Material Informativo Nº 06 ok PDF

Preview

Summary

Download Material Informativo Nº 06 ok PDF

Description

MATERIAL INFORMATIVO Programa de Estudios/Programa

PROGRAMA DE FORMACIÓN HUMANÍSTICA

SESIÓN N°6

Experiencia Curricular:

PENSAMIENTO LÓGICO

SEMESTRE 2022 - I

Contenido temático:

PROPORCIONALIDAD: MAGNITUDES PROPORCIONALES. REPARTO PROPORCIONAL

Docente:

MARÍA ISABEL GONZÁLES GONZÁLEZ

Tipo de Material Informativo

GUIA PRACTICA N° 6

PROPORCIONALIDAD: MAGNITUDES PROPORCIONALES Y REPARTO PROPORCIONAL

1. MAGNITUD 

Una magnitud es una cualidad o una característica de un objeto que podemos medir. Ejemplo: longitud, masa, número de alumnos, capacidad, velocidad, etcétera.



Las magnitudes se expresan en unidades de medida. Ejemplo: metros, kilómetros, kilogramos, gramos, número de personas, litros, centilitros, kilómetros por hora, metros por segundo, etcétera.



Para cada una de esas medidas existen diferentes cantidades de esa magnitud. Ejemplo: una regla de 1 metro, una caja de 2 kilogramos, un tonel de 5 litros, 95 km/h, etcétera

https://www.digitaliapublishing.com/visor/45593 Ejemplo: La siguiente tabla muestra algunas magnitudes y su correspondiente unidad de medida: Magnitud

Unidad de medida

Tamaño de un terreno (área)

m2

Peso de una persona

kg

Sueldo de una persona Velocidad de un automóvil Temperatura

S/ km/h °C

2

2. MAGNITUDES PROPORCIONALES Relaciones entre dos magnitudes Las relaciones matemáticas que existen entre las magnitudes son de mucha importancia, ya que nos permitir deducir la variación de una magnitud, modificando los valores de las magnitudes con los que está en interdependencia, considerando que estas relaciones pueden ser sencillas (solo entre dos magnitudes) y otras más complejas (más de dos magnitudes). A continuación, estudiaremos las dos magnitudes. https://www.digitaliapublishing.com/visor/45593 A. Magnitudes directamente proporcionales (DP) Dos magnitudes son directamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra, también lo hacen proporcionalmente. Análogamente si una disminuye, la otra lo hará proporcionalmente. Notación:

Analicemos el siguiente caso: el costo del metro cuadrado de un terreno en el distrito del Agustino es de S/ 3200. Observa la siguiente tabla que relaciona el tamaño de un terreno y su precio. Tamaño del terreno 1 90 120 150 180 200 Área (m2) Precio (S/) 3200 288 000 384 000 480 000 576 000 640 000 En los valores de la tabla observamos que, si el área se multiplica por un número, entonces el precio quedará multiplicado por el mismo número. Si comparamos sus valores mediante un cociente obtenemos:

En general, para dos magnitudes A y B, estas se relacionan en forma directamente proporcional, si el cociente de sus valores correspondientes es una constante. A DP B 

Es decir:

( valor de A) k ( valor de B)

(k: constante de proporcionalidad)

a1 a2 a3 an = = =... = =k b1 b2 b3 bn

2

Algunas magnitudes directamente proporcionales son: MAGNITUD 1

RELACIÓN

Tamaño de un terreno

DP

Número de máquinas de coser Número de artículos Cantidad de proteínas consumidas

MAGNITUD 2 Precio del terreno

DP

Producción de pantalones Precio total a pagar

DP

Masa corporal

DP

B. Magnitudes inversamente proporcionales (IP) Dos magnitudes son inversamente proporcionales, si al aumentar los valores de una de ellas, los valores correspondientes de la otra disminuyen en la misma proporción. Análogamente si una de ellas disminuye, la otra aumentará proporcionalmente. Notación: Analicemos el siguiente caso: el recorrido que realiza un bus interprovincial para ir de Lima a Arequipa es de aproximadamente 1000 km. Teniendo en cuenta que el bus viaja a velocidad constante durante todo su recorrido, obtenemos la siguiente tabla que relaciona la velocidad y el tiempo de viaje. Velocidad(km/h)

50

80

100

125

Tiempo (h)

20

12,5

10

8

En los valores de la tabla observamos que, si la velocidad del bus se multiplica por un número, entonces el tiempo quedará multiplicado por el inverso del mismo número. Teniendo en cuenta cada par de valores obtenemos:

En general, dos magnitudes A y B son inversamente proporcionales si el producto de sus valores correspondiente es constante.

A IP B  (valor de A)(valor de B) k

(k es constante de

proporcionalidad)

Algunas magnitudes inversamente proporcionales son: MAGNITUD 1

RELACIÓN

Número de inasistencias al trabajo

IP

Número de trabajadores

IP

Velocidad de desplazamiento

IP

MAGNITUD 2 Remuneración Número de días para terminar un trabajo Tiempo de viaje

2

Altura msnm

IP

Presión atmosférica

Ejemplo 1: Indique, entre los siguientes pares de magnitudes, los que son directamente proporcionales y los que son inversamente proporcionales. MAGNITUD 1

RELACIÓN

MAGNITUD 2

Número de obreros empleados. Los días de trabajo

Trabajo realizado Horas diarias que se trabajan

El espacio recorrido

El tiempo utilizado en la velocidad.

El número de cosas compradas.

El monto a pagar.

El peso de la mercancía. El número de obreros empleados El tiempo utilizado en producir.

El precio a pagar de esa mercancía. El tiempo necesario para hacer una obra. Número de unidades producidas

Ejemplo 2: Carlos trabaja como vendedor en una tienda de electrodomésticos y recibe una comisión de S/ 150 por cada televisor vendido cuyo valor sea mayor a S/ 1000. ¿cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000 tendrá que vender para recibir S/ 2400 de comisión al mes? Solución: Identificamos datos significativos  Comisión S/ 150 por cada tv cuyo valor sea mayor a S/ 1000.  ¿Cuántos televisores cuyo valor sea mayor a S/ 1000, tendrá que vender para recibir S/ 2400 de comisión al mes?

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Estrategia: Sí se incrementa el número de televisores vendidos, entonces la comisión será mayor. Por tanto N° de televisores DP Comisión

Interpretamos el resultado: Para que Carlos reciba una comisión de S/ 2400 deberá vender 16 televisores en el mes, considerando que el precio del tv es mayor a S/1000. Reflexionamos sobre los resultados

2

Si vendemos más televisores obtenemos más comisión por ello: Establecemos que: Por tanto

N° de televisores DP Comisión

:

240

3. REPARTO PROPORCIONAL Consiste en repartir o dividir cierta cantidad en forma proporcional a determinados factores o números, llamados índices de reparto. Los elementos que siempre se encuentran presentes en un reparto proporcional son: cantidad a repartir, factores o índice de reparto y cociente de reparto o cantidad recibida. Cuando escuchamos la palabra reparto imaginamos una división en partes iguales; sin embargo, no siempre es el caso, en muchas ocasiones se toman en cuenta números indicadores de la forma en que se va a realizar el reparto. Reparto Proporcional Simple: Es aquel reparto que se realiza en forma proporcional a un solo grupo de índices, este reparto puede ser de dos tipos: A. Reparto Simple Directo: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son directamente proporcionales a los índices. En general repartir una cantidad N DP a los índices a1 , a 2 , a 3 ,.... , a n Se cumple que las partes obtenidas: P1 , P2 , P3 , .... , Pn son DP a los índices.

P1 P2 P3 P     n k a1 a2 a3 an

, donde N  P1 P2  P3  ... P n

B. Reparto Simple Inverso: Al efectuar este tipo de reparto, se obtienen partes que son inversamente proporcionales a los índices. En general repartir “N” IP a los índices a1 , a2 , a3 ,.... , an Se cumple que las partes obtenidas: P1 , P2 , P3 , .... , Pn son IP a los índices.

P1.a1 P2.a 2 P3.a3  Pn.a n k

2

Además: N  P1  P2  P3  ... Pn C. Reparto Compuesto: Se determina así, al repartir una cantidad en partes que son directamente e inversamente proporcional a la vez. En general, si repartimos N en partes determinadas que son P 1 ; P2 ; P3 ; …… ; P n que son en forma DP a los índices a1, a2; ……; an e IP a los índices b1 ; b2 ; ….. ; bn ; en donde se cumple que:

Donde:

Ejemplo 4: Alfredo Yatsety, Benancio Martínez y Cesar Altamirano, se asocian para realizar un negocio de venta de Autopartes tanto de Autos y como para motos lineales; para lo cual hacen sus aportaciones y así realizar la idea emprendedora. Alfredo Yatsety aporta S/ 3000, Benancio Martínez aporta la cantidad de S/2500 y Cesar Altamirano con S/ 1500. Si se proyecta una utilidad de S/ 56 000. ¿Cuánto le correspondería a cada uno? Solución:

2

Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Socios que aportan:  Alfredo Yatsety aporta S/ 3000.  Benancio Martínez con S/2500  Cesar Altamirano S/ 1500.  utilidad de S/ 56 000  ¿Cuánto le correspondería a cada uno?

Como sabemos que: La utilidad es DP a sus aportes y se determina la constante de proporcionalidad:

Se establece que,

Reemplazamos K = 8 y obtenemos que: Alfredo Yatsety: A = 3000(8) = 24 000 soles. Benancio Martínez: B = 2500(8) = 20 000 soles. Cesar Altamirano: C = 1500(8) = 12 000 soles. Interpretamos el resultado: Como el reparto es directamente proporcional a sus aportes, hallamos la constante de proporcionalidad k=8 y la multiplicamos por sus aportes de cada socio y obtenemos que Alfredo Yatsety recibirá 24 000 soles, Benancio Martínez 20 000 soles y Cesar Altamirano 12 000 soles. Reflexionamos sobre los resultados Importante identificar que por dato la utilidad es DP a los aportes Por ello quien más aporta recibe más utilidad y en este caso Alfredo Yatsety recibe 24000 soles. Ejemplo 5: El gerente de una empresa de servicios de taxi desea disminuir el índice de infracciones a las normas de tránsito y decide repartir un bono de S/ 8 460 entre sus trabajadores. El reparto se realizará de manera inversamente proporcional a las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trabajador

N° de infracciones

Javier Leonardo Carlos

4 5 3

Calcular el monto que recibirá cada uno. Solución:

2

Identificamos datos significativos

 Bono que se repartirá de S/ 8 460  Reparto IP las infracciones cometidas según la información de la tabla: Trabajador

N° de infracciones

Javier Leonardo Carlos

4 5 3

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia Como el reparto es inversamente proporcional a 4, 5 y 3; entonces determinamos la constante de proporcionalidad.

J x 4 L x 5 C x 3 k

k   J 4  k   L  5  k  C 3

Replanteando las cantidades que le corresponde a cada uno llegamos a la ecuación:

Por lo tanto, cada uno recibe:

10 800 2700 soles 4 10 800 Leonardo: L  2160 soles 5 10 800 Carlos: C  3600 soles 3

Javier: J 

Interpretamos el resultado: Como el reparto es IP obtenemos la contante K, que dividimos en cada infracción y obtenemos que el bono es mayor para el que tiene menos infracción: Carlos recibe 3600 soles por tener menos infracción, seguida por Leonardo recibe 2160 soles y Javier 2700 soles Reflexionamos sobre los resultados Como el reparto IP a las infracciones cometidas Carlos tiene menos infracciones le corresponde mayor bono recibe 3600 soles

Ejemplo 6: Un gerente desea repartir una gratificación de S/ 42,000 entre sus 3 empleados en partes DP a sus sueldos (S/ 3200, S/ 4200 y S/ 5400) e IP a sus faltas (4, 6 y 9 días, respectivamente). ¿Cuánto le corresponde a cada uno? Solución:

2

Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

 Sueldo de la 1 persona S/ 3200.

 Sueldo de la 2 persona      

S/4200. Sueldo de la 3 persona S/ 5400. Faltas de la 1 persona 4 días Faltas de la 2 persona 6 días Faltas de la 3 persona 9 días Gratificación de S/ 42 000 ¿Cuánto le correspondería a cada uno?

Como sabemos que: La gratificación es DP a sus sueldos e IP a sus faltas, determinamos la constante de proporcionalidad compuesta:

Se establece que,

Reemplazamos K = 20 y obtenemos que: 1 persona: A = 800(20) = 16 000 soles. 2 persona: B = 700(20) = 14 000 soles. 3 persona: C = 600(20) = 12 000 soles. Interpretamos el resultado: Como el reparto es una forma compuesta, hallamos la constante de proporcionalidad k=20 y la multiplicamos por la fracción formada por el índice inverso entre el índice directo de cada persona y obtenemos que la 1 persona recibirá 16 000 soles, la 2 persona 14 000 soles y la 3 persona 12 000 soles. Reflexionamos sobre los resultados Importante identificar que por dato la gratificación es DP a los sueldos e IP a sus faltas Por ello quien menos sueldo recibe y menos falta tiene, es el que recibe más.

CASOS DIDÁCTICOS Instrucciones: Resuelve las siguientes situaciones contextuales aplicando los conceptos de magnitudes proporcionales y reparto proporcional. Manejo de conceptos: 1._ Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) La cantidad de panes que como y lo que gasto comiendo es inversamente proporcional……… ( ) b) La representación grafica de dos magnitudes directamente proporcionales es una recta que pasa por el origen ……………………………………………………………………………………………………………………………. ( ) c) El grueso de un libro y número de páginas, es una proporción directa. ………………………………. ( ) 2._ Determine si se trata de magnitudes directa o inversamente proporcionales colocando D si es el caso directo o I si es el caso Inverso.

2

a) b) c) d)

Días que alcanzan las provisiones y el numero de personas por alimentar………………………… ( ) Números de personas trabajando y tiempo empleado en terminar el trabajo…………………… ( ) Cantidad de litros de bencina y el precio respectivo…………………………………………………………… ( ) Mejor respuesta en una evaluación y su nota…………………………………………………………………….. ( )

Habilidades de cálculo: 3._ En una biblioteca se colocan 2610 libros en dos muebles de 40 y 50 estanterías cada uno, ¿cuántos libros se colocarán en cada mueble si se reparten proporcionalmente al número de estantes de cada uno?

Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados 4._ Tres jugadores de fútbol se reparten 36 000 euros en proporción directa al número de partidos que ha jugado cada uno. Si jugaron 12, 15 y 18 respectivamente, ¿Cuánto recibe cada jugador?

Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

5._ Si al distribuir una cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20 euros ¿cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas?, ¿cuál es la constante de proporcionalidad inversa

Identificamos datos significativos

Diseñamos y ejecutamos el Plan y la estrategia

Interpretamos sobre los resultados Reflexionamos sobre los resultados

2

PENSAMIENTO EN ACCIÓN PENSAMIENTO EN ACCIÓN SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 01 EL CENSO EN CIFRAS Censo nacional se dio en medio de reclamos, omisiones y calles vacías. La población cumplió, el INEI no. Pasadas las 5 p.m. no se terminó de censar a todas las casas de las zonas urbanas. El INEI precisó que hubo una omisión del 2% que se atenderá en estos días. Empadronadores denunciaron problemas logísticos y hasta una violación. No hubo transporte público. En La Convención (Cusco) se suspendió el censo. Hoy arranca en el área rural.

16.1%

B. Identifica y escribe las magnitudes con sus respectivas unidades que cita la fuente. C. Estima la razón entre el número de viviendas a censar del área urbana y las del área rural. Interpreta tu respuesta. D. Determina la razón entre el número de empadronadores y el número de viviendas a censar, en el área rural e interpreta tu respuesta. Asimismo, con relación a la razón determinada, estimar la cantidad de viviendas que habrían censado 1000 empadronadores rurales. E. Asumiendo que la población del país se incrementaría en la misma proporción que en la década 2007 - 2017, calcula la población estimada para el año 2027. F. Analizando el porcentaje de crecimiento de las viviendas en edificio en los últimos años, ¿cuál es tu apreciación crítica al respecto?

2

SITUACIÓN CONTEXTUAL N° 02 MINSA: CASOS CONFIRMADOS POR CORONAVIRUS COVID-19 ASCIENDEN A 1 338 297 EN EL PERÚ (COMUNICADO N°440) Fuente: MINSA 2 de marzo de 2021 - 9:20 p. m. Con relación al procesamiento de las muestras (moleculares, antigénicas y serológicas o rápidas) por coronavirus COVID-19, el Ministerio de Salud (Minsa) informa a la población lo siguiente: 1.

Hasta las 22:00 horas del día 1 de marzo de 2021 se han procesado muestras para 7 648 496 personas por la COVID-19, obteniéndose, 1 338 297 casos confirmados y 6 310 199 negativos. a. Personas muestreadas 7 648 496 b. Resultados negativos 6 310 199 c. Casos confirmados 1 338 297 2. Durante el 1 de marzo se registraron los resultados de 43 982 personas muestreadas, de los cuales 3 135 fueron casos sintomáticos confirmados de ese día. 3. Se registraron parcialmente, además, los resultados de 5 358 casos confirmados por COVID19 de los siete días anteriores. 4. A la fecha, se tienen 15 221 pacientes hospitalizados por la COVID-19, de los cuales, 2 140 se encuentran en UCI con ventilación mecánica. 5. Del total de casos confirmados, a la fecha, 1 244 029 personas cumplieron su período de aislamiento domiciliario o fueron dados de alta de un establecimiento de salud. 6. El Ministerio de Salud está analizando los sistemas de registro con el fin de actualizar la información. 7. A fin de evitar la propagación de la COVID-19, el Gobierno recomienda distanciamiento físico de al menos un metro de distancia de otra persona, usar mascarilla, lavarse las manos de manera frecuente y usar escudos faciales en el transporte público. 8. El Ministerio de Salud lamenta informar que la COVID-19 ha producido el fallecimiento de 46 894 ciudadanos en el país. Expresamos nuestras sentidas condolencias a los familiares en este momento de dolor. En base a la información presentada responde: A. Expresa tu opinión sobre las cifras que brinda este comunicado. B. Identifica y escribe las magnitudes con sus respectivas unidades que encuentres en esta fuente. C. Teniendo en cuenta los datos del primer numeral estimar: - La razón entre la cantidad de personas muestreadas y el número de casos negativos. Interpreta la misma. - La razón entre la cantidad de personas muestreadas y los casos confirmados. Interpreta tu respuesta. D. Asumiendo que las cifras reportadas por el MINSA hasta las 22:00 horas del día 1 de marzo de 2021 se relacionan proporcionalmente, estimar la cantidad de resultados negativos, de un total de 10 000 000 personas muestreadas. E. Asumiendo que la cantidad de pacientes hospitalizados por la COVID-19 se relaciona proporcionalmente a la cantidad de pacientes que se encuentran en UCI con ventilación mecánica, estimar la ca...