Matemáticas Discretas Reto 6 L9 infografia PDF

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Relaciones y operaciones con relaciones Antes de empezar con este tema, es pertinente recordar el concepto de conjuntos y elementos:

A veces ocurre que algunos elementos de los conjuntos están en una relación dada con otros elementos. Por ejemplo, existe una relación de los números 1 y 2, ya que uno sigue al otro. Las relaciones entre dos o más conjuntos son frecuentes en las matemáticas debido al orden y divisibilidad de los números. También la informática agrupa los datos de entrada a los programas, de esta manera se detectan los posibles errores de programación.

Como lo dice su nombre, en un par ordenado el orden sí importa. Por lo que (1, 0) es diferente a (0, 1). Las relaciones son comparaciones entre dos elementos de un conjunto y se representan usando pares ordenados, donde el primer elemento se relaciona con el segundo elemento.

Para comenzar a hablar de relaciones necesitamos conocer que estas tienen un orden o una dirección. A este orden se le conoce como par ordenado. Un par ordenado es una pareja de elementos, en la que se distingue el primer elemento a del segundo elemento b.

Se escriben entre paréntesis y separados por una coma:

(a,b)

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Relaciones y operaciones con relaciones Para representar una relación entre el elemento a y el elemento b, se hace de la siguiente forma: aRb se lee así: a está relacionado con b.

R={(1,2),(2,4),(3,6)} Las relaciones se representan letras mayúsculas R, S, T, U.

Concepto clave Producto cartesiano Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano es el conjunto formado por todos los pares ordenados, donde el primer componente del par es un elemento de A y el segundo componente del par es un elemento de B. Se representa como: AxB Ejemplo: A = { 1, 2, 3 } B = { 2, 4, 6 }

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Relaciones y operaciones con relaciones A x B = {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6)}

El producto cartesiano no es una operación conmutativa, es decir, no se puede cambiar el orden de las proposiciones sin alterar el resultado.

AxB

BxA

Concepto clave Cardinalidad de una relación Es el número de pares ordenados que forman una relación.

Si tomamos como ejemplo el producto cartesiano anterior, tenemos que su cardinalidad es:

|R|=9

Operaciones con relaciones Al igual que con las operaciones con conjuntos, también se pueden realizar operaciones con relaciones, solo que estas darán como resultado conjuntos de pares ordenados. Las operaciones más importantes con relaciones son: Unión de relaciones Intersección de relaciones Diferencia de relaciones Complemento de relaciones

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Relaciones y operaciones con relaciones

Unión de relaciones Es la relación formada por los todos los pares ordenados de ambas relaciones R y S, sin repetir pares ordenados.

De manera gráfica:

Se representa como:

De manera formal:

Sean los conjuntos A = {0, 1, 2} y B = {a, e, i} y R y S dos relaciones del conjunto A con el conjunto B definidas como: R = {(0, a), (0, e), (1, i)} S = {(0, e), (0, i)} Obtener R S Solución: R = {(0, a), (0, e), (1, i)} S = {(0, e), (0, i)} Los pares ordenados de ambas relaciones se juntan y son (0, a), (0, e) (1, i), (0, e), (0, i), pero se repite (0, e), entonces no lo pondremos. Por lo tanto, R S = {(0, a), (0, e), (1, i), (0, i)}

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Relaciones y operaciones con relaciones

Intersección de relaciones Es la relación formada por los pares ordenados que se repiten tanto en R como en S.

De manera gráfica:

Se representa como:

De manera formal:

Sean los conjuntos A = {b, c, d} y B = {a, e, i} y R y S dos relaciones del conjunto A con el conjunto B definidas como: R = {(b, a), (c, e), (d, i)} S = {(b, a), (b, e), (c, e)} Obtener R S Solución: R = {(b, a), (c, e), (d, i)} S = {(b, a), (b, e), (c, e)} Los pares ordenados (b, a) y (c, e) aparecen en ambas relaciones. Por lo tanto, R S = {(b, a), (c, e)}

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Relaciones y operaciones con relaciones

Diferencia de relaciones Es la relación formada por los pares ordenados de R que no están en S.

De manera gráfica:

Se representa como:

De manera formal:

Sean los conjuntos A = {0, 5} y B = {x, y, z} y R y S dos relaciones del conjunto A con el conjunto B definidas como: R = {(0, y), (0, z), (5, x)} S = {(0, y), (5, x), (5, y)} Obtener R S Solución: R = {(0, y), (0, z), (5, x)} S = {(0, y), (5, x), (5, y)} Los pares ordenados (0, y) y (5, x) están tanto en R como en S. El único par ordenado que no está en S es (0, z). Por lo tanto, R S = {(0, z)}

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Relaciones y operaciones con relaciones

Complemento de una relación Son todos los pares ordenados del producto cartesiano A x B que no forman parte de la relación R. En relaciones A x B es igual al conjunto universal .

De manera gráfica:

Se representa como:

R’ o Rc De manera formal:

Sean los conjuntos A= {a, e, i} y B= {0, 1} y R es una relación del conjunto A con el conjunto B definida como: R = {(a,0), (e,0), (i,0)} Obtener R’ Solución: Recuerda que AxB={(a,0), (a,1), (e,0), (e,1), (i,0), (i,1)} AxB = {(a,0), (a,1), (e,0), (e,1), (i,0), (i,1)} R = {(a,0), (e,0), (i,0)} Los pares ordenados (a, 0), (e, 0), (i, 0) están en R, por lo tanto no los pondremos. Pero los pares ordenados que no forman parte de R que sí están en AxB son (a,1), (e,1), (i,1). Por lo tanto, R´= {(a,1), (e,1), (i,1)}

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Relaciones y operaciones con relaciones CRÉDITOS:

Autor: Janeth Nameyca García © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato está sujeto a las disposiciones aplicables en materia de Propiedad Intelectual, por lo que no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato.

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