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MATRICESLas matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de diversos problemas.Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, físi...

Description

UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica MATRICES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales y de diversos problemas. Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma natural en geometría, estadística, economía, informática, física, etc... La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas: hojas de cálculo, bases de datos,...etc. CONCEPTO DE MATRIZ Cuando necesitamos presentar alguna información que requiera el uso de tablas o cuadros necesitaremos una nueva herramienta matemática: Las matrices. Una matriz de clase “mxn” es un arreglo rectangular de “m.n” números reales ordenados en “m” renglones ( o filas) y “n” columnas. El orden o clase de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c, Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis representa a toda la matriz : A = (aij)

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas. El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n

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UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica MATRICES IGUALES Dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q son iguales, sí y solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir :

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma y sus elementos reciben nombres diferentes: Tipo de matriz FILA COLUMNA

RECTANGULAR TRASPUESTA

OPUESTA

NULA

CUADRADA

Definición Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1 Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n , Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A. Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, 2

Ejemplo

UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica diciendose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1

Diagonal principal

: Diagonal secundaria

: SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji ANTISIMÉTRICA Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0 Es una matriz cuadrada DIAGONAL que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal. Si A es cuadrada y además aij =0 siempre que i sea distinto a j, A se llama matriz diagonal. ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales Si A es diagonal y además  i : aii =k, siendo k un número real distinto a cero, A se llama matriz escalar.

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A=

UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica IDENTIDAD

TRIANGULAR SUPERIOR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. Tambien se denomina matriz unidad. Es una matriz cuadrada tal que aij =0  i > j

TRIANGULAR INFERIOR

Es una matriz cuadrada tal que aij =0  i < j

OPERACIONES CON MATRICES SUMA DE MATRICES La suma de dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q de la misma dimensión (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C = A+B = (cij)m×n = (aij+bij)

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UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica Es una ley de composición interna con las siguientes PROPIEDADES: Sea Mmxn el conjunto de todas las matrices de orden mxn 1) Ley de cierre:  A, B  Mmxn : A+B = S  Mmxn 2) Asociativa :  A, B, C  Mmxn : A+(B+C) = (A+B)+C 3) Conmutativa :  A, B  Mmxn : A+B = B+A 4) Elem. neutro :  Nm×n ( matriz nula) /  A  Mmxn : N+A = A+N = A 5) Elem. simétrico :  A  Mmxn  -A ( matriz opuesta -A ) / A + (-A) = (-A) + A

= N (matríz nula)

Actividad: Demostrar las propiedades. Puedes consultar Álgebra Lineal. Grossman. Debido a que se cumplen las cinco propiedades arriba enunciadas, podemos afirmar que (Mmxn ; +) es un Grupo Abeliano. Otra Propiedad: (A+B+C+…+M)T = AT + BT + CT + … + MT DIFERENCIA O RESTA DE MATRICES La resta entre dos matrices se resuelve convirtiendo la resta en una suma. A-B = A + (-B) Ejemplo: Sean las matrices A y B. Calculamos A-B

¡¡ La suma y diferencia de dos matrices NO está definida si sus dimensiones son distintas. !!

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UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el escalar por todos los elementos de la matriz, obteniéndose otra matriz del mismo orden.

Es una ley de composición externa con las siguientes propiedades: PROPIEDADES:

PRODUCTO DE MATRICES Dadas dos matrices A = (aij)m×n y B = (bij)p×q donde n = p, es decir, el número de columnas de la primera matriz A es igual al número de filas de la matriz B , se define el producto A·B de la siguiente forma : El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz B.

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UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica Por ejemplo, multiplicar A de clase 1x3 por B de clase 3x1 y , A.B=(3.4+2.5+0.1) = ( 22 ) matriz de 1x1 Si multiplicamos A de clase 2x2 por B de clase 2x3, obtenemos una matriz de clase 2x3. Sean las matrices:

Es conveniente disponer las matrices así:

El producto B.A no es posible. La multiplicación de matrices no es conmutativa. Observamos que el producto de matrices está definido solamente cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B.

Amxp . Bpxq Multiplicamos estas dos matrices:

Amxp . Bpxq

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UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica Actividad: a) Escribe a que es igual los elementos c11 , c12 , c2j , cij de la matriz producto. b) Exprésalos usando el símbolo de sumatoria . Consulta Algebra L. de Grossman DEFINICIÓN DE PRODUCTO DE MATRICES: El producto de dos matrices Amxp y Bpxq es igual a otra matriz Cmxq , donde : p

cij   aik bkj k 1

i  1,..., m j  1,..., q PROPIEDADES: 1) En general el producto de matrices no es conmutativo. Sean A, B y C matrices tales que sea posible el producto entre ellas: 2) A.(B+C)=A.B+A.C 3) A.(B.C)=(A.B).C 4) Si A.B= N (matriz nula) no implica que A o B sea la matriz nula. Actividad: Multiplicar:

5) Si A.B = A.C no implica que B=C Actividad: Verificar con las matrices hallando los productos A.B y A.C

6) Transpuesta de un producto a) (k.A)T= k.AT b) (A.B) T = B T . A T 8

UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica PARTICION DE MATRICES En muchos casos es conveniente, antes de efectuar operaciones, subdividir las matrices en matrices más pequeñas. Por ejemplo, la matriz A, podemos separarlas en columnas

subdividimos en

Entonces: A = (A1 A2 A3 ) Otro ejemplo:

 2 5 A  8  3

4 3 9 0 2 1 0 1

0 4 7 8

5 1  0 5 - 2 4 3  A11   A12     7  4 1  5 9 0  4 7 7  8 2 - 1 A21   A22     8 4  3 0 1 

A A   11  A21

A12  A22 

Página en la que se puede profundizar el tema: http://www.abaco.com.ve/lineal/libroLineal2009_Capitulo_2.pdf

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UTN- FRRe- Álgebra y Geometría Analítica RANGO DE UNA MATRIZ El rango de una matriz es el número máximo de filas no nulas, luego de haber triangulado la misma mediante operaciones elementales. OPERACIONES ELEMENTALES 1) Intercambio de dos filas 2) Multiplicación de todos los elementos de una fila por un número distinto de cero. 3) Sustitución de una fila por el resultado de la suma de dicha fila con otra fila, que además pueden ser multiplicadas por escalares distintos de cero. Ejemplo: A=

F2 = F2 +(-2). F1 y F3 = F3+(-3). F1

F3 = F3 +(-1). F2

El rango es 2

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