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UNIVERSIDAD DE ALMERÍA Departamento de Matemáticas Área Matemática Aplicada

Ejemplo: Resolución numérica de Sistema de ecuaciones no lineales con el método de Newton-Raphson

Antonio S. Andújar Rodríguez

2

✬

✩

Halle una solución del sistema: { a partir del punto X

✫

(0)

=

(

1 0

2x + y2 + x2 y2 = 9 x3 − y2 + xy = 5

)

✪

• Resolución con Newton-Raphson directo ( ) ( ) f1 (x, y) 0 Expresamos el sistema en la forma : = 0 f2 (x, y) {

2x + y2 + x2 y2 − 9 = 0 x3 − y2 + xy − 5 = 0

La matriz jacobiana asociada es: J(x, y) =

(

2 + 2xy 2 2y + 2x2 y 3x2 + y −2y + x

)

Dado que las incógnitas están denotadas con distintos caracteres, en este caso, podemos usar los subíndices para marcar el paso que se está realizando y el método de Newton-Raphson para sistemas queda como sigue: (

xm+1 ym+1

)

=

(

)

1 0

−

(

2 2ym + 2x2m ym 2 + 2xm ym 2 +y −2ym + xm 3xm m

)−1 (

2 + x2 y 2 − 9 2xm + ym m m 3 2 xm − ym + xm ym − 5

)

Desarrollamos dos pasos: (

) ) ( )( ) ( ) ( )−1 ( 4.5 −7 1/2 0 1 2 0 −7 = − = − = −6.5 −4 −3/2 1 0 −4 3 1 ( ) ) ( ) ( )−1 ( x2 382.25 −276.25 4.5 −7 = − = −4 −6.5 y2 54.25 17.5 ) ) ( )( ) ( ( 3.5888 −7 0.0008 0.0127 4.5 = − = −4.5109 −4 −0.0025 0.0176 −6.5 x1 y1

)

(

1 0

)

(

Así sucesivamente, hasta que las iteraciones 8 y 9 coinciden: ( ) ) ( ) ( x8 2 x9 = = −1 y9 y8

3 • Resolución con Newton-Raphson modificado No usa inversas de matrices. Al igual que en el apartado anterior podemos usar subíndices al haber pocas incógnitas. ( ) ( ) x0 1 = – En este problema el punto de partida viene dado: 0 y0 – Se define

(

u1 v1

)

:=

– Se resuelve J(x0 , y0 ) (

x1 y1

)

u1 v1

)

(

(

u1 v1

)

= −F (1, 0) =⇒

– Se obtiene

(

x1 y1

J(1, 0)

)

=

(

−

(

x0 y0

)

=

(

x1 y1

)

−

(

1 0

)

= −F (x0 , y0 ) en las incógnitas (

7/2 −13/2

2 0 3 1 )

+

)( (

1 0

u1 v1 )

=

) (

(

7 4

)

4.5 −6.5

)

=

(

=⇒

u1 v1

(

)

u1 v1

:

)

=

(

7/2 −13/2

)

Se sigue el proceso aumentando 1 los índices y resolviendo un nuevo sistema. Así sucesivamente hasta que se cumpla una condición de parada. Los resultados intermedios son los mismos que en el apartado anterior, pero con menos cálculos y, en consecuencia, menor error de redondeo.

4 • Resolución con MATLAB clc syms x y F=[2*x+y.^2+x.^2*y.^2-9, x.^3 - y.^2 + x*y-5]; sol=newtonRSsym(F,[x y],[1 0],10); display(’ ’) display(’ x_k y_k’) display(’ __________________’) display(’ ’) fprintf(’ %9.5f %9.5f \n’,sol)

x_k y_k __________________ 1.0000 0 4.5000 -6.5000 3.5888 -4.5109 2.9170 -3.0643 2.4419 -2.0494 2.1507 -1.3986 2.0258 -1.0805 2.0011 -1.0040 2.0000 -1.0000 2.0000 -1.0000...