MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE PDF

Preview

Summary

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs – obligatoriu Manualul de curs recomandat – R. Trandafir, I. Duda, A. Baciu, R. Ioan Matematici pentru economisti, Ed. Fundaţiei România de Mâine Obie...

Description

MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE 1. Precizari si recomandari privind desfasurarea activitatilor la disciplina MATEMATICI APLICATE IN ECONOMIE Tip curs – obligatoriu

Manualul de curs recomandat – R. Trandafir, I. Duda, A. Baciu, R. Ioan Matematici pentru economisti, Ed. Fundaţiei România de Mâine Obiectivul principal al cursului – Cursul de matematici economice are ca obiect bazele matematicilor economice. Cursul este predat în semestrul I al anului universitar, cu examen la sfârşitul semestrului I. Acest curs este structurat în raport cu obiectivul dotării viitorilor economişti şi specialişti cu instrumentele matematice de operare şi gândire, pentru a fi capabil să fundamenteze deciziile adecvate, optime, în domeniile lor de activitate. Aceste capitole sunt direct orientate spre aplicarea lor în economie şi corelate cu disciplinele de bază şi de specialitate pe care le vor parcurge studenţii, conform planului de învăţământ. Întregul cuprins al programei analitice urmăreşte formarea unei gândiri logice la studenţi şi a deprinderilor de calcul cu instrumentele operaţionale necesare analizei proceselor economico-financiare, a funcţionării mecanismelor economico-financiare şi, pe această bază, fundamentării deciziilor optime.

2. Continutul tematic al cursului Elemente de algebră superioară cu aplicaţii în economie 1.Spaţii vectoriale (vectori liniari independenţi, sistem de generatori, bază a unui spaţiu vectorial, dimensiune a unui spaţiu finit dimensional) - Organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale - Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan - Organizarea ca spaţii metrice şi spaţii normate 2. Forme liniare - Forme biliniare (matricea ataşată formei biliniare, modificarea matricii unei funcţionale biliniare la schimbarea bazelor) - Forme pătratice (forma canonică a unei forme pătratice, metode de aducere a unei forme pătratice la forma canonică: Metoda lui Gauss, Metoda lui Jacobi) 3. Operatori pe spaţii vectoriale - Proprietăţi. Valori proprii şi vectori proprii - Conţinut economic Fundamentarea optimă a deciziilor prin programare liniară 4. Formularea problemei de programare liniară (PPL) şi a modelului matematic: forma generală, forma canonică, forma standard. Rezolvare:a prin algoritmul simplex primal - Trecerea de la o soluţie posibilă de bază la altă soluţie posibilă de bază (criteriul de ieşire din bază) - Criteriul de intrare în bază

5. Tratarea problemelor de P.L. care nu au forma standard - Metoda bazei artificiale 6. Forma duală a PPL - Teorema de dualitate şi conţinutul economic al variabilelor duale (preţuri umbră) - Algoritmul simplex dual - Studii de caz în managementul financiar-contabil Decizii optime de transport 7. Formularea problemei transporturilor şi a modelului matematic - Soluţii de bază iniţiale 8. Criteriile de optimizare - Studii de caz Elemente de analiză matematică cu aplicaţii în fundamentarea deciziei economice optime 9. Serii numerice, criterii de convergenţă. Şiruri de funcţii. Serii de puteri. Seria Taylor - Funcţii de mai multe variabile. Mulţimi şi puncte din Rn - Continuitatea funcţiilor în spaţiul Rn: limite, limite iterate 10. Derivabilitatea funcţiilor în Rn: derivate parţiale de ordinul I şi de ordin superior - Diferenţiala de ordin I şi de ordin superior; conţinut economic - Derivata funcţiilor compuse 11. Extremele funcţiilor de mai multe variabile (punct de extrem local; punct staţionar; punct de minim local; punct de maxim local) - Extreme cu legături (condiţionate). Conţinut economic - Aplicaţii şi studii de caz 12. Integrale Modelul dinamicii proceselor economice 13. Dinamica proceselor economice: analiza în timp continuu şi în timp discret. Tipuri principale de ecuaţii diferenţiale cu aplicaţii în economie: - ecuaţii cu variabile separabile - ecuaţii diferenţiale liniare 14. Ecuaţii omogene Ecuaţii diferenţiale de tip Bernoulli şi Riccati şi aplicaţiile lor BIBLIOGRAFIA MINIMALĂ 1. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R. – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 2000 2. DUDA I., TRANDAFIR R., BACIU A., IOAN R., – Elemente de matematici economice, Ed. FRM, Bucureşti, 2005. 3. BACIU A. –Matematici aplicate în economie şi finanţe, Ed. FRM, Bucureşti, 2004 4. DUDA I., – Elemente de algebră pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1999. 5. OPRESCU GH., – Matematici pentru economişti, Ed. FRM, Bucureşti, 1996.

BIBLIOGRAFIE SUPLIMENTARĂ 1. PURCARU I. – Matematici financiare, Vol I şi II, Ed. Economică, 1993. 2. POPESCU O. şi colab. – Matematici aplicate în economie, Vol. I şi II, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993. 3. DANTZIG,G., B., şi colab., – Programarea liniară a sistemelor man., (trad.)Vol. I, II şi II,I Ed. Tehnică, Bucureşti, 1990. 4. LENNARTH., JALMARSON, OPRESCU GH., şi colab., – Macroeconomie – o abordare cantitativă, Ed. Omnia, Bucureşti, 1995. 3.Prezentarea lectiilor (capitolelor) Prin structura şi conţinutul programei, studenţii vor avea baza matematică de înţelegere şi instrumentele - teorii operaţionale şi algoritmi - pentru celelalte discipline: economie, informatică, managementul firmei, statistică micro şi macroeconomică, macroeconomie, finanţe, contabilitate etc., discipline care, în condiţiile nivelului actual al ştiinţelor economice pe plan mondial - sunt puternic matematizate, în scopul fundamental al fundamentării rapide a deciziilor optime, prin instrumentele moderne ale informaticii. Astfel, capitolele studiate în semestrul I vor fi: Algebră liniară, Programare liniară şi Analiză matematică.

1. Algebră liniară Spaţii vectoriale. Organizarea spaţiilor economice ca spaţii vectoriale. Baza şi schimbarea bazei: metoda Gauss Jordan. Organizarea ca spaţii metrice şi spaţii normate. Forme liniare, biliniare, pătratice. Operatori pe spaţii vectoriale: valori proprii şi vectori proprii. Conţinut economic. (vezi pag. 13-41 din Matematici pentru economisti , I. Duda, R. Trandafir, A. Baciu, R. Ioan, S. Barza, Ed. FRM, 2007) Concepte cheie spatiu vectorial, vectori liniar independenti, sistem de generatori, bază, dimensiune, matrice de trecere, aplicatie liniară, valori proprii, vectori proprii, forma liniară, forma biliniară, formă patratică, forma canonică a unei forme pătratice

1.1. Spaţii vectoriale Fie V o mulţime nevidă de elemente şi K un corp de scalari (de regulă K este corpul numerelor reale R sau corpul numerelor complexe C). Pe mulţimea V se definesc două operaţii: – operaţia de adunare „+”, ca lege de compoziţie internă ∀x, y ∈ V avem x + y ∈ V

– operaţia de înmulţire „⋅” cu scalari, ca lege de compoziţie externă; ∀ x ∈ V, α ∈ K avem α ⋅ x ∈ V Definiţie: Mulţimea nevidă V se numeşte spaţiu vectorial peste corpul K dacă (V, +) este grup abelian, adică verifică: 1) x + y = y + x (∀) x, y ∈ V 2) (x + y) + z = x + (y + z), (∀) x, y, z ∈ V 3) (∃) OV , elementul neutru astfel încât x + Ov = Ov + x = x, (∀) x ∈ V 4) (∀) x ∈ V, (∃) − x element opus, astfel încât x + (-x) = (-x) + x = Ov (∀) x ∈ V si (V, ⋅) verifică 1) (x + β)x = αx + β x pentru (∀) α, β ∈ K şi x ∈ V 2) α (x + y) = αx + αy pentru (∀) α ∈ K şi x, y ∈ V 3) (α ⋅ β) ⋅ x = α (βx) pentru (∀)α, β ∈ K şi x ∈ V 4. 1k ⋅ x = x pentru 1K ∈ K numit element neutru, (∀) x ∈ V Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un vector v ∈ V se numeşte combinatie liniară a vectorilor v1, ...., vm ∈V dacă există scalarii α1, α2, ...., αm ∈ K astfel încât v = α1 v1 + α2 v2 + .....+ αm vm Definiţie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vn din V se numeşte sistem de generatori ai spaţiului vectorial V dacă orice vector v ∈V se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor v1, v2, ...., vn. Definiţie Un sistem de vectori v1, v2, ...., vm  din V se numeşte sistem liniar independent dacă din α1v1 + α2v2 + ....+ αmvm = 0 rezultă ca scalarii α1 = α2 = ..... =αm = 0 Observaţie: dacă există scalari nenuli, sistemul de valori se numeşte sistem liniar dependent. Propoziţie. Vectorii v1, v2, ..., vn ∈V sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă cel puţin un vector dintre ei este o combinaţie liniară de ceilalti. Definiţie. Fie V un spaţiu vectorial peste corpul K. Un sistem de vectori B = v1, v2, ..., vm se numeşte bază pe spaţiul vectorial V dacă este formată dintr-un număr maxim de vectori liniari independenţi. Numărul vectorilor din bază determină dimensiunea spaţiului. Definiţie. Coeficienţii α1, α2, ...., αn ai reprezentării vectorului v ∈ V în baza B se numesc coordonatele vectorului v în baza B. Propoziţie Sistemul de vectori unitari b1 = (1 0 ... 0 ) , b2 = ( 0 1 ... 0 ) , ..., bn = ( 0 0 ... 1) formează o bază a spaţiului vectorial Rn numit bază canonică (sau unitară) Propozitie (Transformarea coordonatelor unui vector la schimbarea bazei). Fie v ∈ Rn, A = {a1, a2, ... , an} şi B = {b1, b2, ..., bn} două baze din Rn şi prin abuz de notatie notăm cu A şi B matricile acestor baze.

Fie α1, α2, ..., αn coordonatele vectorului v în baza A şi β1, β2, ..., βn coordonatele vectorului v în baza B şi pentru fiecare i, i = 1, n , λi1, λi2, ..., λin, coordonatele vectorului vi în baza B. Atunci: β1 = α 1λ 11 + ..... + α n λ 1n  care scris matricial devine: .......... β = α λ + ..... + α λ 1 n1 n nn  n  λ 11 L λ 1n    β = M ⋅ α, unde M =  M M M  λ   n1 L λ nn  sau M se numeşte matricea de trecere de la o bază la alta.

Metoda Gauss-Jordan (a eliminarii complete) Metoda eliminării complete se poate folosi, printre altele, pentru: - rezolvarea unui sistem de ecuaţii liniare; - calculul inversei unei matrice nesingulare. Etapele aplicării acestei metode sunt: 1. Se alcătuieşte un tabel care conţine matricea sistemului ce trebuie rezolvat (notată A ) sau matricea ce trebuie inversată ( A ). 2. Se alege un element nenul al matricei A , numit pivot. 3. Elementele din tabel se modifică astfel: a ) elementele de pe linia pivotului se împart la pivot; b ) coloana pivotului se completează cu zero; c)

restul elementelor se calculează după regula dreptunghiului:

- se formează un dreptunghi, având elementul ce trebuie înlocuit şi pivotul ca vârfuri; - din produsul elementelor de pe diagonala pivotului se scade produsul elementelor celeilalte diagonale, iar rezultatul se împarte la pivot. Schematic, regula dreptunghiului se prezintă astfel:

a ………… x

:

:

:

:

x' =

bx − ac , b

unde:

b ……...…. c b = pivotul;

x = elementul ce trebuie înlocuit; x' = noua valoare a elementului x . d ) (facultativ) Dacă pe linia pivotului există un element egal cu zero, atunci coloana acelui element se copiază; analog, dacă pe coloana pivotului există un element egal cu zero, atunci linia acelui element se copiază. 4. Se reiau paşii 2 şi 3 până când de pe fiecare linie s-a ales câte un pivot.

1.2. Aplicaţii liniare Definiţie: Fie V, V’ două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K de dimensiuni n respectiv m. O aplicaţie T : V → V’ se numeşte aplicaţie (transformare sau operator) liniară dacă este aditiva şi omogenă, deci dacă verifică: a) T (x + y) = T(x) + T(y), (∀) x, y ∈ V b) T(αx) = αT(x), (∀)α ∈ K, x ∈ V. Teoremă Aplicaţie T : V → V’ este aplicaţie liniară dacă şi numai dacă: T(αx + βy) = αT(x) + βT(y), (∀) α, β ∈ K, x, y ∈ V. Teoremă: Fie V, V’ două spaţii vectoriale peste acelaşi corp de scalari K; B = {a1, a2, ..., an} bază a spaţiului vectorial V şi B’ = {b1, b2, ..., bn} bază a spaţiului V’. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai) ∈ V’ şi poate fi reprezentat în mod unic în funcţie de vectorii bazei B’: T(ai) = α1b1 + αi bi+ ... + αinbn. Matricea formată din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) în baza B’ se va numi: matricea asociată aplicaţiei liniare T în raport cu perechea de baze {B, B’}.  α11 α 12 K α 1n     α 21 α 22 K α 2 n  M B,B' (T ) =  M M M M    α   1n α 2 n K α nn 

1.3. Valori proprii şi vectori proprii asociaţi aplicaţiei liniare. Definiţie: Fie V spaţiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K şi T : V → V o aplicaţie liniară. Un scalar λ ∈ K se numeşte valoare proprie pentru aplicaţie liniară T dacă există cel puţin un vector nenul v ∈ V astfel încât: (1) T(v) = λv. Definiţie: Vectorul nenul v ∈ V care verifică relaţia (1) se numeşte vector propriu pentru aplicaţia T asociată valorii proprii λ. Prezentăm în continuare modul de determinare al valorilor şi vectorilor proprii pentru o aplicaţie liniară. Fie T : V → V’ o aplicaţie liniară cu matricea aplicaţiei AT definită în baze canonice. Relaţia (1) se mai scrie: (1) T(v) – λv = 0 sau (2) ( AT − λ En ) v = 0v Relaţia (2) reprezintă scrierea matricială a unui sistem omogen. În consecinta coordonatele vectorului propriu v nenul sunt soluţiile sistemului omogen (2). Soluţiile sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai dacă determinantul sistemului este nul: (3) P(λ) = det (AT - λEn) = 0

Polinomul P(λ) se numeşte polinomul caracteristic asociat aplicaţiei liniare T şi ecuaţia P(λ) = 0 se numeşte ecuaţia caracteristică a aplicaţiei T. Teoremă: Fie T: V → V’, λ ∈ K este o valoare proprie a aplicaţiei liniare T dacă şi numai dacă este rădăcină a ecuaţiei caracteristice.

1.4. Reducerea unei forme pătratice la o formă canonică. Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul real (R), de dimensiune n. O aplicaţie f : V → R este o formă (transformare sau operator) liniară dacă este aditivă şi omogenă, adică: a) f(x + y) = f(x) +f(y) (∀) x, y ∈ V b) f(αx) = αf(x), (∀) α ∈ R, x ∈ V. Definiţie O aplicaţie f : V × V → R este o formă biliniară dacă este liniară în raport cu ambele argumente, deci: 1. f(ax1 + bx2, y) = af(x1, y) + bf(x2, y) (∀) x1, x2, y ∈ V, (∀)a, b ∈ R 2. f(x, ay1 + by2) = af(x, y1) + bf(x,y2), (∀) x, y1, y2 ∈ V, (∀)a, b ∈ R Pentru formule biliniare vom da o modalitate de scriere a acestora sub forma matricială: Observaţie: O formă biliniară este determinată dacă se cunoaşte matricea formei A.

Definiţie O formă biliniară se numeşte forma biliniară simetrică dacă matricea formei este o matrice simetrică (adică matricea A este egală cu transpusa sa: A f = A Tf ). Definiţie Fie V un spaţiu vectorial peste corpul de scalari R, de dimensiune n. O aplicaţie g: V → R este o formă pătratică dacă există o aplicaţie biliniară simetrică f: V × V → R astfel încât g(x) = f(x, x) = xT Ax, (∀)x ∈V a 11 L a 1n a 11 a 12 Valorile ∆ 1 = a 11 , ∆ 2 = , ..., ∆ n = M M M a 21 a 22 a n1 K a nn se numesc minorii matricei A. Definiţie Fie g : V → R o formă pătratică. g este pozitiv definită dacă toţi minorii matricei simetrice A sunt strict pozitivi; g este semipozitiv definită dacă minorii sunt pozitivi sau zero; g este negativ definită dacă minorii impari, ∆1, ∆3 ... < 0 şi ∆2, ∆4 ... > 0; g este seminegativ definită dacă minorii impari ∆1, ∆3 ... ≤ 0 şi minorii pari ∆2, ∆4 ... ≥ 0; g pentru care nu sunt îndeplinite nici una din condiţiile anterioare este o formă pătratică nedefinită. Definiţie: Fie g : V → R o formă pătratică. Într-o bază a spaţiului B ∈ V forma pătratică g are o formă canonică dacă matricea formei este o matrice diagonală. Metoda lui Jacobi Fie o formă pătratică g : V → R, g(x) = xTAx, A – matrice simetrică. Dacă toţi minorii matricei A sunt nenuli atunci există o bază a spaţiului V, astfel încât forma pătratică să se transforme în formă canonică: ∆ 1 2 ∆1 2 g (y ) = y1 + y 2 + ... + n −1 y 2n ∆1 ∆2 ∆n unde y = (y1 y2, ..., yn) reprezintă coordonatele vectorului x în baza B. Metoda lui Gauss constă în formarea de pătrate perfecte când conţin cel puţin un aii ≠ 0

Subiecte pentru pregătirea în vederea evaluării finale Test de autoevaluare 1) Fie 2 vectori x, y ∈ R3 x = (1, 2, 1) şi y = ( 0, 1, 3) atunci

a) x + y = (1, 3, 4 ) ; b) x + y = ( 0, 3, 4 ) ; c) x + y = ( 0, 2, 4 ) ; d) x + y = (1, 3, 1) .

Raspuns corect: a) x + y = (1, 3, 4 ) Rezolvare: x + y = (1, 2, 1) + ( 0, 1, 3) = (1, 3, 4 )

2) Fie vectorii v1, v2, v ∈ R3, v1 = (1, 2, 3) şi v2 = ( 0, 1, 1) .

Să se scrie vectorul v = ( −1, 2, 4 ) ca o combinaţie liniară a vectorilor v1 şi v2. a) v = 2v1 + v2 ; b) v = 2v1 − v2 ; c) v = v1 + v2 ; d) v nu se poate scrie ca o combinatie liniara a a vectorilor v1 şi v2 Raspuns corect: d) Rezolvare: Conform definiţiei trebuie să aflăm scalarii α1 şi α2 astfel încât v = α1v1 + α2 v2 ⇔ ( −1, 2, 4 ) = α1 ⋅ (1, 2, 3) + α 2 ⋅ ( 0, 1, 1) ⇔

⇔ ( −1, 2, 4 ) = (α1 ⋅1, α1 ⋅ 2, α1 ⋅ 3) + α 2 ⋅ ( 0, α 2 ⋅1, α 2 ⋅1) ⇔ ⇔ ( −1, 2, 4 ) = (α1 , 2α1 + α 2 , 3α1 + α 2 )

sau altfel scris obţinem următorul sistem cu necunoscutele α1, α2. α1 = −1 α1 = −1   ⇔ 2α1 + α 2 = 2 α 2 = 4 sistem incompatibil sau putem afirma că vectorul 3α + α = 4 α = 7 2  1  2 v nu se poate scrie ca o combinaţie liniară a vectorilor v1 şi v2. 3) Fie vectorii v1 = ( 0, 2, 1) ; v2 = (1, m, −1) ; v3 = ( m, 0, 1) ; m ∈ R Determinaţi parametrul m∈ R astfel încât vectorii v1, v2, v3 să fie liniar independenţi. a) m=1; b) m= -1; c) m ∈ R ; d) m=0 Raspuns corect: c) Rezolvare: Aplicând definiţia trebuie să punem condiţia ca toţi scalarii α1, α2, α3 ∈ K să fie nuli în egalitatea: α1v1 + α2v2 + α3v3 =0 sau transformând această egalitate într-un sistem de ecuaţii liniare omogene cu solutie nula unica, atunci obligatoriu trebuie să punem conditia ca determinantul matricii formată din vectorii  v1, v2, v3  să fie nenul: 0 1 m det A ≠ 0 ⇔ 2

m

1 −1

0 ≠ 0 ⇔ 0 + 0 –2m –m2 – 0 –2 ≠ 0 1

⇔ m2 + 2m + 2 ≠ 0 ⇔ (m+1)2 + 1 ≠ 0 (∀) m ∈ R Aşadar vectorii sunt liniar independenţi pentru (∀) m ∈ R.

4) Fie vectorii v1 = (1, 1, 2 ) , v2 = (1, 1, 1) , v3 = (1, 2, 1) , v1, v2, v3 ∈ R3 Vectorii  v1, v2, v3  formează o bază a spatiului vectorial R3 ? Raspuns corect: A

Rezolvare: Pentru a demonstra că sistemul format din trei vectori  v1, v2, v3 (numarul vectorilor din baza trebuie sa fie egal cu dimensiunea spatiului in care se lucreaza) formează baza este suficient să demonstrăm că este un sistem liniar independent 1 1 1 ⇔ 1 1 2 ≠ 0 ⇔ Vectorii  v1, v2, v3  formează o bază a spatiului vectorial R3

2 1 1 5) Fie vectorii v1 = (1, 1, 2 ) , v2 = (1, 1, 1) , v3 = (1, 2, 1) , v1, v2, v3 ∈ R3 Exprimati coordonatele vectorului v = ( 2, −1, 2 ) în baza  v1, v2, v3 .

a) v = ( 2, −1, 0 ) ; b) v = ( 0, 3, 5 ) ; c) v = ( 0, −3, 5 ) ; d) alt Raspuns corect:. Raspuns corect: c) Rezolvare: Vom afla coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 aplicând metoda Gauss-Jordan: B v 1 1 1 2 1 1 2 -1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 0 1 -3 0 -1 -1 -2 1 1 0 5 0 0 1 -3 0 -1 0 -5 1 0 0 0 0 0 1 -3 0 1 0 5 Citim din ultimul tabel coordonatele vectorului v în baza B v1, v2, v3 şi anume v = ( 0, 5, −3) . 6) Exprimati vectorul v = ( −3, 1, 2 ) în baza unitară.

a) v = 3e1 + e2 + e3 ; b) v = −3e1 + e2 + 2e3 ; c); v = 3e1 + e2 − e3 d) v = 3e1 − e2 − e3 Raspuns corect: b) Rezolvare: În spaţiul R3 vectorii unitari sunt e1 = (1, 0, 0 ) ; e2 = ( 0, 1, 0 ) ; e3 = ( 0, 0, 1) şi atunci putem scrie v = -3e1 + 1 ⋅ e2 + 2⋅ e3. 7) Exprimati vectorul v = ( −3, 1, 2 ) în baza v1, v2, v3 unde

v1 = (1, 1, −1) ; v2 = ( −3, 1, 2 ) ; v3 = (1, 1, 1)

a) v = 0v1 + 1v2 + 1v3 ; b) v = 0v1 + 1v2 + 0v3 ; c) v = 1v1 + 1v2 + 0v3 ; d) alt răspuns. Raspuns corect: b) Rezolvare: Pentru a exprima v în baza v1, v2, v3 se rezolvă prin metoda Gauss Jordan şi obţinem v = 0v1 + 1v2 + 0v3 (sau se observă având în vedere că v = v2 ). 8) Fie următoarele sisteme de vectori: A = {a1, a2, a3}, unde a1 = (1, 4, 2 ) ; a2 = ( -1, 2, 0 ) ; a3 = ( 3, 1, 5 ) şi

B = {b1, b2, b3}, unde b1 = ( 2, 4, 5 ) ; b2 = ( -1, 1, 0 ) ; b3 = ( -2, 0, 2 ) . Să se determine matricea de trecere de la baza A la baza B.  5 15 14   5 15 14   5 15 14   1 −1  1   a) M =  − 15 17 2  ; b) M =  −15 17 2  ; c) M =  −15 17 0  ; 16  16  16      − 34 58 20   −34 58 20   −34 58 20  d) alt raspuns. Raspuns corect: a) Rezolvare: Fie M matricea de trecere de la A la B Din

vA = A-1 ⋅ v ⇒ v = A ⋅ vA ⇒

vB = B ⋅ v ⇒ v = B ⋅ vB -1

A ⋅ vA = B ⋅ vB ⇒ vA = A-1 B vB deci MT = A-1B pe care o vom determina aplicând metoda Gauss-Jordan  5 − 15 − 34   1 M = 15 17 58  16  20  14 2 T

 5 15 14   1 M =  − 15 17 2  16    − 34 58 20 

1 4 2

A -1 ...