práctica que el desarrollo de este método por medio de cálculos de una persona normal tiene cierto porcentaje de error a comparación de una máquina que hace los cálculos exactos como lo es el sistema operativo de Matlab.

CONCLUSIONES ●

¿Qué dificultades se le presentaron en el desarrollo de la guía? Una vez realizado el ejercicio de forma teórica (a mano), el reto fue pasar estos cálculos al código y la sintaxis con la que trabaja MATLAB.

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REFERENCIAS

Escriba en qué parte de la temática, la práctica le permitió aclarar las dudas que se le presentaron en el salón de clase.

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Realmente no aclaramos dudas ya que no habían dudas, pero si pudimos

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MathWorks(2020, Agosto 3) Descripcion del producto Matlab [Online] Available: https://es.mathworks.com/help/matlab/learn_ma tlab/product-description.html

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MathWorks(2020) Algoritmos de programación [Online] Available: https://la.mathworks.com/help/optim/ug/linearprogramming-algorithms.html?s_tid=srchtitle Hack.mx(2020) Bucle While en C++ [Online] Available:https://ehack.info/bucle-while-en-c/ María Raffino(2020, Agosto 20) Programación [Online] Available:https://concepto.de/programacion/#ixz z6Wjh4p400

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