MATEMATIKA TEKNIK II(TKE-200)_KELOMPOK 3 PDF

Preview

Summary

MAKALAH MATEMATIKA TEKNIK II TRANSFORMASI LAPLACE Dosen pengampu: Ir.Bonar Sirait, M.Sc, IPM Fitriah, S.T,M.T DISUSUN OLEH KELOMPOK 3 : Angger Bayu Samudra (D1021191048) Pinsensius Dupis (D1021191053) Muhammad Farhan Supriatna (D1021191054) Galih Anas Mutashim (D1021191056) Adil Nurhaqqi Rizki Akbar...

Description

MAKALAH MATEMATIKA TEKNIK II TRANSFORMASI LAPLACE Dosen pengampu: Ir.Bonar Sirait, M.Sc, IPM Fitriah, S.T,M.T

DISUSUN OLEH KELOMPOK 3 : Angger Bayu Samudra (D1021191048) Pinsensius Dupis (D1021191053) Muhammad Farhan Supriatna (D1021191054) Galih Anas Mutashim (D1021191056) Adil Nurhaqqi Rizki Akbar Rabbani (D1021191058) Nur Fa’izah (D1021191059) Kurnia Hastama (D1021191060) Rizki Rushandri Nugraha (D1021191061)

PROGRAM STUDI TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS TANJUNGPURA PONTIANAK 2021

KATA PENGANTAR Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah memberikan rahmat dan hidayahNya sehingga kami dapat menyelesaikan tugas makalah yang berjudul “Transformasi Laplace” ini tepat pada waktunya. Adapun tujuan dari penulisan dari makalah ini adalah untuk memenuhi tugas pada mata kuliah Matematika Teknik II. Selain itu, makalah ini juga bertujuan untuk menambah wawasan tentang Transformasi Lalplace bagi para pembaca dan juga bagi penulis. Kami mengucapkan terima kasih kepada Ir. Bonar Sirait, M.Sc, IPM dan FITRIAH, ST,MT selaku dosen pembimbing mata kuliah Matematika Teknik II yang telah memberikan tugas ini sehingga dapat menambah pengetahuan dan wawasan sesuai dengan bidang studi yang kami tekuni. Kami menyadari, makalah yang kami tulis ini masih jauh dari kata sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun akan kami nantikan demi kesempurnaan makalah ini.

Pontianak, 29 Mei 2021 Penulis

ii

DAFTAR ISI KATA PENGANTAR..................................................................................................................... ii DAFTAR ISI.................................................................................................................................iii BAB I .......................................................................................................................................... 1 PENDAHULUAN ......................................................................................................................... 1 1.1.

Latar Belakang........................................................................................................... 1

BAB II ........................................................................................................................................ 2 PEMBAHASAN ........................................................................................................................... 2 2.1 Pengertian Transformasi Laplace, Transformasi Invers dan Linearitas .......................... 2 2.1.3 Invers Transformasi Laplace......................................................................................... 5 2.1.4 Linearitas ...................................................................................................................... 6 2.2 Transformasi Laplace Dari Turunan dan Itegral .............................................................. 7 2.3 Pergeseran Pada Sumbu – S, Pergeseran Pada Sumbu – t dan Fungsi Tangga Satuan ............................................................................................................................................ 10 2.4 Diferensiasi dan Integrasi dari Transformasi ................................................................ 13 2.5 Konvolusi : Persamaan Integral..................................................................................... 15 2.6 Pecahan Parsial : Sistem Persamaan Diferensial .......................................................... 17 BAB III ..................................................................................................................................... 19 PENUTUP ................................................................................................................................. 19 3.1 Kesimpulan .................................................................................................................... 19 3.2 Saran ............................................................................................................................. 19 LAMPIRAN ............................................................................................................................... 20

iii

BAB I PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Pierre-Simon marquis de Laplace, seorang ahli matematika dan astronom yang lahir pada tanggal 23 Maret 1749 di Beaumont-en-Auge, Normandia tepatnya di distrik Calvados. Laplace dilahirkan dikeluarga yang sederhana di Prancis. Ayahnya bernama Pierre Laplace dan ibunya bernama Marie-Anne Sochon yang berasal dari Tourgeville. Laplace cenderung menutupi masa kecilnya karena dia malu dengan kasta kedua orang tuanya sebagai,petani. Banyak rincian tentang kehidupan Laplace hilang ketika rumah keluarga chateau terbakar pada tahun 1925. Menurut WW Rouse Ball (Sejarah matematika edisi 4 1908), ia adalah anak seorang petani kecil atau mungkin sebuah peternakan. Sangat sedikit yang diketahui dari tahun-tahun awalnya. Orang tuanya adalah dari keluarga yang bahagia. Keluarga Laplace terlibat dalam dunia pertanian setidaknya sampai tahun 1750 dan Pierre Laplace juga seorang pedagang dari kota

Beaumont. Laplace untuk pertama kalinya belajar matematika di akademi militer

di Beaumont. Pada saat Laplace berumur 18 tahun tepatnya pada tahun 1767, dia meneruskan sekolahnya di Caen, Paris. Dengan rasa percaya diri yang tinggi, dia bertekad untuk menaklukan dunia matematika. Di Universitas Caen, selama dua tahun laplace menunjukkan kemampuannya dibidang matematika. Dia dikenal sebagai seorang mahasiswa yang pandai sehingga dia diangkat menjadi asisten dosen. Memperoleh pujian dari dua dosen matematika di Universitas Caen, Christophe Gadbled dan P. Le Canu yang sebenarnya tidak banyak mengetahui Laplace kecuali sekedar mengetahui bahwa Laplace mempunyai potensi menjadi seorang matematikawan besar.

1

BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Transformasi Laplace, Transformasi Invers dan Linearitas 2.1.1 Penjelasan Transformasi Laplace Transformasi adalah teknik atau formula matematis yang digunakan untuk mengubah representasi persamaan matematika dari satu bentuk ke bentuk representasi yang lain. Adanya transformasi mengharuskan juga adanya inverse transformasi, yang melakukan hal yang sebaliknya. Transformasi Laplace Y (s) dari fungsi y(t), untuk t > 0 adalah : ∞

𝐘 (𝐬) = 𝐋{𝐲 (𝐭)} = ∫𝟎 𝐞−𝐬𝐭 𝐲(𝐭)𝐝𝐭

Transformasi Laplace digunakan untuk mengubah fungsi y(t) yang berada dalam kawasan waktu ke kawasan s. Solusi dari persamaan diferensial didapat dengan mengubah persamaan diferensial (yang merupakan fungsi waktu) dari kawasan waktu ke kawasan s dengan menggunakan transformasi laplace. Transformasi Laplace dari F(t) dikatakan ada, jika integralnya konvergen untuk beberapa nilai s, bila tidak demikian maka transformasi Laplace tidak ada. Selanjutnya bila suatu fungsi dari t dinyatakan dengan huruf besar, misalnya W(t), G(t), Y(t) dan seterusnya, maka transformasi Laplace dinyatakan dengan huruf kecil yang bersangkutan sehingga L {W(t)} = w(s), L {G(t)} = g(s), L {Y(t)} = y(s) dan seterusnya. Dalam matematika jenis transformasi ini merupakan suatu konsep yang penting sebagai bagian dari analisa fungsional yang dapat membantu dalam melakukan analisa sistem invarian-waktu linier, seperti rangkaian elektronik, osilator harmonik, devais optik dan sistem-sistem mekanik. Dengan mengetahui deksripsi matematika atau fungsional sederhana dari masukan atau keluaran suatu 2

sistem, transformasi Laplace dapat memberikan deskripsi funsional alternatif yang kadang dapat menyederhanakan proses analisa kelakukan dari sistem atau membuat suatu sistem baru yang berdasarkan suatu kumpulan spesifikasi. Metode transformasi Laplace adalah suatu metoda operasional, yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan “Persamaan Deferential Linear” Maka dengan mengunakan Transformasi Laplace kita dapat mengubah beberapa fungsi umum : 1. Fungsi sinusoidal 2. Fungsi sinusoidal teredam 3. Fungsi Exponensial menjadi aljabar variable kompleks Jika F(t) adalah fungsi yang kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap interval 0  t  N dan eksponensial berorde  untuk t > N, maka transformasi Laplace f(s) ada untuk setiap s >  Berdasarkan definisi di atas, dapat ditentukan transformasi Laplace beberapa fungsi sederhana. No.

F (t )

L{F (t )}

1.

1

1 ,s  0 s

2.

t

1 ,s  0 s2

3.

t2

2 ,s  0 s3

4.

tn

n!

n = 0,1,2,3,….

s n +1

,s  0

3

5.

e 6.

at

sin at

1 ,s  0 s−a a ,s  0 s + a2 2

cos at

7.

s ,s  0 s + a2 2

8.

sinh at

a ,s  a s − a2 2

9.

cosh at

s ,s  a s − a2 2

10.

t cos at

s2 − a (s 2 + a 2 ) 2

11.

t sin at 2a

s (s + a 2 ) 2 2

2.1.2 Latar belakang Penggunaan Transformasi Laplace Adapun Latar belakang penggunaan Transformasi Laplace adalah : 1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa Linear Homogen melibatkan bentuk eksponensial yang relatif cukup sulit untuk dikerjakan 2. Transformasi Laplace dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial

menjadi bentuk persamaan aljabar,sehingga mengurangi

kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar

4

3.

Solusi persamaan dalam bentuk aljabar dapat ditulis sebagai penjumlahan tiaptiap komponennya dengan tiap komponen merupakan Transformasi Laplace dari bentuk eksponensial.

2.1.3 Invers Transformasi Laplace Invers Trasformasi Laplace merupakan kebalikan dari transformasi laplace. Dikatakan bahwa f(x) dan F(s) = L{f(x)} membentuk suatu pasangan transformasi (transform pair). Ini berarti bahwa jika F(s) adalah transformasi Laplace dari f(x) maka f(x) adalah transformasi Laplace invers dari F(s). Invers transformasi laplace digunakan untuk mendapatkan fungsi G (t) dari suatu fungsi alih G (s). F (t) disebut fungsi invers transformasi laplace dari F(s) yang mana dapat di tuliskan sebagai berikut : 𝒇(𝒕) = 𝑳−𝟏 {𝒇(𝒔)}

Contoh.

 

1  1  2t −1 2t  = e maka L e = s−2 s − 2

1. Karena L 





s  s  −1  = cos t 3e maka L cos t 3 = 2 2 s +3  s + 3

2. Karena L 

1  sinh at   1  sinh at 3. Karena L  2 maka L−1  = = 2 2 2  a s − a   a  s −a

5

2.1.4 Linearitas Transformasi laplace adalah operasi Liniar, yaitu bila terdapat beberapa fungsi misal f(t) dan g (t) yang masing – masing memiliki transformasi laplace dan terdapat bilangan a,b maka berlaku hukum linieritas sebagai berikut : 𝑳 {𝒂𝒇(𝒕) + 𝒃𝒇(𝒕)} = 𝒂𝑳 {𝒇(𝒕) } + 𝒃𝑳 {𝒈(𝒕)} = 𝒂𝑭 (𝒔) + 𝒃𝑮 (𝒔)

2.1.5 Sifat Kelinearan Transformasi Laplace

Jika c 1 dan c 2 adalah sebarang konstanta, sedangkan F1 (t ) dan F2 (t ) adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-transformasi Laplace masing-masing f1 ( s ) dan f 2 ( s ) , maka:

L{c1 F1 (t ) + c 2 F2 (t )} = c1 f1 ( s) + c 2 f ( s) Bukti: 

L{c1 F (t ) +c 2 F2 (t )} =  e − st {c1 F1 (t ) + c 2 F2 (t )}dt 0

6





0

0

=  e − st c1 F1 (t )dt +  e − st c1 F2 (t )dt 

p

= c1  e F1 (t )dt + c 2  e − st F2 (t )dt − st

0

0

= c1 f1 ( s) + c 2 f 2 ( s)

2.1.6 Sifat Kelinearan Invers Transformasi Laplace Jika 𝐿 {𝑓(𝑡)} = 𝑓(𝑠) dan 𝐿 {𝑔(𝑡)} = 𝐺 (𝑠) maka untuk setiap konstanta – konstanta 𝛼 𝑑𝑎𝑛 𝛽, di peroleh sebagai berikut :

𝑳−𝟏 {𝜶𝑭(𝒔) + 𝜷𝑮 (𝒔)} = 𝜶𝑳−𝟏 {𝑭(𝒔)} + 𝜷𝑳−𝟏 {𝑮(𝒔)} = 𝜶𝒇(𝒕) + 𝜷𝒈(𝒕) 2.2 Transformasi Laplace Dari Turunan dan Itegral 2.2.1 Transformasi Laplace dari Turunan A. Turunan Ke -n Jika L{F (t )} = f ( s) maka L{F ' (t )} = sf ( s) − F (0) 



− st Karena Karena L{F (t )} = e F (t )dt = f ( s ) , maka 0



L{F ' (t )} =  e − st F ' (t )dt 0

7



=  e − st dF (t ) 0

p

   =  e − st F (t ) −  F (t )d (e − st )  0 0 



= − F (0) + s  e − st F (t )dt 0

= sf ( s) − F (0) Jika L{F ' (t )} = sf ( s) − F (0) maka L{F ' ' (t )} = s f ( s ) − sF (0) − F ' ( s ) 2

Bukti 

L{F ' ' (t )} =  e − st F " (t )dt 0



=  e − st d ( F ' (t )) 0

   − st  =  e F ' (t ) −  F ' (t )d (e − st )  0  

   =  e − st F ' (t ) + s  F ' (t )e − st dt  0  

(

= e − st F ' (t ) + s ( sf ( s ) − F (0))

)

= s 2 f ( s ) − sF (0) − F ' (0) Dengan cara yang sama diperoleh

8



L{F ' ' ' (t )} =  e − st F ' ' ' (t )dt 0



=  e − st d ( F ' ' (t )) 0

   =  e − st F ' ' (t ) −  F ' ' (t )d (e − st )  0  

   − st  =  e F ' ' (t ) + s  e − st F ' ' (t )dt  0      = e − st F ' ' (t ) + s e − st F ' (t ) −  F ' (t )d (e − st )  0  

= s 3 f ( s ) − s 2 F (0) − sF ' (0) − F ' ' (0)

Akhirnya dengan menggunakan induksi matematika dapat ditunjukkan bahwa,

L{F (t )} = f ( s) Sehingga kita peroleh Transformasi Laplace turunan ke – n yaitu :

L{F ( n ) (t )} = sf ( s ) − s n −1 F (0) − s n − 2 F ' (0) − ... − sF ( n − 2) (0) − F ( n −1) (0)

2.2.2 Transformasi Laplace dari Integral

t  f (s) Jika L{F (t )} = f ( s) maka L F (u )du  = s 0  Bukti:

9

t



Misal G (t ) = F (u )du maka G ' (t ) = F (t ) dan G (0) = 0 0

Dengan mentransformasikan Laplace pada kedua pihak, diperoleh:

L{G' (t )} = L{F (t )}

 sL{G(t )} − G{0} = f ( s)  sL{G (t )} = f ( s)  L{G (t )} =

f ( s) s

t



0



 

Jadi diperoleh L F (u )du  =

f (s) s

2.3 Pergeseran Pada Sumbu – S, Pergeseran Pada Sumbu – t dan Fungsi Tangga Satuan Salah satu sifat penting dari transformasi laplace adala pergeseran pada sumbu s dan t 2.3.1 Pergeseran Sumbu - s Jika f (t) mempunyai transformasi Laplace F(s) dengan s > y, maka 𝑒 𝑎𝑡𝐹(𝑡)

mempunyai transformasi F(s-a) dengan s-a > y. Dengan teorema yang ada,jika kita mengetahui transformasi laplace dari f(t) maka kita dapat menentukan transformasi laplace dari 𝑒𝑎𝑡 𝐹(𝑡) secara mudah. Berdasarkan teorema yang ada,

kita dapat menentukan invers trasnformasi dari F(s-a) jika infers trasnformasi dari F(s) diketahui yakni 𝑳−𝟏 = (𝑭(𝒔 − 𝒂)) = 𝒆𝒂𝒕 𝒇(𝒕)

Yang dimana hubungan antara F(s) dan F(s-a) diberikan oleh berikut :

10

2.3.2 Pergeseran Pada Sumbu – t Kita dapat menggnakan pergeseran pada sumbu s dari F(s) untuk menentukan transformasi laplace dari 𝑒 𝑎𝑡 𝑓(𝑡). Berikut ini kita akan mennetukan transformasi laplace dari 𝐹̅ (𝑡) yang didefinikan dengan : 0 𝑓 ̅ (𝑡) = { 𝑓(𝑡 − 𝑎)

𝑡𝑎

Ini dikenal dengan pergeseran pada sumbu t, yakni dengan mengganti t dengan t-a dalam f(t). Teorema ( Pergeseran Pada Sumbu t) Jika f(t) mempunyai transformasi laplace F(s) dan fungsi f didefinisikan dengan 0 𝑓 ̅ (𝑡) = { 𝑓(𝑡 − 𝑎)

𝑡𝑎

Dengan a ≥ 0, maka transformasi laplace dari 𝑓̅ (𝑡) adalah 𝑒 −𝑎𝑠 𝑓(𝑠).

Yang dimana hubungan f dan 𝑓 ̅ dapat diilustrasikan sebagai berikut :

11

2.3.3 Fungsi Tangga Satuan Fungsi tangga satuan u (t –a) dapat didefinikan dengan 𝑢 (𝑡) = {

0 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡 < 𝑎 } , digambarkan seperti 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑡 > 𝑎

Fungsi tangga satuan dapat digunakan sebagai blok pembangun fungsi – fungsi yang lain dan dapat dimanfaatkan untuk memperluas penggunaan transformasi laplace. Dari definisi transformasi laplace, kita dapat menunjukan bahwa

12

𝑳 (𝒖(𝒕 − 𝒂)) = 𝒆−𝒂𝒔 /𝒔

Fungsi 𝑓 ̅ yang kita definisikan di depan dapat 𝑓 ̅ dituliskan sebagai : 𝒇̅ (𝐭) = 𝒇(𝒕 − 𝒂)𝒖(𝒕 − 𝒂)

Dengan menggunakan teorema di atas, maka

Atau

𝑳 (𝒇(𝒕 − 𝒂)𝒖(𝒕 − 𝒂)) = 𝒆−𝒂𝒔 𝒇(𝒔). 𝑳−𝟏 = (𝒆−𝒂𝒔 𝒇(𝒔)) = 𝒇(𝒕 − 𝒂)𝒖(𝒕 − 𝒂)

2.4 Diferensiasi dan Integrasi dari Transformasi Transformasi Laplace memiliki banyak sifat umum yang cukup menakjubkan yang kita dapat gunakan untuk mendapatkan transformasi atau transformasi invers Laplace-nya. Tentu saja, metode-metode untuk mencapai tujuan itu didasarkan pada sifat -sifat itu sendiri seperti integrasi langsung, pemanfaatan linearitas, pergeseran diferensiasi atau integrasi dari fungsi original ƒ(t). Dalam modul ini kita mempertimbangkan diferensisasi dan integrasi dari transformasi Laplace F(s) dan mendapatkan operasi yang berkorespondensi untuk fungsi original ƒ(t). 2.4.1 Diferensiasi Transformasi Laplace Dapat diperlihatkan bahwa bila f (t) memenuhi kondidi teorema yang ada dalam bab awal derivative dari transformasi laplasce yang berkorespondensi

13

∞

𝑭 (𝒔) = £(𝒇) = ∫ 𝒆 −𝒔𝒕 𝒇(𝒕) 𝒅𝒕 𝟎

Berkenaan dengan s dapat diperoleh dengan diferensiasi di bawah tanda integral bekenaan dengan s. jadi, ∞

𝑭 (𝒔) = − ∫ 𝒆−𝒔𝒕 {𝒕 𝒇〈𝒕〉} 𝒅𝒕 𝟎

Konsekuensinya, bila £(f) = F (s), maka, £ {𝒕 𝒇 〈𝒕〉} = −𝑭′〈𝒔〉

Tabel Aplikasi Diferensiasi Pada Transformasi Laplace

2.4.2 Integrasi Transformasi Laplace

14

Integrasi Transformasi Laplace Dengan cara serupa, jika f(t) memenuhi kondisi yang ada dalam teorema di modul awal dan limit ƒ(t)/t dimana t mendekati 0 dan limit tersebut eksis, maka ∞

𝒇 (𝒕) £{ } = ∫ 𝑭 (𝒔̌ ) 𝒅𝒔̌ 𝒕 𝒔

dalam model ini, integrasi transformasi fungsi ƒ(t) berkorespondensi dengan pembagian ƒ(t) dan t. Dari definisi transformasi Laplace, persamaan di atas dapat ditulis ke dalam bentuk ∞

∞

∞

̌ 𝒇(𝒕)𝒅𝒕 } 𝒅𝒔̌ ∫ 𝑭 (𝒔̌ ) 𝒅𝒔̌ = ∫ {∫ 𝒆− 𝒔𝒕 𝒔

𝒔

𝟎

Dan dapat diperlihatkan bahwa integrase persamaan di atas dapat ditukar yaitu : ∞

∞

∞

∫ 𝑭 (𝒔) 𝒅𝒔 = ∫ {∫ 𝒆 𝒔

𝒔

𝟎

̌ − 𝒔𝒕

∞

∞

̌ 𝒇(𝒕)𝒅𝒔̌ } 𝒅𝒕 = ∫ 𝒇(𝒕) {∫ 𝒆−𝒔𝒕 𝒅𝒔̌} 𝒅𝒕 𝟎

𝒔

2.5 Konvolusi : Persamaan Integral Secara umum konvolusi didefinisikan sebagai cara untuk mengkombinasikan dua buah deret angka yang menghasilkan deret angka yang ketiga. Didalam dunia seismik

deret-deret

angka

tersebut

adalah wavelet sumber

gelombang, reflektivitas bumi dan rekaman seismik. Secara matematis, konvolusi adalah integral yang mencerminkan jumlah lingkupan dari sebuah fungsi a yang digeser atas fungsi b sehingga menghasilkan fungsi c. Konvolusi dilambangkan dengan asterisk ( *). Sehingga, a*b = c berarti fungsi a dikonvolusikan dengan fungsi b menghasilkan fungsi c.

15

Konvolusi dari dua fungsi a dan fungsi b dalan rentang terbatas [0, t] diberikan oleh: 𝒕

𝒂∗ 𝒃 = ∫ 𝒂 (𝝉) 𝒃 (𝒕 − 𝝉) 𝒅𝝉 𝟎

Secara diskrit :

𝒏+𝒌

𝒄 [𝒌] = ∑ 𝒂 [𝒌] 𝒃 [𝒌 − 𝒏] 𝒏=𝟎

Konvolusi dikawasan waktu (time domain) ekuivalen dengan perkalian dikawasan frekuensi dan sebaliknya konvolusi dikawasan frekuensi ekuivalen dengan perkalian dikawasan waktu. Rumus konvolusi muncul dari adanya sifat linieritas dan invarian waktu pada sistem. Sebagai konsekwensinya, respon sistem terhadap setiap sinyal masukan yang berubah-ubah dapat dinyatakan dari segi respon cuplikan unit sistem. Misal dipunyai sinyal x[n] yang berubah-ubah, maka x[n] dapat didekomposisi menjadi jumlahan bobot (skala) deret cuplikan unit yang digeser (impuls)

2.5.1 Notasi...