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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIAFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA(FCITEC)Unidad Valle de las PalmasManual de Ejercicios de Transferencia de Calor y Masa.Docente: Rodrigo Vivar OcampoElaboro: Zahira Nayen S Cabanillas GarcíaÍndiceIntroducción 31 Proceso de transferencia de mas...

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UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE BAJA CALIFORNIA FACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y TECNOLOGÍA (FCITEC) Unidad Valle de las Palmas

Manual de Ejercicios de Transferencia de Calor y Masa. Docente: Rodrigo Vivar Ocampo Elaboro: Zahira Nayen S Cabanillas García

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Índice Introducción 3 1.El Proceso de transferencia de masa

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1.1 Analogía entre transferencia de masa y la de calor 4 1.2 Transferencia de masa molecular 1.3 El coeficiente de difusión

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1.4 Transferencia de masa por convección

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1.5 La ecuación diferencial para la transferencia de masa 1.6 Ejercicios

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2. Transferencia de masa por difusión molecular14 2.1 Difusión molecular en estado estacionario 2.1.2 Sin reacción química

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2.1.2 Sin reacción química

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2.2 Difusión molecular en estado transitorio 2.3 Ejercicios

16

17

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3. Transferencia de masa por convección

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3.1 Consideraciones y parámetros 19 3.2 Capa límite

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3.3 Analogías: Reynolds, Prandtl, Von Karmán y Chilton-Colburn 4. Transporte de masa interfacial 4.1 Transporte de masa interfacial 4.1.1 Equilibrio 4.1.2 Difusión interfacial: teoría de las dos resistencias 5. Aplicaciones de transporte de masa 5.1 Ecuaciones basadas en resultados experimentales 5.1.1 Placas, cilindros y esferas 5.1.2 Tuberías y columnas de pared mojadas 5.1.3 Lechos empacados y fluidizados 5.2 Cálculos de diseños

Introducción 2

Los fenómenos de transporte son aquellos procesos en los que hay una transferencia neta o transporte de materia, energía o momento lineal en cantidades grandes o microscópicas. En un cambiador de calor, por ejemplo, el calor se transfiere de un fluido caliente a través de la pared de un tubo, a un fluido frio. La absorción incluye la transferencia de masa de una fase gaseosa rica en soluto a una fase liquida pobre en soluto. En el caso de un fluido que fluye a través de una tubería, la cantidad de movimiento se transfiere a través del fluido hacia la pared del tubo. Por lo que podemos definir como transferencia de masa aquella transferencia de un constituyente de una región de alta concentración a baja concentración y en la mayoría de los procesos de transferencia de masa son convectivos. Si se define la cantidad de un producto por unidad de volumen como la concentración del mismo, puede decirse que el flujo de un producto siempre se presenta en la dirección de la concentración decreciente; es decir, desde la región de alta concentración hacia la de baja concentración.

Figura 1. Concentración El producto sencillamente se escurre en el curso de la redistribución y, de este modo, el flujo es un proceso de difusión. La razón del flujo de un producto es proporcional al gradiente de concentración, dC/dx (el cual representa el cambio en la concentración C por unidad de longitud en la dirección x del flujo) y al área A normal a la dirección de ese flujo, y se expresa como: ´ =−k dif A ϱ

dC dx

Aquí, la constante de proporcionalidad k dif es el coeficiente de difusión del medio, el cual es una medida de la rapidez con la que se difunde un producto en ese medio; se tiene también el signo negativo para hacer que el flujo en la dirección positiva sea una cantidad positiva (nótese que dC/dx es una cantidad negativa, ya que la concentración decrece en la dirección del flujo).

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1. El Proceso de transferencia de masa 1.1 Analogía entre transferencia de masa y calor Los mecanismos de trasferencia de masa y calor son análogos entre si y, como consecuencia, puede desarrollarse una comprensión de la transferencia de masa en corto tiempo y con poco esfuerzo, sencillamente al trazar paralelos entre ellas. El establecimiento de esos “puentes” entre las dos áreas, no relacionadas en apariencia, hará posible usar el conocimiento aplicable de transferencia de calor para resolver problemas de transferencia de masa.

Temperatura Transferencia de calor La fuerza impulsora para la transferencia de calor es la diferencia de temperatura. Si no hay diferencia de temperatura entre dos regiones, entonces no existe la transferencia de calor.

Transferencia de masa La fuerza impulsora para la transferencia de masa es la diferencia de concentración. Si no existe diferencia de entre concentraciones de una especie en regiones diferentes de un medio, no habrá transferencia de masa Conducción Transferencia de calor Transferencia de masa Ley de Fourier de la conducción del calor Ley de Fick de la difusión d CA ´ =−kA dT ϱ ´ dif =−D AB A m dx dx k= conductividad térmica del medio D AB = coeficiente de difusión de la A= área normal a la dirección de especie en la mezcla transferencia de calor C A = concentración de esa especie en la mezcla en ese lugar Convección Transferencia de calor Transferencia de masa Convección de calor Convección de masa ϱ´ conv =hconv A s ( T s−T ∞ )

´ conv =hmasa (C s−C ∞) m

hconv = Coeficiente de transferencia de calor A= área superficial T s−T ∞ = diferencia de temperatura de uno a otro lado de la capa límite térmica

hmasa = coeficiente de transferencia de masa C s−C ∞ = diferencia de concentración de uno a otro lado de la capa límite de concentración

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1.2 Transferencia de masa molecular En el año de 1815 Parrot observó, cuantitativamente que cuando una mezcla de gases contiene dos o más especies moleculares cuyas concentraciones relativas varían de un punto a otro, resulta un proceso, aparentemente natural, que tiende a disminuir cualesquiera desigualdades de composición. Esta transferencia macroscópica de masa, independiente de cualquier convección que se lleve a cabo dentro del sistema, se define con el nombre de difusión molecular. Las leyes de transferencia de masa ponen de manifiesto la relación entre el flujo de la sustancia que se está difundiendo y el gradiente de concentración responsable de esta transferencia de masa. Desafortunadamente, la descripción cuantitativa de la difusión molecular es considerablemente más compleja que las descripciones análogas correspondientes a la transferencia molecular de momento y energía que tienen lugar en una fase de una componente. Concentración de masa. La concentración de masa ρA, correspondiente a la especie A, se define como la masa de A por unidad de volumen de la mezcla. La concentración total de masa o densidad, ρ, es la masa total de la mezcla contenida en la unidad de volumen, esto es: n

ρ=∑ ρi i=1

Donde n es el número de especies presentes en la mezcla. Fracción másica La fracción de masa total de masa: ωA =

ρA n

∑ ρi

=

ω A , es la concentración de la especie A, divida entre la densidad

ρA ρ

i

Por definición, la suma de las fracciones de masa, debe ser uno. n

ω i=1 ∑ i=1 Concentración molar La concentración molar de la especie A, C A , se define como el número de moles de A, presentes por unidad de volumen de la mezcla. Por definición, un mol de cualquier especie 5

contiene una masa equivalente a su peso molecular. Los términos de la concentración de masa y de la concentración molar están relacionados por medio de la siguiente expresión: CA=

ρA MA

Donde M A

es el peso molecular de la especie A.

Cuando se está tratando con una fase gaseosa, a menudo, las concentraciones se expresan en términos de las presiones parciales. Bajo las condiciones en las cuales es válida la ley de los gases ideales, P A V =n A RT , la concentración molar es: CA=

nA PA = V RT

donde P A es la presión parcial de la especie A en la mezcla, n A es el número de moles de la especie A, V es el volumen de gas, T es la temperatura absoluta y R es la constante del gas. La concentración molar total, c, es el número total de moles de la mezcla, contenidos en la unidad de volumen, esto es: n

c=∑ ci i=1

Fracción molar La fracción molar correspondiente a las mezclas de líquidos o sólidos, x A , y la correspondiente a mezclas gaseosas, γ A , son las concentraciones molares de la especie A divididas entre la densidad molar total. x A=

CA C

(Líquidos y sólidos)

y A=

CA C

(gases)

Cuando una mezcla obedece la ley de los gases ideales, la fracción molar, escribir en función de las presiones: γ A=

γ A , se puede

C A P A / RT P A = = P C P /RT

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1.3 El coeficiente de difusión Velocidades de transporte de materia En un sistema de componentes múltiples, las diferentes especies se moverán de manera normal a diferentes velocidades; por lo tanto, para evaluar la velocidad de la mezcla de gases, se necesitan promediar las velocidades de cada una de las especies presentes. La velocidad promedio o media de la masa correspondiente a una mezcla de componentes múltiples se define en función de las densidades y velocidades de la masa, de todas las componentes, en la forma: n

n

∑ ρi vi ∑ ρi v i v = i=1n

∑ ρi

= i=1

ρ

i=1

donde v i denota la velocidad absoluta de la especie i con relación a ejes estacionarios de coordenadas. La velocidad molar media o promedio de una mezcla de componentes múltiples, se define en función de las concentraciones molares de todas las componentes, por medio de la expresión: n

n

∑ ci vi V=

i=1 n

∑ ci

=

c i vi ∑ i=1 c

i=1

La velocidad de una especie particular con relación a la masa promedio o velocidad molar media se llama velocidad de difusión. Se pueden definir dos velocidades diferentes de difusión: v i−v , que es la velocidad de difusión de la especie i con la relación a la velocidad media de la masa y v i−V , que es la velocidad de difusión de la especie i con relación a la velocidad molar media. Flujos El flujo de masa (o molar) de una especie dada es una cantidad vectorial que denota la cantidad de la especie particular, ya sea en unidades de masa o molares, que pasa en un incremento dado de tiempo a través de un área unitaria normal al vector.

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La relación básica correspondiente a la difusión molecular define el flujo molar relativo a la velocidad molar media, J a ⋅ Fick* fue quien primero postuló una relación empírica para este flujo molar y, por lo tanto, se le llama primera ley de Fick. Esta define la componente A de la difusión en un sistema isotérmico e isobárico. Si la difusión se lleva a cabo únicamente en la dirección de z, la ecuación de Fick de la rapidez es: J A , z =− D AB

dc A dz

donde

J A, z es el flujo molar en la dirección de z relativa a la velocidad molar dc A es el gradiente de la concentración en la dirección de z y D AB el promedio, dz factor de proporcionalidad, es la difusividad de la masa o coeficiente de difusión correspondiente a una componente A que se difunde a través de la componente B.

Groot* propuso una relación más general de flujo que no está restringida a sistemas isotérmicos o isobáricos. J A =−c D AB

dy A dz

Una expresión equivalente, que corresponde a J A . z , que es el flujo de masa en la dirección de z, relativo a la velocidad promedio de la masa, es: j A , z=−ρ D AB

d ωΑ dz

donde d ωa /dz es el gradiente de concentración en función de la fracción de masa. Cuando la densidad es constante, esta relación se simplifica, quedando así: j A , z=−D AB

d ρA dz

En un sistema binario con una velocidad media constante en la dirección de z, el flujo molar en la dirección de z , relativo a la velocidad molar media también se puede expresar de la manera siguiente: J A , z =c A ( v A , z −V 2) Si se igualan las expresiones, se obtiene: J A , z =c A (v a ,z −V z ) =−c D AB

d yA dz

Lo cual, después de reordenarlos queda: c A v A , z=−c D AB

d yA +c A V z dz 8

Como las velocidades componentes, v A , z y v B , z , son velocidades relativas al eje fijo z , las cantidades C A , V A , z y C B v B ,z , son flujos de las componentes A y B con relación al eje fijo de coordenadas, z. Así se simboliza este tipo de flujo, relativo a un conjunto de ejes estacionarios, por medio de: N A =c A v A

y N B =c B v B

Figura 2. Formas equivalentes de la ecuación de flujo de masa correspondiente al sistema A y B. El potencial químico de una componente en una solución ideal homogénea a temperatura y presión constantes, se define por medio de: μ=μ 0+RTln c A donde μ0

es una constante: el potencial químico del estado estándar. Cuando se sustituye −D AB d μc , se obtiene la ecuación de esta relación en la ecuación J A , z =c A (v A , z−V z )= RT dz Fick de la rapidez correspondiente a una fase homogénea:

J A , z =− D AB

d cA dz

Coeficiente de difusión

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La constante de proporcionalidad en la ley de Fick se define como otra propiedad de transporte conocida como el coeficiente de difusión binaria o difusividad de la masa, D AB. La unidad de la difusividad de masa es m2/s, la cual es la misma que las unidades de la difusividad térmica o la difusividad de la cantidad de movimiento (también conocida como viscosidad cinemática). La teoría cinética de los gases indica que el coeficiente de difusión para los gases diluidos, a presiones ordinarias, es en esencia independiente de la composición de la mezcla y tiende a crecer con la temperatura al mismo tiempo que a decrecer con la presión según: D AB ∞

T 3 /2 P

o

( )

D AB ,1 P2 T 1 = D AB ,2 P1 T 2

3/2

Difusividad de la masa gaseosa Las expresiones teóricas correspondientes al coeficiente de difusión en las mezclas gaseosas de baja densidad, en función de las propiedades moleculares del sistema, fueron obtenidas por Jeans, Chapman y Sutherland usando la teoría cinética de los gases. Si se especifica que el gas es estático o que fluye en forma laminar en la dirección de x, se puede considerar que la transferencia de masa de la especie A en la dirección de y se lleva a cabo solamente a escala molecular. Si se aplica la ecuación: ❑

∬ ρ( v ⋅ n ) dA=0 c.s

Ecuaciones obtenidas de la teoría cinética de los gases de baja densidad:

√

8 kT ´ C= πm

λ=

(Velocidad molecular fortuita media) 1 √ 2 π d2 N

(Paso medio libre)

1 Z = NC (Frecuencia con la que llegara la molécula al área) 4 Las versiones modernas de la teoría cinética han intentado tomar en cuenta las fuerzas de atracción y repulsión existentes entre las moléculas. Hirschfelder, Bird y Spotz, utilizando el potencial de Lennard Jones para evaluar la influencia de las fuerzas intermoleculares, encontraron una ecuación adecuada al coeficiente de difusión correspondiente a parejas gaseosas de moléculas no polares y no reactivas. 1 1 1/ 2 ¿ + M A MB ¿ 3 2

0.001858 T ¿ D AB=¿ 10

Donde DAB es la difusividad de la masa de A, que se difunde a través de B, en (cm)2/seg., T es la temperatura absoluta en K; MA, MB son los pesos moleculares de A y B, respectivamente; P es la presión absoluta en atmosferas; σAB es el “diámetro de colisión”, que es un parámetro de Lennard-Jones en Angstroms; ΩD es la integral de colisión correspondiente a la difusión molecular, que es una función adimensional de la temperatura y del campo potencial intermolecular correspondiente a una molécula de A y una de B. Para un sistema binario compuesto de parejas moleculares no polares, se pueden combinar los parámetros de Lennar-Jones de la componente pura, empíricamente, por medio de las siguientes relaciones: σ AB =

σ A+ σB 2

Y ϵ AB =√ϵ A ϵ B Difusividad de la masa liquida En el concepto de Eyring el líquido ideal se trata como un modelo de capas casi cristalinas inter espaciadas con hoyos. Entonces se describe el fenómeno de transferencia por medio de un proceso que incluye el salto de las moléculas de soluto en los hoyos del modelo de capas. Estos saltos se relacionan empíricamente con la teoría de Eyring de rapidez de reacción*. La teoría hidrodinámica establece que el coeficiente de difusión de los líquidos se relaciona con la movilidad de las moléculas de soluto; esto es, con la velocidad neta de la molécula mientras ésta se encuentra bajo la influencia de una fuerza motriz unitaria. Las leyes de la hidrodinámica establecen relaciones entre la fuerza y la velocidad. Una de las ecuaciones desarrolladas a partir de la teoría hidrodinámica es la ecuación de StokesEinstein: D AB=

kT 6 πr μ B

Wilke y Chang propusieron la siguiente correlación, que es la mejor de que se dispone para los no electrólitos en una solución diluida: 1/ 2

ΦB M B ¿ ¿ 7.4 x 10−8 ¿ D AB μ B =¿ T donde DAB es la difusividad de la masa de A que se difunde en el solvente líquido B en cm2/seg, μB es la viscosidad de la solución, en centipoises; T es la temperatura absoluta, en K, M B es el peso molecular del solvente; V B es el volumen molar del soluto en el punto normal de ebullición, en cm3/g mol y ΦB es el parámetro de "asociación" correspondiente al solvente B. 11

Difusividad de la masa sólida En cualquier estudio del movimiento molecular en el estado sólido, la explicación de la transferencia de masa se divide automáticamente en dos campos mayores de interés, la difusión de los gases o líquidos en los poros del sólido y la interdifusión de los constituyentes sólidos por medio del movimiento atómico. La difusión en los poros se puede llevar a cabo por medio de tres o más mecanismos: difusión de Fick, difusión de Knudsen y difusión superficial. Si los poros son grandes y el gas relativamente denso, la transferencia de masa se llevará a cabo por medio de una difusión de Fick. Dentro del catalizador, las trayectorias de difusión son como canales de forma irregular; por lo tanto, el flujo es menor de lo que sería en poros uniformes de la misma longitud y radio promedio. El flujo de masa se describe en función del coeficiente "efectivo" de difusión, por medio de la ecuación: J A =−c D A ,eff ∇y A

La magnitud del coeficiente depende de las variables que influyan en la fase de difusión, tales como la temperatura y la presión, así como de las propiedades del catalizador, tales como espacio fraccional vacío, θ , un factor angular de longitud, L y un factor de forma S, D A, cff =

D D AB = AB 2 L´ S ´ τ θ

θ

donde τ es la tortuosidad, o sea, un factor que describe la relación entre la longitud real de la trayectoria y la longitud nominal del medio poroso. Satterfield encontró valores experimentales correspondientes a: θ , τ y DA , ef. La difusión de Knudsen ocurre cuando el tamaño de los poros es del orden del de la trayectoria media libre de la molécula en difusión. Se ha encontrado una relación que describe la difusión de Knudsen y su coeficiente de difusión, usando la teoría cinética de los gases. N A=

D k , eff D ( c A 1−c A 2 ) = k ,eff (P A 1−P A 2) x0 RT x 0

Y D k ,eff =

√

19400θ 2 T M τS ´ ρ

donde x0 es la longitud de la trayectoria de difusión, p es la densidad de la partícula catalizadora y M el peso molecular del gas en difusión. 1.4 Transferencia convectiva de masa La transferencia de masa debida a la convección consiste en la transferencia entre un fluido en movimiento y una superficie o entre dos fluidos en movimiento, relativamente no

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miscibles. Este modo de transferencia depende, tanto en las propiedades de transferencia como de las características dinámicas del fluido que está fluyendo. Cuando una bomba u otro aparato semejante ocasionan el movim...