MATEMATIKA TEKNIK I Belajar Matematika Teknik dengan alat bantu Scilab PDF

Preview

Summary

MATEMATIKA TEKNIK I Untuk Teknik Elektro Supriono [email protected] Belajar Matematika Teknik dengan alat bantu Scilab Kata Pengantar Bismillahirrahmanirrahim. Segala puji Bagi Allah, Tuhan seru sekalian alam yang telah membimbing penulis untuk memperbaiki buku pegangan Matematika Teknik bagi m...

Description

Accelerat ing t he world's research.

MATEMATIKA TEKNIK I Belajar Matematika Teknik dengan alat bantu Scilab Supriono Muda

Related papers

Download a PDF Pack of t he best relat ed papers 

Rangkaian List rik II Asnia Aisya FISIKA KUANT UM saepul bahri PENGANTAR PENGANTAR PENGANTAR PENGANTAR FISIKA MAT EMAT IK FISIKA MAT EMAT IK FISIKA M… Linda Rahmadhani

MATEMATIKA TEKNIK I Untuk Teknik Elektro

Supriono [email protected]

Belajar Matematika Teknik dengan alat bantu Scilab

Kata Pengantar Bismillahirrahmanirrahim. Segala puji Bagi Allah, Tuhan seru sekalian alam yang telah membimbing penulis untuk memperbaiki buku pegangan Matematika Teknik bagi mahasiswa Teknik Jurusan Teknik Elektro. Buku ini disusun selain sebagai bekal untuk mempelajari mata kuliah tingkat lanjut juga untuk memberikan gambaran bagi mahasiswa Teknik Elektro tentang permasalahan dibidang Teknik Elektro. Agar tujuan dari buku ini dapat tercapai maka disarankan bagi pengguna untuk menggunakan Scilab, yang dapat didownload di “www.scilab.org”. Pilihan penulis untuk menggunakan Scilab karena aplikasi ini dapat didownload secara gratis serta memiliki banyak fungsi untuk bidang Engineering. Selain itu, Scilab memiliki beberapa toolbox, didalam Scial disebut ATOM, dapat kita pilih sesuai dengan kebutuhan kita. Toolbox di Scilab sangat lengkap dan Powerfull untuk bidang Teknik Elektro. Penulis menyarankan agar para pembaca tidak hanya menginstall Scilab saja tetapi juga harus melengkapi dengan ATOM (toolbox). Penulis menyadari banyak dari pembaca belum mengetahui tentang Scilab maka penulis melampirkan tentang Scilab diakhir buku ini sebagai lampiran. Pada lampiran pertama sangat berguna bagi pembaca yang sama sekali tidak mengetahui tentang Scila. Lampiran pertama tersebut karangan Mirza Nur Hidayat. Agar pembaca memiliki pengetahuan yang lebih tentang grafik, maka penulis pada lampiran kedua menulis khusus tentang Grafik yang berjudul “Grafik Dua Dimensi”. Karena buku ini ditujukan bagi mahasiswa Elektro maka pada lampiran akhir, penulis melampirkan bagaimana menghubungkan Scilab dengan Arduino. Lampiran tersebut berjudul “SCILAB untuk Elektronika dan Instrumentasi Dasar” yang ditulis oleh Mirza Nur Hidayat. Walaupun buku ini telah diterapkan semenjak tahun 2002 tetapi masih banyak kekurangan ataupun kesalahan karena rendahnya ilmu yang penulis miliki. Menyadari semua kekurangan dan kelemahan pada diri penulis maka sangat diharapkan kritik dan saran serta masukan dari semua pihak untuk perbaikan buku ini. Disisi lain buku ini boleh dicopy, diperbanyak, didistribusikan kepada orang lain dan mengambil keuntungan dari buku ini tampa ada pelanggaran hak cipta karena buku ini bersifat Open Content atau lebih dikenal dengan nama Copy Left. Aturan mainnya hanyalah anda tetap wajib mencantumkan nama penulis. Kiranya buku ini dapat menjadi salah satu bagian dari untaian mutiara ilmu yang sedang dirajut dan menjadi amalan Zariah bagi Penulis. Amin Ya Rabbalalamin. Mataram, September 2017 Supriono [email protected]

DAFTAR ISI

Halaman Sampul Dalam ..............................................................................................................................i Kata Pengantar ..............................................................................................................................ii DAFTAR ISI

...............................................................................................................................iii

BAB I

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1. Pendahuluan .................................................................................................................1. 2. Penyelesaian Persamaan Dierensial Orde Satu

...........................................................2.

3. Orthogonal Trayektori ..................................................................................................15. 4. Penerapan Persamaan diferensial Orde Satu ................................................................18. BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA

1. Pendahuluan ..................................................................................................................30. 2.Persamaan Diferensial Orde Dua dengan Koefisien Konstan – Penyelesaian Umum ....32. 3. Persamaan Diferensial dalam Sistem Linier .................................................................38. 4. Aplikasi Persamaan Diferensial Linier Orde Dua .....................................................…51. 5. Persamaan Diferensial Euler - Cauchy BAB III

........................................................................65.

PEMETAAN LAPLACE

1. Pendahuluan .................................................................................................................68. 2. Penerapan Pemetaan Laplace pada Persamaan Diferensial .........................................74. 3. Uraian Atas Pecahan Parsial ........................................................................................80. 4. Fungsi Unit Step, Pergeseran pada Salib Sumbu-s dan Pergeseran pada salib sumbu-t

......................................................................................................................83.

5. Fungsi Fungsi Periodik 6. Konvolusi

...............................................................................................89.

...................................................................................................................97.

BAB IV

DERET FOURIER

1. Pendahuluan

...............................................................................................................105.

2. Representasi Fungsi Fungsi Periodik dalam Deret Fourier ..........................................106. 3. Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil .................................................................................110. 4. Pemetaan Cosinus Fourier dan Pemetaan Sinus Fourier ..............................................123. 5. Pemetaan Fourier BAB V

.........................................................................................................127.

KALKULUS DIFERENSIAL VEKTOR

1. Pendahuluan.

..............................................................................................................134.

2. Tangen, Panjang Busur dari Kurva .............................................................................136. 3. Kecepatan dan percepatan 4. Divergensi dan Curl BAB VI

.........................................................................................140.

..................................................................................................142.

DERET

1. Pendahuluan

...............................................................................................................145.

2. Deret Mac Laurin dan Deret Taylor

...........................................................................149.

3. Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Deret .....................................................151. 4. Persamaan Diferensial Orde Dua dengan Koefisien Berubah ......................................159. 5. Persamaan Legendre ....................................................................................................162. BAB 7

MATRIK DAN DETERMINAN 1. Definisi ........................................................................................................................165. 2. Sistem Persamaan Linier .............................................................................................171. 3. Eigen Value dan Eigen Vector ....................................................................................173. 4. Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Metode Matrik ......................................177. 5. Penerapan dalam Bidang Teknik ..................................................................................185.

Lampiran

.

SCILAB

Persamaan Diferensial Orde Satu

BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU

1. Pendahuluan

Persamaan diferensial menyatakan hubungan dinamik antara variabel bebas dan variabel tak bebas, maksudnya hubungan tersebut memuat besaran besaran yang berubah, dan karena itu persamaan persamaan diferensial sering muncul dalam persoalan persoalan teknik . Orde suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan diferensial tersebut. Contoh. dy −4y 2 =0 dt

Orde satu

:

3t

Orde dua

:

5 ty

Orde tiga

:

d2 y dy −6  y sin  t =0 dt dt 2

3

d y dt 3

−5y2=0

dst.

Setelah mempelajari persamaan diferensial orde satu maka diharapkan dapat : 1.

Dapat menyelesaikan persamaan diferensial orde satu dengan bermacam macam metode.

2.

Dapat menyelesaikan keadaan transien rangkaian RL atau rangkaian RC.

1

Persamaan Diferensial Orde Satu

2

Penyelesaian Persamaan Diferensial Orde Satu 2.1 Metode Integrasi Langsung. Jika persamaan differensial dapat disusun dalam bentuk :

dy = f t  dt

, maka

persamaan dapat diselesaikan dengan metode integrasi sederhana.

Contoh 1. 2t

dy 2 −2t −8=0 dt

… … … … … … … … … … … … … …. … … … … … … (1)

 

dy 4 =t  dt t

⇒

⇒ y=

⇒∫ dy=∫ t 

1 2 t 4 ln t C 2

4 dt t

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .(2)

Persamaan (2) disebut penyeselaian umum bagi persamaan diferensial (1). Jika harga y diketahui pada harga t tertentu maka harga C dapat ditentukan dan penyeselaiannya disebut penyelesaian khusus.

Contoh 2. e

t

⇒

dy 2t 4 e −5=0 dt

pada t = 0 , y = 0 … … … … … … … … … … … … … ... ...(3)

dy =−4 et 5e−t dt

… … … … …. … … … … … … … … … … … … … … … (4)

⇒∫ dy=∫ ( −4 e t +5 e−t ) dt t

−t

⇒ y=−4 e −5 e +C

… … … … …. … … … … … … … … … … … … …(5)

dengan memasukkan harga t dan y kedalam persamaan (4) maka Harga C diperoleh ⇒ y=−4 e t −5 e−t +9

… … … … … … …. … … … … … … … … … … … …(6)

Persamaan (5) adalah penyelesaian khusus dari persamaan diferensial (3). Penyelesaian mempergunakan komputer dengan program Scilab. Penyelesaian persamaan differensial dengan scilab kita harus mengubah persamaan differensial menjadi bentuk :

2

Persamaan Diferensial Orde Satu

dy =f (t , y) dt

dengan

y (t 0 )= y 0

Sehingga persamaan (3) kita rubah menjadi bentuk persamaan (4). Program komputer dengan Scilab ditulis sebagai berikut : function ydot=f(t, y) ydot = (-4*exp(t)) + (5*exp(-t)); //persamaan (4) endfunction y0=0; t0=0; //respons dinamis(perubahan thd waktu) diamati dari t = 0 sampai t = pi

t=0:0.1:%pi; y = ode(y0,t0,t,f); plot2d(t,y); xgrid(5);

Gambar 1. Penyelesaian persamaan differensial pada persamaan (3) Sebagai bahan latihan selesaikanlah :

3

Persamaan Diferensial Orde Satu

dy −sin(3 t )+ 4t 3 . e 3t +5=0 dt

1.

et

2.

cos ( 2 t )

3.

5t

dy +5sin (2 t )−5 t 3=0 dt

dy dy −5t 2 +5=0 dt dt

Supplemen Integral 1.

∫ f 1 x  dx= f '1 x ln f  x 

2. Menghitung Integral dengan menggunakan Scilab. Ada dua fungsi dalam menghitung integral dengan menggunakan Scilab yaitu fungsi y = integ(a, b, “f”) dan fungsi y = integrate(“f(t)”, “t”, a, b). integral yang dimaksud adalah berbentuk : b

y=∫ f (t ). dt a

Contoh . 3

Hitunglah integral :

∫ 3 t 2+2 t dt 0

a. Menggunakan fungsi y = intg(a, b, “f”) function y=f(t) y = (3*t^2) + (2*t) endfunction y = intg(0, 3, f); disp(y);

b. Menggunakan fungsi y = integrate(“f(t)”, “t”, a, b) y = integrate("(3*t^2) + (2*t)", "t", 0, 3) disp(y)

4

Persamaan Diferensial Orde Satu

2.2 Metode Pemisahan Variabel. Metode Integrasi langsung akan gagal jika diterapkan pada persamaan diferensial

yang berbentuk

dy = f ( t , y ) , variabel dt

y yang berada pada ruas kanan

mengakibatkan integrasi langsung tidak dapat diterapkan. Penyelesaian persamaan diferensial berbentuk

dy =f (t ,y) dt

adalah dengan

memisahkan variabel t dan variabel y sehingga persamaan dapat berbentuk dy = f ( t) . F ( y ) dt

yaitu suatu persamaan yang ruas kanannya dapat dinyatakan

sebagai perkalian fungsi t dan fungsi y.

Contoh 3. dy =1+t+2 y +2 yt dt ⇒

.. … … … … … … … … … … … … … … … … … …. …(6)

dy =( 1+t )( 1+2 y ) dt

⇒

1 1 ⇒ ln ( 2 y +1 )=t + t 2 +C 2 2

( 1+2dy y )=( 1+t ) dt

⇒∫

( 1+12 y ) dy=∫ ( 1+t ) dt

… … … … … … … … … … … … … … … … … (7)

Contoh 4. dy 3 t 2 = dt 2 y

dengan t = 0, y = 4 … … … … … … … … … … … … … … … … (8)

⇒ 2 y . dy=3 t 2 . dt y 2 =t 3 +C

⇒∫ 2 y . dy=∫ 3 t 2 dt

dengan memasukkan harga t dan y diperoleh harga C

∴ y 2=t 3 + 16 y=√ t 3+16

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (9)

5

Persamaan Diferensial Orde Satu

Untuk menguji jawaban sudah benar atau tidak maka perlu dicocokkan dengan metode komputer yaitu dengan fungsi ode pada Scilab. Script program tersebut adalah : function ydot=f(t, y) ydot = (3/2)*((t^2)/y); endfunction y0=4; t0=0; //respons dinamis(perubahan thd waktu) diamati dari t = 0 sampai t = pi t= linspace(0, 3, 500); ys = ode(y0,t0,t,f);

// ys = y dengan Scilab

ym = sqrt((t.^3)+16 ); //ym = y dengan Matematis atau persamaan (9) subplot(2,1,1), plot2d(t, ys); xgrid(); xtitle("Hasil dengan menggunakan fungsi ODE"); subplot(2,1,2), plot2d(t, ym); xgrid(); xtitle("Hasil dengan menggunakan Matematika");

Gambar 2. Penyelesaian persamaan (8) secara Matematis dan secara Komputer

6

Persamaan Diferensial Orde Satu

Contoh 5. dy 1+ y = dt 2+ t ⇒∫

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …(10)

( 1+1 y ) dy=∫( 2+t1 ) dt

∴ y=C ( 2+ t )−1

⇒ln ( 1+ y )=ln ( 2+t ) +ln C

… .. … … … … … … … … … … … … … … … … … … (11)

Sebagai bahan latihan selesaikanlah persamaan diferensial dibawah ini, kemudian verifikasilah jawaban dengan menggunakan Komputer dy =( 4+2 y ) .cos (2 t ) dt

1.

2 y 2 +t

2.

dy 1 = +sin( 5 t ) dt t

y(0) = 2;

y(0) = 7.

Tips. Untuk menghindari tak terhingga maka 3.

dy = yt+ y + 2t +2 dt

4.

dy 1 = dt t 2 y− y

5.

sin(t ) dy =2 cos (t ) 1+ y dt

6.

2 y 2 tan( t )

1 t

diubah menjadi

1 t +1. d−7

y(0) = 5;

y(0) = 3;

y(0) = 0; Tips sin(t) diubah menjadi sin(t)+1.d-7

dy =( 4+ 2 y 2 ) sec 2 (t ) dt

Pengerjaan untuk no.6. Rubahlah bentuknya menjadi :

2 dy (4+ 2 y ). sec(t+1. d−7) = dt 2 y 2 .( tan(t)+1. d−7)

7

Persamaan Diferensial Orde Satu

2.3 Metode Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = vt Jika suatu persamaan diferensial tidak dapat dipisahkan antara faktor y disebelah kiri dan faktor t disebelah kanan maka dapat dilakukan dengan cara substitusi (y = vt). Kunci utama untuk menggunakan metode substitusi y = vt adalah persamaan diferensial tersebut haruslah homogen. Persamaan diferensial dikatakan homogen jika pangkat t dan pangkat y yang terlibat dalam masing masing suku sama derajatnya. Contoh 6. dy 3 t+ y = dt t

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … (12)

dengan menggunakan substitusi y = vt kedalam persamaan (12) ⇒

y = vt

∴

dy dv dt =t +v dt dt dt

dy dv =t +v dt dt

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … (13)

persamaan (12) dapat ditulis menjadi ⇒t

dv 3 t +vt +v = dt t 3

v=C ln (t ) karena

v=

⇒t

dv =3+ v−v dt

⇒

dv 3 = dt t

v=3C ln(t )

… … … … … … … …. …. … …. … … …. … … … … … …(14)

y t

maka persamaan (14) menjadi 3

y=C .t ln (t )

… … … … … … … … … … …. … … … … … … … … (15)

Contoh 7. Selesaikanlah persamaan diferensial derajat dua dibawah ini 2

dy yt + y =− 2 dt t + yt ⇒ v+ t

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … .. (16)

( v . t ) t+ ( v .t ) dv =− 2 dt t + ( v .t ) t

2

⇒ v+t

v ( 1+v ) dv =− dt 1+v

8

Persamaan Diferensial Orde Satu

⇒t

dv =−2 v dt

∴ v=

C t2

⇒ln ( v )=C ln

(t1 ) 2

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …. … (17)

dengan memasukkan harga

v=

y t

kepersamaan (17) maka penyelesaian pers. (16)

y = C/t … … … … … … … … … … … …. …. …. … … …. …. … …. … … …. (18)

Sebagai bahan latihan selesaikanlah persamaan diferensial berikut : dy =t+2 y dt

1.

( y−t )

2.

3t2

3.

( 2 t 2 + yt ) dy = yt− y 2

4.

( 4 t3 + y 3 ) dy =ty 2

dy 2 =t +3 y 2 dt

dt

dt

2.4 Persamaan Diferensial Exact. Suatu persamaan diferensial berbentuk : M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 Exact jika memenuhi persyaratan :

∂M ∂ N = ∂y ∂x

Dikatakan Exact karena ruas kiri merupakan total atau dierensial Exact : du=

∂u ∂u . dx+ . dy ∂x ∂y

9

Persamaan Diferensial Orde Satu

∂u =M ∂x ∂u b. =N ∂y

∴ a.

Jika persamaan persamaan Exact, maka penyelesaiannya :

Harga k(y) diperoleh dari

∂u ∂y

u=∫ M . dx + k ( y ) .

untuk memperoleh

dk dy

, kemudian

untuk memperoleh

dl dx

, kemudian

mengintegralkan. u=∫ N . dy + l( x ) .

Atau :

Harga l(x) diperoleh dari

∂u ∂x

mengintegralkan. Contoh. selesaikanlah : 2x.Sin(3y).dx + (3x2.Cos(3y) + 2y).dy = 0 Jawab. M = 2x.Sin(3y)

N = (3x2.Cos(3y) + 2y) ∂N =6 x .Cos( 3 y ) ∂x

∂M =6 x . Cos(3 y ) ∂y

∂M ∂ N = ∂y ∂x

⇒ Exact

maka : u=∫ M . dx + k ( y ) u=∫ 2 x . Sin( 3 y ). dx +k ( y ) ⇒ x 2 . Sin (3 y ) + k ( y ) ∂u d =3 x 2 .Cos ( 3 y ) + . k ( y )=3 x 2 . Cos( 3 y )+2 y ∂y dy

10

Persamaan Diferensial Orde Satu

d . k ( y )=2 y dy

⇒ k ( y )= y 2 +C

maka penyelesaiaannya : u = x2 .Sin(3y) + y2 + C

Sebagai bahan latihan dirumah, jika persamaan diferensial berikut Exact, selesaikanlah : 1. 2.Sin(2x).Sinh(y).dx = Cos(2x).Cosh(y).dy. 2. 4x.dx + 9y.dy = 0

y(3) = 0.

3. (y + 3)dx + (x-2)dy = 0

y(1) = -7

2.5 Metode Faktor Inte...