Math L 2-TD PDF

Preview

Summary

Download Math L 2-TD PDF

Description

UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION

MATHEMATIQUES APPLIQUEES A L’ECONOMIE ET A LA GESTION

LICENCE 2° année

Cours de Thierry LAFAY TRAVAUX DIRIGES 1° semestre 2017-2018

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 0 Rappels Licence 2`eme ann´ee

Exercice 1 : D´eterminez l’ensemble de d´efinition, de d´erivabilit´e et la fonction d´eriv´ee des fonctions suivantes : a) f (x) =

√ x2 − 4

b) g (x) = |2x + 4|

Exercice 2 : u la fonction f (x) = Calculez lim f (x) o` x→+∞

!

x+

"

x+

√ √ x − x.

Exercice 3 : Etudiez # et repr´esentez graphiquement la fonction : R→R f: x $→ ln (−2x + 1) + 3

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

1

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 1 Alg´ebre lin´eaire Licence 2`eme ann´ee

Exercice⎛1 :⎞ ⎛

⎛ ⎞ 1 1 a) Les vecteurs ⎝ -5 ⎠ , ⎝ -2 ⎠ et ⎝ 3 2 de cette famille de vecteurs ? #( b) Est ce que la famille de vecteurs

⎞ 2 5 ⎠ sont-ils li´es ? Quel est le rang 1

)* ) ( ) ( 1 1 1 est une fa, , 1 -1 2 mille g´en´eratrice de R 2 ? Est ce une base de R 2 ?

Exercice 2 : On consid`ere R 3 muni de la base canonique, soit trois vecteurs : ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ ⎞ ⎛ 2 1 0 X = ⎝ 3 ⎠ Y =⎝ 2 ⎠ Z = ⎝ 1 ⎠ 1 2 2

a) Ces trois vecteurs forment ils une base de R 3 ? ⎛ ⎞ 1 b) Le vecteur T = ⎝ 0 ⎠ se d´ecompose-t-il de mani`ere unique sur {X, Y, Z} ? 0 Si oui expliciter cette d´ecomposition.

Exercice 3 : Soit f l’application suivante : f (x, y, z) = (2x + 3y, y + 2z) a) Rappelez ce qu’est une application lin´ eaire. f est elle une application lin´eaire ? b) D´eterminez le rang et le noyau de f. c) L’application est-elle injective ? surjective ?

Exercice 4 : Soit f l’application d´ efinie par f (x, y) = (2x, 0, x + y) a) Rappelez dans le cas g´ en´ eral la d´ efinition d’une application lin´ eaire, la d´efinition du noyau d’une application lin´eaire et la d´efinition du rang d’une application lin´ eaire. b) V´erifiez que f est une application lin´ eaire. c) L’application peut elle ˆetre surjective ? d) D´eterminez le rang de f et v´erifiez le r´esultat de la question pr´ ec´edente. MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

2

e) D´ eterminez le noyau de f. f) En d´eduire si f est injective ou non. g) Ker(f) est il un sous espace vectoriel de R 2 ?

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

3

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 2 Les matrices Licence 2`eme ann´ee

Exercice 1 : Calculez lorsque cela est possible ⎛ 6 , ⎜ 2 + a) 1 0 -1 2 × ⎜ ⎝ 0 -8 ⎞ ⎛ ( ) 1 6 2 4 c) × ⎝ -1 ⎠ 2 3 8 2

: 2 1 -1 0

⎞ 1 0 ⎟ ⎟ 1 ⎠ 2

b)

(

2 1

0 4

1 3

)

×

(

1 2

4 2

-1 0

Exercice 2 : On consid`ere E le R-espace vectoriel des polynˆomes en X de degr´e au plus 4. Soit u : E → E l’application lin´ eaire d´efinie par u (p) = p + p′ o` u p′ est la d´eriv´ee de p. , + a) Montrez que 1, X, X 2 , X 3 , X 4 constitue une base qui convient pour E. Calculez alors la matrice repr´esentative de u pour cette base au d´epart et `a l ’ ar r i v´ee. b) Montrez que u − Id est nilpotente. D´ eterminez le plus petit entier n > 0 tel que (u − Id)n = [0].

c) Quelles sont les valeurs propres de u ?

Exercice 3 : Calculez AB et BA o` u: 0 / 0,6 -0,4 1 A= -0,2 0,3 2

⎤ 3 4 B= ⎣ 2 6 ⎦ 0 0 Comment appelle-t-on A et B ´etant donn´e le produit AB ? ⎡

Exercice 4 : R´esoudre : ⎧ ⎨ x + y + (1 − m) z = m + 2 (1 + m) x − y + 2z = 0 ⎩ 2x − my + 3z = m + 2 MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

4

)

Exercice 5 :

⎡

⎤ a a a On consid`ere la matrice M = ⎣ -a a x ⎦ , pour quelles valeurs du pa-a -a x ram`etre r´eel a la matrice M est-elle inversible ? Calculez la matrice inverse par la m´ethode du pivot.

Exercice 6 ⎡:

a Soit la matrice M = ⎣ b b

b a b

⎤ b b ⎦ o` u a et b sont des r´eels. a

a) Cette matrice est-elle diagonalisable ? b) Trouvez les valeurs propres de M.

c) Trouvez une base de R 3 compos´ ee de vecteurs propres de M d) Trouvez des matrices de passage P et P −1 et la matrice diagonale D tels que A = P.D.P −1 .

Exercice 7⎡ :0

⎤ 1 -1 Soit la matrice A = ⎣ 1 0 -1 ⎦ 1 1 -2 a) Montrer que A est singuli` ere. En d´ eduire une valeur propre de A. b) Trouvez les autres valeurs propres de A. c) A est-elle diagonalisable ? Si oui, donner une matrice r´eduite diagonale D et d´ eterminez la matrice de passage P associ´ ee. n d) Calculez A

Exercice 8 : Soit α est un param` etre r´ eel, on consid`ere l’application suivante : # 3 R → R3 fα : (x, y, z) $→ (x + 2y − 2z, 2x + y + αz, 2x + 2y − 3z) a) Justifiez rapidement mais clairement la lin´earit´ e de fα. b) D´eterminez le noyau de fα en fonction du param` etre α. c) D´eterminez si fα est injective, surjective ou bijective en fonction du param`etre α. Pour la suite on suppose que α = −2.

c) D´ eterminez M la matrice repr´ esentative de f . La matrice M est-elle inversible ? d) D´eterminez les valeurs propres de M . (V´erif iez vos r´esultats avec les m´ethodes usuelles).

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

5

e) La matrice est-elle diagonalisable ? (Justifiez). Calculez les vecteurs propres (on choisira des vecteurs tels que la premi`ere composante non nulle vaille 1). f) Donnez la d´ecomposition M = P.D.P −1 . On calculera toutes les matrices. g) Calculez explicitement M n pour tout n ∈ N , puis calculez f 46 (2, 1, 2).

h) Donnez la solution du syst`eme suivant : ⎧ ⎨ Xn+1 = Xn + 2Yn − 2Zn Y = 2Xn + Yn − 2Zn ⎩ n+1 Zn+1 = 2Xn + 2Yn − 3Zn ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ X0 1 avec pour conditions initiales ⎝ Y0 ⎠ = ⎝ 0 ⎠ . Z0 1

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

6

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 3 Fonctions de plusieurs variables Licence 2`eme ann´ee

Exercice 1 :

√ a)Rappeler le th´ eor`eme de Rolle et v´ erifier le sur la fonction f (x) = 1 − x2 b)Rappeler le th´eor`eme des acroissements finis et le v´erifier sur la fonction f (x) = x2 − x sur l’intervalle ferm´e [1, 2] .

Exercice 2 : Rappeler les d´eriv´ees des fonctions usuelles.

Exercice 3 : Calculer le gradient + des, fonctions suivantes : a) f (x, y) = Ln 1 + xy b) f (x, y) = √ 2x 2 . x +y

Exercice 4 : Calculer les d´eriv´ees partielles secondes des expressions suivantes : 2 b) f (x, y) = xy c) f (x, y) = xey . a) f (x, y) = x−y x+y

Exercice 5 : Montrez que la fonction f (x, y) = ln d’Euler.

+y , x

est homog´ ene puis v´ erifiez le th´ eor` eme

Exercice 6 :

8 Soit la fonction f (x, y) = ax2 y; ln (xy) ; bienne de cette fonction.

b

x2 +y 2

9

d´eterminez la matrice jaco-

Exercice 7 : Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre 2 et au voisinage de z´ero des fonction suivantes : √ a) f (x) = 1 + 2x − (1 + x) b) g (x) = e3x − 3ex + 2 f(x) En d´eduire la limite de g(x) quand x tend vers z´ero.

Exercice 8 : MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

7

Ecrire le d´eveloppement limit´e `a l’ordre n au voisinage de z´ero des fonctions suivantes : a) f (x) = ln (1 + x) b) g (y) = cos y.

Exercice 9 : On consid`ere la fonction f d´efinie par f (x, y) = ln (1 + x) + 12 ln (1 + y) : On note f:0 l’approximation affine de f (X) en (0, 0) et on note f:0 son approximation quadratique en (0, 0) . a) Ecrire le d´ eveloppement limit´ e a` l’ordre 2 au voisinage de (0, 0) de f. :: : b) En d´eduire f0 ainsi que f 0 c) Calculer les valeurs approch´ ees respectives de f en X = (0.1, 0.2) et comparez les avec la valeur exacte donn´ee par la calculatrice.

Exercice 10 : On consid`ere la fonction `a valeurs r´eelles suivante : f (x, y) =

√ 1 − xey − 1

1) D´ eterminez puis repr´ esentez graphiquement le domaine de d´efinition de f . 2) Rappellez la formule d’un DL a` l’ordre 2 de f (x, y) en un point (a, b) . 3) D´ eterminez un d´eveloppement limit´ e de f en (0, 1) .

Exercice 11 : Trouvez tous les polynˆ omes P (x, y) homog`enes de degr´e n v´erif iant : 1 ′ 1 P (x, y) = Py′ (x, y) x x y

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

8

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 4 Optimisation Licence 2`eme ann´ee

Exercice 1 : On suppose que C est une fonction de coˆ ut telle que : C (X) = x2 + y2 + z 2 − xy − xz − yz o` u X repr´esente le vecteur (x, ⎛ y, z) . On la matrice ⎞ notera A⎛ ⎞ associ´ee `a la forme -1 1 quadratique C (X). Soient W2 = ⎝ 0 ⎠ et W3 = ⎝ -2 ⎠ . 1 1 a) Montrer que les vecteurs W2 et W3 sont orthogonaux. b) La matrice A est elle diagonalisable ? c) D´ eterminer ses valeurs propres par ordre croissant. d) D´eterminez des vecteurs propres V1 V2 et V3 tels que : - la derni`ere composante de chaque vecteur soit 1. - les vecteurs propres soient 2 a` 2 orthogonaux e) En d´ eduire le noyau de l’application lin´eaire que la matrice A repr´esente, puis le rang de A. f) D´eterminer la matrice P orthonorm´ee telle que A = P.D.P −1 o` u D est la matrice diagonale. ; g) D´eterminer les composantes fi du vecteur telle que C (X) = λi f 2i h) En d´eduire la nature de la forme quadratique C. i) D´eterminer les points candidats a` l’optimum pour C ainsi que leur nature.

Exercice 2 : Soit la fonction f (x, y) = x2 + 2xy + 4y2 + x − 2y a) f est elle de classe C∞ sur R 2 ? b) Calculer les d´eriv´ees premi`eres de f. c) Calculer les d´eriv´ ees secondes de f. d) Former la matrice hessienne de f, f est elle convexe ou concave sur R 2 ?

Exercice 3 : Rechercher les extrema des fonctions suivantes : a) f1 (x, y) = xy − x2 +− y2 , b) f2 (x, y) = xy − ln x2 + y2 c) f3 (x, y) = y4 + x2 − 2y2

Exercice 4 : Soit f (x, y) =

xy (1+x2 )(1+y 2 )

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

9

a) D´ eterminez les extrema de f. b) Les solutions trouv´ees sont elles des solutions globales du probl`eme ?

Exercice 5 : Un portefeuille peut ˆetre constitu´e d’actions A ou B en proportions respectivement a et b. L’esp´erance de rentabilit´e du portefeuille est alors : R = −2, 5a2 − 10b2 + 10a + 20b D´eterminer les proportions optimales qui maximise l’esp´erance de rentabilit´e.

Exercice 6 : Soit f (x, y, z) = z

#

x2 = 2 − y 2 ⎧ x 2+ y + z =2 0 ⎨ x =2−y b) Optimiser f sous les contraintes : x+y+z =0 ⎩ x+z =1

a) Optimiser f sous les contraintes :

Exercice 7 :

R´esoudre l’optimisation suivante : — max x2 − y2 sous la contrainte x2 + y2 = 1 x,y

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

10

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 5 Les complexes Licence 2`eme ann´ee

Exercice 1 : Ecrivez sous forme alg`ebrique les nombres complexes suivants : Z1 = (3 + i) (5 − 2i) Z3 = it2 − 3t + 4 − 2i

Z 2 = (4 − 7i)3 o` u t = x + iy

Exercice 2 : Trouvez les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes suivants : Z4 =

6−7i 1+i

Z5 =

3−i 2i−5

Exercice 3 : Trouvez la forme alg´ebrique des solutions des ´equations suivantes : (1 + 2i) t = 3t − 5i + 2

et

t − (5 + 2i) t = 2t − 5i

Exercice 4 : D´eterminez Z6 et Z7 pour que leur somme soit ´egale a` [−5 + 4i] et leur produit `a [ 3 − 11i]

Exercice 5 :

D´eterminer le complexe Z8 tel que Z, 1/Z et (1 − Z) aient tous le mˆeme module.

Exercice 6 :

D´eterminez le module, l’argument, la partie r´eelle et la partie complexe des complexes suivants : Z9 = i.eiπ/3

Z10 = −e−iπ/4

√ Z11 = 1 + i 3

Z12 = [Z10]2

Exercice 7 : R´esoudre les ´equations suivantes dans l’ensemble des complexes et repr´esentez ces solutions dans le plan complexe : t2 + 7 = 0

;

3t2 + t + 5 = 0

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

11

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 6 Les suites Licence 2`eme ann´ee

Exercice 1 : Etudiez les suite un suivantes d´efinies par les relations de r´ecurrence : 1/3 sachant que u0 = 3 a) un+1 = (un + 6) b) un+1 = ln (1 + un ) sachant que u0 est un r´ eel positif quelconque.

Exercice 2 : Nous souhaitons ´etudier le prix du caf´ e qui r´esulte de la confrontation de l’offre et de la demande. On admet que les producteurs d´ eterminent la quantit´e produite de la mani`ere suivante : St+1 = Pt − 3. La demande est donn´ee par la fonction Dt = 15 − 1, 5Pt . On suppose que le prix d’´equilibre est tel que l’offre ´egalise la demande. Etudiez la stabilit´ e du prix.

Exercice 3 : On consid`ere la suite r´ecurrente d’ordre 1 d´efinie par : u2 −u +1 un+1 = n u n sachant que u0 = a n a) Montrer que un est d´ efinie pour tout a ∈ R ∗ b) Montrer par r´ecurrence que si a < 0 alors un < −n pour tout n ∈ N. Que peut on en d´eduire pour un lorsque a < 0 ? c) Dresser le tableau de variation de la fonction f (x) = x−1+1/x et construire le graphe de f sur R ∗+ . d) Etudier alors la convergence de la suite un lorsque a > 1. Montrer que e = 1 est le seul ´equilibre de ce syst`eme. e) Etudier la stabilit´e locale de e f) Montrer graphiquement que un converge vers 1 lorsque 0 < a < 1. g) D´ eterminer l’ensemble de stabilit´ e de e.

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

12

UNIVERSITE PARIS 1 - UFR de GESTION Th`eme 7 Equation de r´ecurrence lin´eaire Licence 2`eme ann´ee

Exercice 1 : a) R´esoudre l’´equation de r´ecurrence suivante : Un = 4Un−1 − 13Un−2 + 10 sachant que U0 = 5 et U1 = 9. b) L’´equilibre est il stable ? c) Quelle est la nature du mouvement ?

Exercice 2 : R´esolvez le syst`eme d’´equations de r´ecurrence suivant par la m´ethode de diagonalisation. ) ( ) ( ) ( 2 -2 Xn Xn−1 = . . Yn Yn−1 1 5

Exercice 3 : R´esolvez les ´equations de r´ecurrence suivantes : a) 3Un+2 − 3Un+1 + Un = 0 sachant que U0 = 1 et U1 = 0. b) 3Un+2 − 3Un+1 + Un = 1 sachant que U0 = 1 et U1 = 0. c) 9Un+2 + 6Un+1 + Un = (−1/3)n sachant que U1 = 3 et U2 = 1. d) 9Un+2 − 3n = 9Un+1 − 3Un + 6 sachant que U0 = 1 et U1 = 0. e) Un+2 − 3Un+1 + 2Un = n f) 2Un+2 − 3Un+1 + Un = 1 + 2n

Exercice 4 : Soit la suite Tn d´ efinie par la relation de r´ ecurrence suivante : −2 −4 T0 = 2e T 1 = 2e2 et Tn+2 = 2 7 . (Tn+1) . (Tn ) a) En posant Un = Ln (Tn ), montrez que la suite Un est d´ efinie par une relation de r´ecurrence lin´eaire. b) Trouvez l’expression du terme g´en´eral de la suite Un . c) En d´ edure l’expression du terme g´en´ eral de la suite Tn . d) A titre de v´erification, calculez T2 de deux mani`eres diff´erentes.

Exercice 5 : #

Xn = 12 Xn−1 + 41 Yn−1 + 2 Yn = 2Xn−1 + 2Yn−1 − 4 a) Quel est l’´ equilibre de ce syst`eme. b) Construisez le diagramme de phase.

Soit le syst`eme suivant :

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

13

Exercice 6 :

⎧ ⎨ Yn = Cn + In + G Cn = cYn−1 Supposons que les ´equations du mod`ele soient les suivantes : ⎩ In = β (Cn − Cn−1 ) o` u Yn , Cn et In repr´esentent respectivement le revenu national, la consommation et l’investissement a` la p´ eriode n. De plus c, β et G sont des constantes r´eelles positives. a) D’un point de vue ´economique, que repr´ esentent c et β ? b) Ecrivez l’´equation de r´ecurrence v´erifi´ee par le revenu national. c) Donnez la solution g´ en´ erale de l’´equation homog`ene associ´ee. d) Donnez la solution d’´equilibre. e) Discutez de l’´ evolution de Yn suivant les valeurs des coefficients c et β.

MATHEMATIQUES L2 - Cours de Thierry LAFAY

14...