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APPUNTI SECONDA PARTE DI MATE FIN: MATE ATTUARIALE...

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MATEMATICA ATTUARIALE – ORALE MATEMATICA ATTUARIALE: si occupa dello studio delle assicurazioni. ASSICURAZIONE: contratto col qula el’assicuratore, verso pagamento di un premio, si obbliga a rilevare l’assicurato, entro i limiti convenuti, del danno ad esso prodotto da un sinistro, ovvero a pagare un capitale o una rendita la verificarsi di un evento attinente alla vita umana. Tipologie:  Assicurazioni libere contro i danni (alle persone e alle cose);  Assicurazioni libere sulla vita;  Assicurazioni obbligatorie (contro infortuni, di previdenza sociale). ASPETTI FINANZIARI: contratto, tra due soggetti, in cui i flussi di cassa in istanti diversi da oggi sono condizionati al verificarsi di eventi specificati alla stipula del contratto (≠ matematica finanziaria dove i flussi avvengono con certezza). L’incertezza può essere legata a:  Danni a ocse o persone (assicurazioni danni);  Vita o morte dell’assicurato (assicurazioni libere sulla vita). SOGGETTI COINVOLTI (NB: spesso il contraente è l’assicurato, e talora pure il beneficario)    

ASSICURATORE: soggetto che si impegna a corrispondere le somme concordate al verificarsi di determinati eventi di vita o di morte. ASSICURATO: persona la cui esistenza in vita o la cui morte costituisce l’evento determinate le prestazioni dovute all’assicuratore. BENEFICARIO: persona che ha il diritto di godere delle prestazioni suddette. CONTRAENTE: è la persona che si assume l’impegno di pagare i premi.

PREMI ASSICURATIVI: somma pagata dal contraente all’assicuratore in cambio di prestazioni legate a eventi prefissati nel contratto (premio equo). Può essere:  Unico, se pagato interamente alla stipula del contratto;  Periodico, se pagato in più rate. Il premio si dice:  Equo quando viene calcolato ponendo la condizione che vi sia perfetta equivalenza tra le prestazioni delle due parti;  Puro quando include i margini di rischio;  Caricato o di tariffa se tiene conto anche delle spese sostenute e del guadagno che l’assicuratore intende realizzare. FUNZIONE DI SOPRAVVIVENZA: si consideri una collettività chiusa, ossia un insieme di individui che hanno in comune la proprietà di “essere nati nello stesso anno e avere condizioni di vite omogenee” (non consideruamo nascite o flussi migratori). La collettività diminuisce nel tempo solo e unicamente a causa dei decessi. Supponiamo di seguire l’evoluzione della collettività nel tempo dalla nascita fino all’età estrema w (w = 100 o 105), età in cui la collettività è estinta. Definiamo la funzione di sopravvivenza: lx : [0, w] → N che associa a ogni età x il numero di individui viventi a quell’età, con unca comunità chiusa di 100.000 individui (l0 = 100.000). La funzione è monotona non crescente (lx ≥ lx+1 ∀x ∈ [0, w]).

Le tavole demografiche riportano i valori della funzione di sopravvivenza relativa a una data collettività ∀x ∈ [0, w]. COSTRUZIONE DELLE TAVOLE DI MORTALITÀ Costituite sui dati dell’ultimo censimento 1. Stima della probabilità di morte q a ogni età x:

2. Calcolo iterativo della funzione di sopravvivenza sulla base di una numerosità iniziale di 100.000 individui:

RICERCA DEL TASSO Ricordiamo che V0 = R(v + v2 + … + vn) = R(1 – vn / i) Costruiamo la funzione f(i) = Ran|i – V

i≠0

PROBABILITÀ DI VITA E DI MORTE Supponiamo che il numero di individui appartenenti alla collettività sia omogeneo e numeroso e ricaviamo le probabilità di eventi legatu alla vita dell’assicurato. 1. Tasso annuo di sopravvivenza: probabilità di vita per un ulteriore anno, ottenuto dal rapporto tra il numero delle persone vive all’età x+1 e il numrero di viventi all’età x.

2. Tasso annuo di mortalita: probabilità di morte a un anno, tra x e x+1, ottenuto dal rapporto tra il numero delle persone morte tra l’età x e x+1 e il numero di persone vive all’età x

Vale la relazione qx + px = 1 (ovvero, un individuo o muore entro l’anno, o sopravvive, non ho altre opzioni quindi il totale è pari al 100%). 3. La probabilità di vivere ancora n anni: (si legge p con x differito n) si ottiene come il rapporto tra il numero di persone vive all’età x + n, e quello di persone vive all’età x

4. La probabilità di morire entro i prossimi n anni: (si legge q con x temporaneo n) si ottiene come il rapporto tra il numero di morti tra l’età x e x + n e quello dei viventi all’età x

5. La probabilità di morire tra l’età x + m e x + m + n: (si legge q con x temporaneo n differito m) si ottiene come il rapporto tra il numero di morti tra l’età x + m e x + m + n e quello dei viventi all’età x

6. La probabilità di morire on età compresa tra x + m e x + m +1, ossia esattamente nel (x + m)-esimo anno di vita, (si legge q con x differito m) si ottiene come il rapporto tra il numero di morti tra l’età x + m e x + m +1 e quello dei viventi all’età x

RICERCA DEL TASSO Ricordiamo che V0 = R(v +v2 + … + vn) = R(1 – vn / i) Costruiamo la funzione f(i) = Ran|i – V

i≠0

VITA MEDIA RESIDUA: media del numero di ulteriori anni che vivranno gli individui di una collettività avrnti età x. Si indica con ex. Può essere calcolata considerano che un individuo di età x può vivere ancora:  Un anno con probabilità 0/1q x (la probabilità di morte tra x e x+1);  Due anni con probabilità 1/1q x (la probabilità di morte tra x + 1 e x +2);  j + 1 anni con probabilità j/1q x (la probabilità di morte tra x + j e x + j +1);  w – x anni con probabilità w-x-1/1q x (la probabilità di morte tra w – 1 e w). Possiamo vedere il numero di anni di vita residua di un individuo di età x come una variabile casuale discreta Y e quindi la vita media è il suo valore atteso.

VITA MEDIA RESIDUA COMPLETA Realisticamente, le morti si distribuiscono in modo uniforme nell’anno e quindi possiamo ipotizzare che mediamente avvengano a meta di ogni anno. In questo caso si parla di vita media completa. Modificando l’esempio precedente abbiamo quindi:  Sei mesi con probabilità 0/1q x (la probabilità di morte tra x e x + 1);  1,5 anni con probabilità 1/1q x (la probabilità di morte tra x + 1 e x +2);  j + 0,5 anni con probabilità j/1q x (la probabilità di morte tra x + j e x + j + 1);  w – x – 0,5 anni con probabilità w-x-1/1q x (la probabilità di morire tra w – 1 e w).

Possiamo vedere il numero di anni di vita residua di un individuo di età x con una variabile casuale dicreta Y e quindi la vita media è il suo valore atteso.

VITA PROBABILE: vita probabile di una testa x, il numero n di anni che devono passare affinchè un numero iniziale di individui di età x si dimezzi. Essa è quindi il numero di n anni che soddisfa l’equazione: Quindi la vita probabile di una testa x rappresenta il numero di n anni che devono passare perché la sua probabilità di essere in vita all’età x + n valga 0,5. VALORE ATTUALE ATTUARIALE (V.A.A.): si valuta considerando una variabile aleatoria discreta X che assume valore S con probabilità p tra n anni, e il valore zero con probabilità 1 – p:

Calcoliamo il valore attuale come il valore atteso E [X] (ossia come la media aritmetica delle possibili realizzazioni pesate con le rispettive probabilità), attualizzata di n anni:

NB: si usa solo in ambito assicurativo, ma anche in tutti i problemi in cui vi è un’incertezza sull’esigibilità delle somme. VALUTAZIONE DI POLIZZE ASSICURATIVE - PRINCIPIO DI EQUITÀ FINANZIARIA: il valore dei premi pagati dal contraente devono coincidere con il valore attuariale delle prestazioni dell’assicuratore.

VALUTAZIONE DI POLIZZE ASSICURATIVE - BASI TECNICHE

Per la valutazione dei contratti assicurativi è necessario fissare delle basi tecniche, facendo le seguenti ipotesi:  Ipotesi demografica: la probabilità di vita e di morte degli assicurativ è conforme a una tavola di mortalità opportunatamente scelta;  Ipotesi finanziaria: i premi versati sono capitalizzati utilizzando un tasso tecnico i in capitalizzazione composta. Assumiamo infine che l’istante di stipulazione del contratto sia sempre l’epoca zero, e usiamo l’anno come unità di misura del tempo. ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA CASO VITA: contratti in cui l’assicuratore si impegna a pagare una singola somma o una rendita all’assicuratore se in vita, nel rispetto dei termini contrattuali specificati dalle diverse polizze.  Assicurazioni a capitale differito;  Assicutazionio di rendita vitalizia. ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA A CAPITALE DIFFERITO: l’assicuratore si impegna a pagare una somma (unitaria) al beneficario, al termine di un certo numero convenuto di anni, a condizione che l’assicurato sia allora in vita.

Per l’equità finanziaria, il premio U è pari al valore attuale attuariale di un euro esigibile tra n anni con la probabilità npx. Indicheremo tale valore con:

Chiamiamo nEx “Fattore di sconto attuariale” (si legge E con x differito n). ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA A CAPITALE DIFFERITO Al fine di semplificare il calcolo dei premi, introduciamo dei simboli di commutazione (riportati nelle tavole di mortalità). Il primo studiato è:

Riscriviamo quindi il v.a.a. delle prestazioni dell’assicuratore come:

Il premio puro e unico pertanto può essere scritto come:

Le formule precedenti consideravano l’assicurazione di un capitale unitario. Per valutare il premio di un’assicurazione di un capitale S, è sufficiente moltiplicare per S il premio unitario:

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA – RENDITE VITALIZIE: contratti in cui l’assicuratore si impegna a pagare più rate esigibili periodicamente solo se, alle relative scadenze, l’assicurato è ancora in vita.

Distinguiamo tre rendite vitalizie: 1. Anticipate e posticipate; 2. Immediate o differite; 3. Temporanee o a vita intera.

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA RENDITA VITALIZA A VITA INTERA IMMEDIATA (POSTICIPATA) Quanto deve pagare un individuo di età x per ricevere posticitamente un euro fino a che sarà in vita?

Il valore attuale attuariale delle prestazioni dell’assicuratore è dato dalla somma dei valori attuali delle singole prestazioni, pesate come le rispettive probabilità.

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA RENDITA VITALIZA A VITA INTERA IMMEDIATA (ANTICIPATA) Quanto deve pagare un individuo di età x per ricevere anticipatamente un euro fino a che sarà in vita?

Il valore attuale attuariale delle prestazioni dell’assicuratore è dato dalla somma dei valori attuali delle singole prestazioni, pesate con le rispettive probabilità.

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA RENDITA VITALIZIA A VITA INTERA DIFFERITA (POSTICIPATA)

Quando deve pagare un individuo di età x per ricevere posticipatamente un euro fino a che sarà in vita a partire da x + m (il primo pagamento sarà in x + m + 1)?

Il premio unico che un individuo di età x deve pagare per garantirsi un’entrata unitaria posticipata fino a che è in vita è:

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA RENDITA VITALIZIA A VITA INTERA DIFFERITA (ANTICIPATA) Quanto deve pagare un individuo di età x per ricevere anticipatamente un euro fino a che sarà in vita a partire da x + m (il primo pagamento sarà in x + m)?

Il premio unico che un individuo di età x deve pagare per garantiris un’entrata unitaria posticipata fino a che è in vita è:

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA RENDITA VITALIZIA TEMPORANEA IMMEDIATA (POSTICIPATA) Quanto deve pagare un individuo di età x per ricevere posticipatamente un euro per n anni (il primo pagamento sarà in x + 1), se in vita?

Possiamo determinare le prestazioni dell’assicuratore semplicemente come tra due rendite vitaliziei posticipate a vita intera, la prima immediata e la seconda differita di n anni, ossia per la durata della rendita in esame.

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA RENDITA VITALIZIA TEMPORANEA IMMEDIATA (ANTICIPATA) Quanto deve pagare un individuo di età x per ricevere anticipatamente un euro x per n anni (il primo pagamento sarà in x), se in vita?

Possiamo determinare le prestazioni dell’assicuratore semplicemente come differenza tra due rendite vitalizie posticipate a vita intera, la prima immediata e la seconda differita di n anni, ossia per la durata della rendita in esame.

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA RENDITA VITALIZIA TEMPORANEA DIFFERITA (POSTICIPATA) Quanto deve pagare un individuo di età x per ricevere posticipatamente un euro tra m per n anni (il primo pagamento sarà in x + m + 1 e l’ultimo in x + m +n), se in vita?

Possiamo determinare le prestazioni dell’assicuratore semplicemente come differenza tra due rendite vitalizie posticipate a vita intera, la prima immediata e la seconda differita di n anni, ossia per la durata della rendita in esame.

Assicurazioni libere sulla vita caso vita – Tabella riassuntiva premi puri e unici

ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA – ASSICURAZIONI CASO MORTE: l’assicuratore si impegna a pagare una somma al beneficario alla morte dell’assicurato nei termini contrattuali specificati dalle diverse polizze. Distinguiamo tra assicurazioni caso morte:  Immediate o differite;  Temporanee o a vita intera. Distinguiamo inoltre tra assicurazioni dove il capitale è èagato alla fine dell’anno della morte e assicurazioni che pagano alla data della morte. ASSICURAZIONI LIBERE SULLA VITA ELEMENTARE IN CASO MORTE: una persona di età x assicura ai propri eredi 1 euro alla fine dell’anno della propria morte, purchè questa avvenga tra x + n e x + n +1.

Determiniamo il valore del premio come v.a.a. di 1 euro riscuotibile con probabilità n/1qx. Inserendo il simbolo di communtazione Cx = dxvx+1 abbiamo:

ASSICURAZIONI CASO MORTE A VITA INTERIA IMMEDIATA: l’assicuratore si impegna a pagare una somma al beneficiario, alla fine dell’anno di decesso dell’assicurato, in qualunque anno questo avvenga, contro il pagamento di un premio unico puro.

Anche in questo caso scindiamo il contratto in w -x contratti elementari. Abbiamo:

Dove Mx è un simbolo di commutazione definito

come:

ALTRE ASSICURAZIONI SULLA VITA CASO MORTE Analogamente al caso vita, possiamo costruire assicurazioni caratterizzate da differimenti e temporaneità. Il calcolo del premio puro unico è analogo a quanto visto per le polizze viste finora. 

Assicurazione di morte a vita intera differita di m



Assicurazione di morte immediata temporanea per n anni:



Assicurazione temporanea di n anni e differita di m anni:

anni:

NB: queste formule sono valide sse l’assicurazione paga al termine dell’anno della morte. ASSICURAZIONI CON CAPITALE PAGATO ALLA DATA DELLA MORTE Le formule precedenti assumono che il pagamento avvenga alla fine dell’anno della morte. Più realisticamente il pagamento avviene all’atto della morte. Assumiamo che i decessi avvengano uniformemente, e quindi in media a metà anno. In caso di assicurazione sulla morte elementare il v.a.a. delle prestazioni dell’assicuratore è pari a:

In generale, nel caso in cui i capitali assicurati fossero pagati all’atto della morte vale che i premi devono essere aggiustati attraverso il fattore moltiplicativo (1 + i)0,5:    

(vita intera); (differita m); (temporanea n); (differita m, temporanea n).

Assicurazioni libere sulla vita caso morte tabella riassuntiva premi unici e puri

ASSICURAZIONI MISTE: è una combinazione delle assicurazioni presentate finora. Esempio: l’assicurazione si impegna a pagare un determinato capitale S al beneficario alla fine dell’anno di morte, se il decesso avverrà entro un periodo convenuto di n anni (premorienza), oppure di pagare il capitale all’assicurato stesso, se egli sarà in vita alla fine degli n anni. Il premio unico puro è dato dalla somma dei rispettivi premi unici puri:

PREMI PERIODICI: anziché pagare un premio unico U, le compagnie di assicurazioni spesso concendono di pagare il premio mediante h versamenti P (che supponiamo costanti) a scadenze prefissate. 1. Il pagamento dei premi deve terminare prima che abbiano inizio le prestazioni della compagnia di assicurazioni; 2. Il primo premio è pagato subito; 3. Il pagamento di ogni premio periodico avviene solo se il contraente è in vita, pertanto la successione dei primi costituisce, per l’assicurazione, una rendita anticipata subordinata alla sopravvivenza del contraente; 4. Pagare U deve essere equivalente a pagare i premi frazionati. Valutiamo l’importo dei premi periodici usando il principio di equità finanziaria. In particolare, uguagliamo il v.a.a. delle prestazioni dell’assicuratore al v.a.a. dei premi periodici pagati dal contraente.

Esempio (h ≤ n) Consideriamo un’assicurazione a capitale S differito con premio annuo P pagabile per il periodo di differimento. Il valore attuale attuariale degli impegni dell’assicurazione è S x nEx, e il relativo premio puro unico è: U = S x nEx Il contraente ha la facoltà di rateizzare i pagamenti in n rate annue di importo P a condizione che il valore attuale attuariale degli imoegni del contraente sia uguale al premio unico puro, ossia U = P x /näx Eguagliando le prestazioni delle due controparti abbiamo: S x nEx = P x /näx

Esempio 1 Consideriamo un’assicurazione di morte a vita intera con premio annuo vitalizio. Il contraente paga finchè è in vita un premio annuo P alla fine dell’anno della sua morte e gli eredi beneficeranno di una somma di S euro. 

Il v.a.a. degli impegni dell’assicurazione

è:



Il v.a.a. degli impegni del contraente è:



Il v.a.a. degli impegni del contraente è:



Eguagliano il v.a.a. delle due controparti e risolvendo per P abbiamo:

PREMI CARICATI E DI TARIFFA: i premi puri permetto di far fronte agli impegni dell’assicuratore (a patto che le ipotesi demografico-finanziarie siano rispettate). Non coprono però le spese operative e il profitto per l’assicuratore. Sono pertanto previsti caricamenti, applicabili secondo due metodologie: 1. Caricamento implicito: viene fissato un tasso tecnico inferiore a quello che è il tasso ordinario di un impiego del denaro. Ne risulta una stima superiore del v.a.a. e quindi un aumento del premio unico. Vengono utilizzate opportune tavole demografiche relative a collettività selezionate; 2. Caricamento esplicito: attraverso il caricamento dei premi puri per la determinazione del premio di tariffa di diverse tipologie di spesa. CARICAMENTI ESPLICITI Le spese incotrate possono essere classificate in: 1. Spese iniziali α , proporzionali al premio caricato; 2. Spese d’incasso β , proporzionali al premio caricato; 3. Spese di gestione γ , proporzionali al capitale C. Le prime due: pagate per l’avvio della polizza, l’ultima applicata su tutta la durata del contratto. Supponendo che le spese di gestione siano caricate annualmente per la durata n del contratto, il loro v.a.a. sarà pari a γ x C x /näx. Valutiamo pertanto il premio caricato U’:

Risolvendo per U’ abbiamo: NB: il premio resta unico, la componente contratto.

γ

x C x /näx copre le spese di gestione per tutti gli anni del

CARICAMENTI ESPLICITI DI DURATA ILLIMITATA Per contratti di durata illimitata (polizze a vita intera), la componente legata alle spese di gestione è calcolata come una rendita vitalizia a vita intera: γ x C x äx

Il premio caricato sarà quindi ottenuto come segue RISERVA MATEMATICA: importo che deve essere accantonato dalla compagnia assicurativa per far fronte agli obblichi futuri assunti verso gli assicurati. Indichiamo con kVx la riserva matematica per un contratto di durata n anni stipulato su una testa x, calcolata k anni dopo la stipula, con 0 ≤ k ≥ n. Rappresenta l’ammontare del debito che grava sull’assicuratore e può essere calcolata come la differenza tra il v.a.a. degli impegni futuri dell’assicurazione e il v.a.a. degli eventuali impegni del contraente. Nel caso l’evento assicurato si è verificato, la riserva viene valutata sulla somma certa eventualmen...