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MATEMÁTICA I SESI ÓN8 : ELSI ST EMACOORDENADOBI DI MENSI ONAL  Re p r e s e n t a c i ó nd ep u n t o s .  Di s t a n c i ae n t r ed o sp u n t o s  Pe n d i e n t ed eu ns e g me n t o

INGENIERÍA INDUSTRIAL

8 . 1 I n t r o d uc c i ón La Geometría Analítica plana es una rama de la Geometría en el que se usa álgebra y el cálculo para estudiar las propiedades de las curvas en el plano. Los matemáticos franceses Descartes y Fermat, trabajando casi con independencia el uno del otro, fundaron la geometría analítica en 1637. La idea central de la geometría analítica es la correspondencia entre una ecuación F ( x , y ) =0 y el conjunto o lugar geométrico de todos aquellos puntos ( x , y ) del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

8 . 2 Si s t e mad ec oo r de n a da sb i di me n s i on a l . De fin i c i ó n1En el plano, tomamos dos líneas cualesquiera que se intersequen en ángulo recto, y llamamos origen al punto de intersección. Sea cada una de estas rectas una recta numérica, y el origen correspondiendo al cero de cada una. A menos que digamos otra cosa, la longitud unitaria será igual en ambas rectas. En la recta horizontal se toma la dirección positiva hacia la derecha del origen, y en la vertical, hacia arriba del origen. A cada una de esas dos rectas la llamaremos ejes del sistema. Lo usual es llamar eje X a la recta horizontal, y eje Y a la vertical. Los ejes dividen al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Los cuadrantes se numeran en sentido contrario al de las manecillas del reloj, como se muestra en la siguiente figura, Y

Cuadrante I

Cuadrante II 3

X 0

Cuadrante III

Fig. 1

6

Cuadrante IV

Sistema Coordenado Cartesiano

Los puntos en el plano indicados con letras mayúsculas, corresponden a pares de números, que se llaman coordenadas de esos puntos. Por ejemplo, comenzando con el origen, se puede llegar a P moviéndose 6 unidades hacia la derecha, a lo largo del eje X ; después, 3 unidades hacia arriba, en dirección paralela al eje Y . Así la primera coordenada de P , que es 6, se llama abscisa(o coordenada x ) y la segunda, 3, ordenada(o coordenada y ). Se dice que el par ordenado de números (6,3), son las coordenadas del punto P . Debido a la correspondencia uno a uno, se identifica ℝ2 con el plano geométrico. Por esta razón a un par ordenado ( x , y ) se le llama también punto.

De fi ni c i ó n 2 La distancia entre los dos puntos determinada por: |P1´P2|= ( x 2−x 1) 2+( y 2− y 1 )2

P1 ( x 1 , y 1 )

P2 ( x 2 , y 2)

y

está

√

Ej e mp l o1 . Calcúlese la distancia entre los puntos A(9,3) y B(10,3). So l u c i ó n ´ |=√ ( 9−10 )2 +( 3−3) 2 =1 |AB T e or e ma1El área del triángulo de vértices es:

A ( x1 , y1 ) ,

B ( x 2 , y 2)

y

C ( x 3 , y 3) , Fig.1,

| |

x 1 1 Area= x2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1 A

B

C Fig .

8 . 3 Pe n di e n t edeuns e gme n t o ´ , es aquel ángulo formado De fi ni c i ó n3 El ángulo de inclinación de una segmento AB por el segmento dirigida hacia arriba y la parte positiva del eje X .

De fi ni c i ó n4 La pendiente m del segmento inclinación θ , es decir, m=tan (θ ) . T e or e ma2La pendiente del segmento dirigido donde x 1 ≠ x2 , tiene pendiente y −y m= 2 1 x 2−x 1 Observación 1. 2.

´ AB

, es la tangente del ángulo de

´ , donde AB

A ( x1 , y1 )

y

B ( x 2 , y 2) ,

y su Si las ordenadas de los puntos son iguales, la recta es paralela al eje X pendiente es igual a cero. Si las abscisas de los puntos son iguales, el segmento es paralela al eje Y y su pendiente es infinita.

Fig. 7

Ej e mp l o1 3 .Determinar la pendiente del segmento dirigido

´ , donde A(-1,3) y B(4,4) AB

So l u c i ó n Por teorema 2, la pendiente del

´ AB

es: m=

1 4−3 = 4−(−1 ) 5

Ej e mp l o1 4 . Determinar si los tres puntos, A(-1,-2), B(1,2) y C(2,4) tienen la misma pendiente. So l u c i ó n Usando el teorema 2, m AB=

2−(−2 ) 4 4−2 2 =2,m = 4− (− 2 ) 6 =2 = = =2, m BC= = AC 2−1 1 1−(−1 ) 2 2− (−1 ) 3

Por lo tanto los tres puntos tiene la misma pendiente.

8 . 4 L I ST ADEEJ ERCI CI OS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Obtenga la longitud de las medianas del triángulo cuyos vértices son P (1,0 ) , Q( 8,4 ) y R (10,1 ) . A ( 3 ,−6 ) ; B (8 ,−2 ) y Demuestre que el triángulo con vértices en C (−1 ,−1 ) es rectángulo. A (−3,2 ) , Usando la definición de pendiente, demostrar si los puntos B (1 ,−2 ) y C (9 ,−10 ) tienen la misma pendiente. La abscisa de un punto Q es −2 y su distancia al punto P (−3,6 ) es √5 . Hallar la ordenada del punto Q . Hallar el área del triángulo, con vértices A ( 1,1 ) , B (3,5 ) y C (6,0 ) . Hallar el área del triángulo, con vértices A ( 4,1 ) , B (5,1 ) y C (−3,0 ) . Hallar el área del cuadrilátero, con vértices A (−1 ,−4 ) , B (0,9 ) , C (2,10 ) y D (6,0 ) ....