Matematika Teknik - Teknik Integral PDF

Preview

Summary

Matematika Teknik INTEGRASI Dr.Eng. Achmad Dwitama Karisma, S.T., M.T. DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA INDUSTRI FAKULTAS VOKASI INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER Pengertian Integral Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).  f (x )dx...

Description

Matematika Teknik INTEGRASI Dr.Eng. Achmad Dwitama Karisma, S.T., M.T.

DEPARTEMEN TEKNIK KIMIA INDUSTRI FAKULTAS VOKASI INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

Pengertian Integral Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x), maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).

 f (x )dx = F (x ) + c • ‫→׬‬notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan asal Jerman) • f(x) fungsi integran • F(x) fungsi integral umum yang bersifat F’(x) f(x) •c konstanta pengintegralan

Integral Tak Tentu Apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga, maka antiturunan dari f(x) adalah F(x)+c

 f (x )dx = F (x ) + c

• ‫→׬‬notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan asal Jerman) • f(x) fungsi integran • F(x) fungsi integral umum yang bersifat F’(x) f(x) •c konstanta pengintegralan

Teknik Integrasi Teorema 1: Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka : 1 𝑛 න 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑛+1 + 𝑐 𝑛+1

Contoh: න 𝑥 5 𝑑𝑥

1 = 𝑥 5+1 + 𝑐 5+1 1 6 = 𝑥 +𝑐 6

Teknik Integrasi Teorema 2: Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka : න 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

Teknik Integrasi Teorema 3: Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka : න(𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 ) 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Teorema 4: Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka : න(𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 ) 𝑑𝑥 = න 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Teknik Integrasi Teorema 5: Aturan integral substitusi-u Jika u suatu fungsi dari x: 𝑑𝑢 න 𝑓(𝑢) 𝑑𝑥 = න 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 𝑑𝑥

Teknik Integrasi

Teknik Integrasi

Teknik Integrasi Integrasi dengan subtitusi: 1. Pilihlah u, misal u=g(x) 𝑑𝑢 2. Tentukan = 𝑔′ 𝑥 𝑑𝑥 3. Subtitusikan u=g(x), du=g’(x) pada step ini, integrasi harus dalam suku-suku u, tidak boleh tersisa suku dalam x 4. Selesaikan integral yang dihasilkan 5. Ganti u dengan g(x), sehingga diperoleh jawaban akhirnya dalam suku-suku x

Teknik Integrasi Latihan න 2𝑥(𝑥 2 + 1)3 𝑑𝑥 න 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑑𝑥



2 x 2 dx x 3 +1

Teknik Integrasi

1 1.  x dx = X n +1 + C n +1 dx 2.  = ln x + C x n

3.  e x dx = e x + C 1 kx 4.  e dx = e + C k x a x 5.  a dx = +C ln a kx

Teknik Integrasi Bila bertemu dengan integran yang pengintegralannya tidak dapat dibawa ke bentuk dasar, salah satu cara penyelesaiannya adalah dengan metode integral parsial Dengan pemisalan: u = f(x) dan v = g(x). Jika u dan v masing-masing fungsi terhadap x serta merupakan dua buah fungsi yang diferensiabel, maka 𝑑 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑑 𝑢𝑣 − 𝑣 𝑑𝑢 න 𝑢 𝑑𝑣 = න 𝑑(𝑢𝑣) − න 𝑣 𝑑𝑢 න 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣 𝑑𝑢

Teknik Integrasi Teorema 6: Aturan integral parsial Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

න 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣 𝑑𝑢 Syarat umum yang harus dipenuhi : a. Pilih fungsi yang paling sederhana untuk dipakai sebagai u. b. Bagian yang dipilih sebagai dv harus dapat di integralkan.

c. ‫ 𝒖𝒅 𝒗׬‬tidak boleh lebih sulit daripada ‫𝒗𝒅 𝒖׬‬

Teknik Integrasi Contoh: න 2𝑥(3𝑥 − 5)6 𝑑𝑥

න 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 − න 𝑣 𝑑𝑢

Fungsi paling sederhana →sebagai u, sehingga u=2x Fungsi lainnya sebagai dv, maka 𝑑𝑣 = (3𝑥 − 5)6 Menentukan nilai du dan v, maka Turunan dari u → du=2 dx 1 1 Integral dari dv → 𝑣 = ‫(׬‬3𝑥 − 5)6 𝑑𝑥 = 7 × 3 (3𝑥 − 5)7 +𝐶 1 𝑣= (3𝑥 − 5)7 +𝐶 21

Teknik Integrasi Contoh: ‫ ׬‬2𝑥(3𝑥 − 5)6 𝑑𝑥 , u=2x 𝑑𝑣 = (3𝑥 − 5)6

dimana ‫ 𝑣𝑢 = 𝑣𝑑 𝑢׬‬− ‫𝑢𝑑 𝑣׬‬ 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 1 𝑣 = (3𝑥 − 5)7 +𝐶 21

Teknik Integrasi Contoh: ‫ ׬‬2𝑥(3𝑥 − 5)6 𝑑𝑥 ,

dimana ‫ 𝑣𝑢 = 𝑣𝑑 𝑢׬‬− ‫𝑢𝑑 𝑣׬‬ 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 1 𝑣 = (3𝑥 − 5)7 +𝐶

u=2x 𝑑𝑣 = (3𝑥 − 5)6

21

u [diturunkan]

dv [diintegralkan]

2𝑥

(3𝑥 − 5)6 1 (3𝑥 − 5)7 21 1 1 1 . . (3𝑥 − 5)8 21 3 8

2

0 න 2𝑥(3𝑥

− 5)6 𝑑𝑥

1 1 1 1 7 = 2𝑥 × (3𝑥 − 5) −2 × × × 3𝑥 − 5 21 21 3 8 2 1 (3𝑥 − 5)7 − 3𝑥 − 5 21 252

8

+𝐶

8

+𝐶

Teknik Integrasi

Teknik Integrasi

Teknik Integrasi Teorema 7: Integrasi pecahan dan parsial Misalkan kita menjumpai persoalan 𝑥+1 න 2 𝑑𝑥 𝑥 − 3𝑥 + 2 (Pembilangnya bukan koefisien diferensial dari penyebutnya) → Integrasi pecahan parsial

Teknik Integrasi Teorema 7: Integrasi pecahan dan parsial

Teknik Integrasi Contoh: 𝑥+1 න 2 𝑑𝑥 𝑥 − 3𝑥 + 2

Difaktorkan menjadi →

𝑥+1 (𝑥−1)(𝑥−2)

Dari kaidah pecahan parsial, (ax+b) memberikan pecahan parsial 𝐴 berbentuk , sehingga (𝑎𝑥+𝑏) 𝑥+1 𝐴 𝐵 = + (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) Kemudian, kedua ruas dikalikan dengan (x-1)(x-2), maka 𝑥 + 1 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 − 1)

Teknik Integrasi 𝑥 + 1 = 𝐴 𝑥 − 2 + 𝐵(𝑥 − 1) kemudian dicari harga A dan B dengan cara memasukkan harga x sembarang. (jika mungkin, pilih x yang membuat salah satu harga dalam tanda kurung=0) ambil (x-2)=0; maka x=2 (2)+1 = 𝐴 (2) − 2 + 𝐵((2) − 1) 𝐵=3 ambil (x-1)=0; maka x=1 (1) + 1 = 𝐴 1 − 2 + 𝐵((1) − 1) 𝐴 = −2 jadi, 𝑥+1 −2 3 = + (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 − 1) (𝑥 − 2)

Teknik Integrasi jadi,

𝑥+1 −2 3 = + (𝑥 − 1)(𝑥 − 2) (𝑥 − 1) (𝑥 − 2) Sehingga, 𝑥+1 3 −2 න 2 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 + න 𝑑𝑥 𝑥 − 3𝑥 + 2 (𝑥 − 2) 𝑥−1 = 3 ln 𝑥 − 2 − 2 ln 𝑥 − 1 + 𝐶

Teknik Integrasi Soal: Hitunglah:

(𝑥 + 2) න 𝑑𝑥 2 (𝑥 − 2) (𝑥 2 + 1) න 𝑑𝑥 3 (𝑥 + 2)

Integrasi Tertentu • Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilainilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas) tertentu. • Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :

b

 f ( x)dx a

•

f(x) : integran a : batas bawah b : batas atas

Integrasi Tertentu Bila digambarkan suatu persegi panjang pada suatu koordinat cartesius, luas persegi panjang tersebut dengan mudah dapat dicari. Pada gambar berikut Luas persegi panjang adalah A=f(x)Δx.

Integrasi Tertentu Jika jumlah persegi panjangnya kita perbanyak lagi menjadi 10 dengan tinggi f(x)-nya yang berbeda-beda dan dengan Δx – nya kita perkecil, maka: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1

Integrasi Tertentu Bila jumlah persegi panjang kita tambah lagi, n→∞ sehingga Δx→0 , maka tinggi f(x) untuk setiap Δx berubah secara kontinu mengikuti persamaan 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 1. Sehingga luas keseluruhan persegi panjangnya dinyatakan sebagai 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1 ∞

𝐴 = lim ෍ (𝑥 2 + 1)∆𝑥 ∆𝑥→0

𝑛→1

𝐴 = න(𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 1

𝐴 = න(𝑥 2 + 1) 𝑑𝑥 0

Integrasi Tertentu 𝑏

න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 𝑎

𝑏 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎) 𝑎

𝑎

න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 0 𝑎 𝑏

𝑎

න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = − න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎 𝑐

𝑏 𝑏

𝑐

න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + න 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

𝑎

𝑏

Integrasi Tertentu Dua kurva masing-masing dengan persamaan y = f(x) dan y = g(x), merupakan kurva-kurva yang kontinu dan f(x) > g(x) dalam interval a < x < b. Daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), kurva y = g(x), garis x = a dan garis x = b Maka, Luas ABCD = Luas EFCD – Luas EFBA

Luas ABCD...