Math1me u ss15 - Mathe 1 übungen PDF

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Mathe 1 übungen...

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Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 1. Übung 1. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: √ (a) x2 + 6x + 9 (x ∈ R)

(b)

√

x−3

2

2. Faktorisieren Sie die folgenden Polynome unter Verwendung des Horner-Schemas (die p-q Formel erst verwenden, wenn es mit dem Raten einer Nullstelle und Horner-Schema nicht mehr weiter geht)! (a)

p(x) = 2x3 + 10x2 − 18x − 90

(b)

p(x) = −3x4 + 12x3 − 48x + 48

3. Faktorisieren Sie die folgenden Polynome unter Verwendung des Horner-Schemas (die p-q Formel erst verwenden, wenn es mit dem Raten einer Nullstelle und Horner-Schema nicht mehr weiter geht)! (a) (b)

p(x) = 2x4 − 14x3 − 6x2 + 38x + 28

p(x) = 3x4 + 30x3 + 72x2 − 30x − 75

4. Faktorisieren Sie die folgenden Polynome unter Verwendung des Horner-Schemas (die p-q Formel erst verwenden, wenn es mit dem Raten einer Nullstelle und Horner-Schema nicht mehr weiter geht)! (a) (b)

p(x) = 4x4 − 20x3 + 20x2 + 100x − 104

p(x) = x5 + 15x4 + 85x3 + 225x2 + 274x + 120

5. Faktorisieren Sie die folgende Polynom unter Verwendung des Horner-Schemas (die p-q Formel erst verwenden, wenn es mit dem Raten einer Nullstelle und Horner-Schema nicht mehr weiter geht)! p(x) = 9x5 + 63x4 + 63x3 − 459x2 − 1296x − 972 6. Vereinfachen Sie soweit wie möglich: −√

3 1 − x2

−√

3 − 12x2

(x ∈ (−1; 1))

1 − 9x2 + 24x4 − 16x6

7. Berechnen Sie die folgenden komplexwertigen Ausdrücke (d) (1 + 2 j)/(7 − 4 j)

(a) (3 + 7 j)(−2 + 5 j) 1+j (b) 1−j (c) (3 + j)2 + (4 + 2 j)

(e) (1 + 2 j)/(7 − 4 j) (f) (1 + j)99

8. Mit der folgenden Formel kann man zwei Quadratwurzeln einer beliebigen „echt“ komplexen  Zahl z = x + j y (d. h. mit y 6= 0) berechnen: 1 w = ±√ 2

q

x+

p

x2 + y 2 + j

y

Rechnen Sie nach, dass tatsächlich w2 = z ist. q p x + x2 + y 2



Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 1. Übung 9. Berechnen Sie die Lösungen der folgenden Gleichungen: (a) (b) (c)

(3 − 2 j)z 2 + (30 + 6 j)z + (48 + 46 j) = 0

(2 + 3 j)z 2 + (−13 − 26 j)z + (13 + 65 j) = 0

(1 − j)z 4 + (16 + 32 j)z 2 + (388 + 284 j) = 0

10. Berechnen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel  99  X −2 k (a) 3 k=9

(b)

10  k+3 X 1 . 3 k=3

11. Berechnen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel (a)

5 X k=2

3k−2

5

(b)

 19  X −5 −2k+1 . 2 k=7

12. Berechnen Sie mit Hilfe der geometrischen Summenformel

10 X 32k+5 k=5

13. Berechnen Sie mittels geometrischer Summenformel

10  X

2k/2+3 5

.

k

. 1 + 2j Vollständig ausrechnen und vereinfachen, Endergebnis in der Form x + j y angeben! k=5

10  X

k 5 14. Berechnen Sie mittels geometrischer Summenformel . −1 + 2 j k=5 Vollständig ausrechnen und vereinfachen, Endergebnis in der Form x + j y angeben!

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 2. Übung 1 ≤ 1. 1+x Hinweis: Dies ist lediglich eine Abkürzung, man könnte genauso gut schreiben:

15. Bestimmen Sie die Lösungsmenge der (Doppel-) Ungleichung −1 ≤

−1 ≤

1 1+x

und gleichzeitig

1 ≤1 1+x

16. Bestimmen Sie die Lösungsmenge von

x−4 ≥ |x + 4|. x+3

x+3 ≤ |x − 5|. x−4    x+2    < |x + 5| 18. Für welche x ∈ R gilt die Ungleichung:  2x + 3 

17. Bestimmen Sie die Lösungsmenge von

19. Für welche x ∈ R gilt die Ungleichung: |x2 − 2x + 2| ≥ 1   x + 3   ≥2 20. Für welche x ∈ R gilt die Ungleichung:  x − 4    2x − 3  1  1

81. Vereinfachen Sie die folgenden Ausdrücke so weit wie möglich (ohne Taschenrechner)! (a)

eln(27)/3

(d)

(b)

log13 1011 log13 10

(e)

(c)

log7 49 − log49 7

(f)

√ x ln(x)/5

e

xx ex ln x e1/100 + e2/100 + e3/100 + . . . + e99/100

x2 − x−2 nach x auf (in R)! Es gibt insgesamt vier denkbare 2 Lösungen (da sich eine Gleichung vierten Grades ergibt), von denen jedoch nur zwei tatsächlich möglich sind. Welche sind das und warum ist das so?

82. Lösen Sie die Gleichung y =



83. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu   ex − e−x f (x) = sinh x = für x ∈ R 2



84. Bestimmen Sie die Umkehrfunktion zu ! ex + e−x f (x) = coth(x) = für x ∈ R \ [ −1; 1 ] ex − e−x 85. Berechnen Sie folgende (Funktions-) Grenzwerte:

(a)

lim

x→−∞

x3 + 2x2 − 15x − 36 x3 + 7x2 + 12x + 5

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 7. Übung  √ √ 3 2 (b) lim x + 1 − x + 27 x→7

(1 + ex ) sin x (c) lim x→−∞ 2 + cos x

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 8. Übung 86. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von:

x2 + 3x − 5 3x + 12

87. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von: arccos x3 + sin x2 88. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von: ex x2 tan x 89. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von: tan(1 + arcsin(x))   x+1 90. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von: (x + 2) exp x−2 Hinweis: exp(. . .) ist nur eine andere Schreibweise für e(...)

91. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von: arctan 

1+x 1−x

92. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von: xx



93. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von: xe



94. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von xx s

x

x

95. Berechnen Sie die 1. und 2. Ableitung nach x von

1−x x

1 x Was können Sie aus dem Ergebnis folgern, wenn Sie g(−1) und g(1) berücksichtigen?  √  97. Berechnen Sie die 1. Ableitung von: g(x) = arcsin 2x 1 − x2 − 2 arcsin(x) 96. Berechnen Sie die 1. Ableitung von: g(x) = arctan x + arctan



Was können Sie aus dem Ergebnis folgern, wenn Sie g(0) berücksichtigen?

98. Die folgende Funktion hat den Definitionsbereich R \ {a; b} (wie sehen a und b wohl aus?). √ √ x+ 3 3x + 1 f (x) = arctan − arctan √ √ 3−x 1 − 3x

Rechnen Sie nach, dass f (x) auf (−∞, a) konstant gleich c1 , auf (a; b) konstant gleich c2 und auf (b; ∞) konstant gleich c3 ist und bestimmen Sie die exakten(!) Werte von c1 , c2 und c3 .

Hinweis: c2 und c3 lassen sich z. B. mittels lim f (x) bzw. lim f (x) bestimmen. x↑b

x↓b

99. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (a) lim

x→π

sin x (cos x − 1) ln x

(b) lim (2x2 + 7)3/ ln(5x−8) x→∞

100. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte. (a) lim

x→∞

x2 (ln x)3

"

(b) lim ln x↓0

cos(x) sin(x)

!

+ ln(3x)

#

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 8. Übung 101. Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte.   1 1 + (a) lim x→π sin x x−π

(b) lim

x↑π/2

102. Ermitteln Sie den folgenden Grenzwert: lim(tan 3x)

"

ln

sin(x) cos(x)

1/ sin x

x↓0

103. Ermitteln Sie den folgenden Grenzwert: lim(sin 3x)

1/ tan x

x↓0

104. Ermitteln Sie den folgenden Grenzwert: lim(sin x)

1/ tan 3x

x↓0

105. Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert: lim xsin x x↓0

106. Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert: lim (sin x)cos(x)−1 x↓0

107. Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert: lim

x→∞

108. Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert: lim

x→∞

ln(x4 − 3x + 7)

ln(x3 + 2x2 − 3x + 5) ln(x4 − 3x + 7)

ln(x5 + 3x + 1)

!

+ ln

π 2

 −x

#

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 9. Übung 2

109. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = x ex +1 , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an! Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. 110. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = (x+1)2 e−x+1 , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an! Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. x , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen 1 + 2x2 Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

111. Diskutieren Sie die Funktion f (x) =

Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. ln (x − 3) , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen (x − 3)2 Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

112. Diskutieren Sie die Funktion f (x) =

Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. ln (x + 3) , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen (x + 3)2 Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

113. Diskutieren Sie die Funktion f (x) =

Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. 

1 , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen 1+x Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

114. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = arcsin

Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. x , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen x +2 Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

115. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = arctan

2

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 9. Übung Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. 1 , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen 1 + x2 Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

116. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = arcsin

Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. 2

117. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = (x + 1) e−x , d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an! Hinweise: Eine Nullstelle von f ′′(x) befindet sich unter den Zahlen 0; ±1; ±2. Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden.    1 x−µ 2 118. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = exp − , wobei µ eine beliebige reelle 2 σ und σ eine beliebige positive reelle Zahl ist (sog. G AUSSsche Glockenkurve), d. h., bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an! Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. x2 + 2 (−3 ≤ x ≤ 9, −2 ≤ y ≤ 8), d. h., bestimmen (x − 2)2 Sie den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

119. Diskutieren Sie die Funktion f (x) =

x2 + 5x (−8 ≤ x ≤ 4, −8 ≤ y ≤ 2), d. h., bestimmen (x + 1)2 Sie den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an!

120. Diskutieren Sie die Funktion f (x) =

Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. 121. Diskutieren Sie die Funktion f (x) = arcsin(4x3 − 3x) + 3 arcsin(x) (x ∈ [ −1; 1 ]), d. h.,  bestimmen Sie den größtmöglichen Definitionsbereich, Nullstellen, lokale Extrema, Wendepunkte, Verhalten an den Rändern des Definitionsbereichs! Fertigen Sie unter Benutzung dieser Informationen eine grobe Skizze an! Hinweis: Beachten Sie genau, wo die Ableitungen eventuell nicht definiert sind! Die dritte Ableitung braucht nicht untersucht zu werden. Bei der ersten Ableitung taucht im Nenner unter der Wurzel ein (scheinbar!) recht übles Polynom auf. Im Zähler ergibt sich ein sehr einfaches, bei dem man die Nullstellen einfach finden kann. Es wäre natürlich ganz praktisch, wenn das im Nenner die gleichen Nullstellen hätte . . .

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 9. Übung 122. Aus einem Kreis mit Radius r soll ein Kreissektor mit Öffnungswinkel ϕ so ausgeschnitten werden, dass der daraus geformte Kreiskegelmantel möglichst großes Volumen besitzt. Wie ist ϕ zu wählen und wie groß ist dann das Volumen? Hinweis: Das Volumen eines Kreiskegels ist 3πd2 h (d = Radius der Grundfläche, h = Höhe). 123. Ein Kreiszylinder mit Volumen V soll möglichst große Oberfläche besitzen. Wie sind Radius bzw. Höhe zu wählen? 124. Bestimmen Sie die globalen Minima und Maxima von f (x) =

√

3x4 + 16x3 + 24x2 + 10

(x ∈ [ −3, 1 ]) .

Hinweis: Alle Nullstellen von f ′ (x) sind ganzzahlig.

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 10. Übung Berechnen Sie die folgenden bestimmten Integrale! 125.

(a)

ˆ2 1

126.

(a)

ˆ1 0

127.

1 dx 1 − 7x

(b)

√

3x − 2

3x2 − 4x + 11

dx

ˆ3 (a) (x2 + 3x − 7) ex dx

ˆ3 (b) 1 · arctan x dx 1

(b)

(a)

0

129.

(a)

8x + 12 2

x + 2x + 8

dx

(b)

ex/2 dx √ 1 − ex

(b)

ˆ2 (a) (1 − 7x)−3 dx

(b)

ˆ−2 ln |x| dx (a)

(b)

Hinweis: In beiden Fällen partielle Integration. ˆ π e2x (2x + 1) dx 132. (a) 0

(a)

0

134.

(a)

ˆ2

(a)

sin2 (5x) dx

ˆ−1

ˆπ

√

ex

dx

1 − ex

e2x cos(3x) dx

ˆ1 √

1 − x2 dx

3u

2

e (u + 2u − 5) du

√ 3/ x (b) √ 2 dx x 0 1+ Hinweis: Geeignete Substitution. ˆ1

ˆ2π (b) cos12 (x) sin(x) dx −π

√

e−t

dt

(b)

1 − e−2t 1 Hinweis: e−2t = (e−t )2

135.

dx

1/2

−3

133.

tan(x2 + 1)

0

1

ˆ5

ˆπ

−2

Hinweis: ex = (ex/2 )2

131.

x

0

ˆ−1 −2

130.

ˆ1 1/2

ˆ1

cos3 x dx

−π/2

2

128.

ˆπ

ˆπ −π/2

3

5

cos x · sin x dx

ˆ2 1

(b)

30s − 83

3s2 − 18s + 39

ˆπ −π/2

ds

cos6 x · sin5 x dx

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 10. Übung

136.

ˆπ

6



8

cos (x) sin (x) dx

−π/2

Warum ist diese Aufgabe wohl so viel schwieriger als 135? 137. Berechnen Sie

ˆ2 0

2x + 3 x2 − 4x + 8

dx.

Hinweis: Geeignete Substitutionen! 138. Berechnen Sie

ˆ0 −2

3x + 5 2

x + 4x + 8

dx.

Hinweis: Geeignete Substitutionen!

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 11. Übung 139. Berechnen Sie die Flächeninhalte des / der von f (x) und g(x) eingeschlossenen Flächenstücks / Flächenstücke. f (x) = 6 sin x ,

g(x) = sin 3x

140. Berechnen Sie das angegebenen Integral mittels Partialbruchzerlegung! ˆ8

1 2

x −4

4

dx

141. Berechnen Sie das angegebenen Integral mittels Partialbruchzerlegung! ˆ1

x5 + 2x4 − 5x3 − 16x2 − x + 2 x3 + x2 − 8x − 12

−1

dx

142. Berechnen Sie das angegebene Integral mittels Partialbruchzerlegung! ˆ4

3x4 + 4x3 + 3x2 − 36x − 59 x3 + x − 10

3

dx

143. Berechnen Sie das angegebene Integral mittels Partialbruchzerlegung! ˆ2

4x3 + 9x2 − 38x − 61 x2 + x − 12

0

dx

144. Berechnen Sie folgendes Integral:



78 (s − 2)2 + 32 ds s2 − 2s + 5

ˆ 1 −3s − 6 + 0

Hinweis: Es ist nicht verkehrt auch komplexe Nennernullstellen einzusetzen . . . 145. Berechnen Sie das uneigentliche Integral bzw. begründen Sie, warum es nicht konvergiert. ˆ1

x ln |x| dx

−1

146. Berechnen Sie die uneigentlichen Integrale bzw. begründen Sie, warum sie nicht konvergieren. (a)

ˆ∞ 7

x2 + 3 dx ex

(b)

ˆ2 −2

1 x2 − 1

dx

147. Berechnen Sie das uneigentliche Integral bzw. begründen Sie, warum es nicht konvergiert. ˆ∞ 0

3 + 2x + 3x2 1 + 2x + 2x2 + 2x3 + x4

dx

Prof. Dr. A. Bolsch Mathematik 1 ME — SS 2015 12. Übung ˆ √ ˆ

1 + t2 dt =

 √ 1 √ t 1 + t2 + ln(t + 1 + t2 + C 2

 √ √ √ 1 3 t2 1 + t2 dt = (2t + t) 1 + t2 − ln(t + 1 + t2 + C 8

148. Bestimmen Sie (a) Volumen, Mantelfläche (b) Schwerpunkt und Massenträgheitsmoment (bzgl. der x-Achse) des durch die Funktion f (x) = x2 (für x ∈ [ 0, 1 ]) durch Rotation um die x-Achse erzeugten Rotationskörpers. 149. Bestimmen Sie Volumen, Mantelfläche, Schwerpunkt und Massenträgheitsmoment (bzgl. der p x-Achse) des durch die Funktion f (x) = |x| (für x ∈ [ −1, 1 ]) durch Rotation um die x-...