Teoría matrices - Apuntes 1 PDF

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Matrices

on muchas las actividades en las que conviene disponer las informaciones numéricas ordenadas en tablas de doble entrada. Por ejemplo, se conocen las distancias entre las siguientes ciudades: Madrid y Barcelona, 600 Km; Madrid y Valencia, 350 Km; Madrid y Zaragoza, 300 Km; Madrid y Cádiz, 974 Km; Barcelona y Valencia, 349 Km; Barcelona y Zaragoza, 296 Km; Barcelona y Cádiz, 1284 Km; Valencia y Zaragoza, 326 Km; Valencia y Cádiz, 808 Km; Zaragoza y Cádiz, 988 Km.

S

Los datos anteriores resultan más claros si se expresan mediante una tabla de doble entrada como la siguiente: Distancias en Km Barcelona Cádiz Madrid Valencia Zaragoza

Barcelona 0 1284 600 349 296

Cádiz 1284 0 974 808 988

Madrid 600 974 0 350 300

Valencia 349 808 350 0 326

Zaragoza 296 988 300 326 0

Las disposiciones rectangulares de datos numéricos facilitan su lectura, interpretación y análisis, y dan pie al concepto matemático de matriz, cuya utilidad va mucho más allá de una mera disposición de números. El concepto de matriz tiene múltiples aplicaciones en matemáticas y fueron empleadas por primera vez por el matemático inglés Arthur Cayley (1821 – 1895). En esta Unidad estudiaremos las matrices por sí mismas; es decir, los tipos de matrices, las propiedades y las operaciones con matrices. Particular importancia tiene el cálculo de la matriz inversa, que en esta Unidad se calcula por el método de Gauss. La matriz inversa se empleará en la resolución de ecuaciones matriciales. Ecuaciones cuya incógnita no encubre a un número, sino a una matriz. Al final de la Unidad se presentan algunos problemas en los que las matrices facilitan su solución.

●Arthur Cayley (Wikipedia org. Dominio público)

En esta Unidad didáctica nos proponemos alcanzar los objetivos siguientes: 1. Reconocer matrices y en qué casos resulta operativo o imprescindible su utilización. 2. Conocer algunos tipos de matrices. 3. Dominar las operaciones con matrices, así como las propiedades correspondientes. 4. Calcular si existe la matriz inversa de una matriz cuadrada a partir de la definición o aplicando el método de Gauss. 5. Resolver problemas utilizando matrices.

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Rectangulares

Son tablas de números:

A = (a ij ) Diagonal

Cuadradas Unidad

MAT RICES Producto de matrices cuadradas

Suma Matriz inversa Producto por un número real Aplicación a la resolución de problemas

Producto

ÍNDICE DE CONT ENIDOS 1. MATRICES: DEFINICIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2. TIPOS DE MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3. OPERACIONES CON MATRICES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.1. Suma de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.2. Diferencia de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3.3. Producto de un número por una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.4. Producto de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. PRODUCTO DE MATRICES CUADRADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Potencias de matrices cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5. MATRIZ INVERSA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.1. Cálculo de la matriz inversa a partir de la definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.2. Cálculo de la matriz inversa por el método de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 5.3. Aplicaciones de la matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 6. LAS MATRICES EN LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1. Descripción de situaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.2. Operaciones con matrices. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.3. Operaciones con matrices asociadas a un gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

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MATRICES

1. Matrices: definición Se llama matriz de orden m x n a una disposición en tabla rectangular de m x n números reales dispuestos en m filas y n columnas. ⇔ a11 a 12 a 13 ⇒a ⇒ 21 a 22 a 23 A = ⇒ a31 a 32 a 33 ⇒ ... ⇒ ... ... ⇒a ∑ m1 a m2 a m3

... a 1n ⎪ ... a 2n ⎟⎟ ... a 3 n ⎟ = (a ij ) ⎟ .... ... ⎟ ... a mn ⎟⎠

A los números reales aij se les llama elementos de la matriz . El primer subíndice i indica la fila y el segundo j la columna en la que se encuentra el elemento aij. Por ejemplo, el elemento a32, se encuentra en la tercera fila y segunda columna. El número de filas y de columnas es la dimensión de la matriz y se designa así: m x n; si m = n filas igual a columnas, se trata de una matriz cuadrada de orden n. Las matrices se representan así: A = (aij) ; B = (bij), etc. ⇔ −2 3 5 0 ⎪ ⎟ ⇒ 4 ⎟ ⇒ Por ejemplo, la matriz A = (aij ) = ⇒ 1 −3 2 6 ⎟ es una matriz de dimensión 3 x 4 (tres filas y cuatro ⇒ −4 2 0 −8 ⎟⎠ ∑ columnas), en la matriz anterior a13 = 5; a23 = DG2 ; etc.

Igualdad de matrices Dos matrices A y B son iguales si tienen la misma dimensión (o el mismo orden, si son cuadradas) y además son iguales todos los elementos que ocupan el mismo lugar.

⇔2 Por ejemplo, las matrices A = ⇒⇒ ∑a

⇔6 3 c ⎪ 9 −5 ⎪ ⎟ serán iguales si a = 2; b = 6; c = -- 5 y d = 0. ⎟⎟ y B = ⇒ 3 ⇒2 d 6⎟ 0 b⎠ ⎠ ∑

Actividades ⇔2 −2 5 1. Dada la matriz B = ⇒ ⇒4 1 ∑

3⎪ ⎟ , a) ¿cuál es su dimensión?; b) indica el valor de a12, a21 y a23. −3 ⎟⎠

⇔ 1 −3 5 ⎪ ⇔ 1 x 5⎪ 2. Dadas la matrices A = ⇒ y B=⇒ ⎟ ⎟ , indica los valores de x, y, z en la matriz B para que ∑ −7 0 4 ⎠ ∑y 0 z ⎠ sea igual a A.

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2. Tipos de matrices En este apartado describiremos algunos de los tipos de matrices más usuales. ● Matriz rectangular es aquella matriz en la que el número de filas es distinto al de columnas m ≠ n. ⇔ 0 −3 1 ⎪ Ejemplo de matriz rectangular: A = ⇒ ⎟ ∑ 4 −5 9 ⎠

● Matriz cuadrada es aquella en la que el número de filas es igual al de columnas m = n. ⇔ −2 1 0 ⎪ ⇒ ⎟ Ejemplo de matriz cuadrada: B = ⇒ 4 3 6 ⎟ ⇒ ⎟ ∑ 7 5 −8 ⎠ En una matriz cuadrada se llama diagonal principal al conjunto de los elementos de la forma aii; en la matriz B, la diagonal principal la forman los elementos -2, 3, -8. En una matriz cuadrada se llama diagonal secundaria al conjunto de los elementos aij con i + j = n + 1; en la matriz B, la diagonal secundaria la forman los elementos 7, 3, 0 cuyos subíndices suman 4. ● Matriz fila es una matriz que tiene una fila; por tanto, de dimensión 1 x n. Por ejemplo, A = (--1 4 5 0 ) es una matriz fila de dimensión 1 x 4 . ● Matriz columna es una matriz que tiene una columna; por tanto, de dimensión m x 1. ⇔ 5 ⎪ Por ejemplo, A = ⇒⇒ − 2 ⎟⎟ es una matriz columna de dimensión 3 x 1. ⇒ 7 ⎟ ∑ ⎠ ● Matriz opuesta de una matriz A es aquella que tiene por elementos los opuestos de A; se representa por - A. ⇔ 4 0 −2 ⎪ ⇔ −4 0 2 ⎪ Ejemplo: La opuesta de la matriz A = ⇒ es la matriz − A = ⇒ ⎟ ⎟ ∑ 1 −7 5 ⎠ ∑ −1 7 −5 ⎠ ● Matriz traspuesta de una matriz A es aquella que resulta al escribir las filas de A como columnas; se representa t por A . ⇔ 3 2⎪ ⇔ 3 −1 0 ⎪ ⇒ ⎟ t La matriz traspuesta de A = ⇒ es A = ⎟ ⇒ −1 4 ⎟ 2 4 8 ∑ ⎠ ⇒ ⎟ ∑0 8⎠ De la definición se deduce que si A es de dimensión m x n, la dimensión de su traspuesta será n x m. En el t ejemplo la dimensión de A es 2 x 3 y la dimensión de A es 3 x 2. t

● Matriz simétrica: una matriz cuadrada es simétrica si su traspuesta coincide con ella; es decir, A = A, o también aij = aji. Ejemplo: Las matrices A y B son simétricas. ⇔ 2 A=⇒ ∑ −5

⇔1 2 3 ⎪ −5 ⎪ ⇒ ⎟ y B = ⇒ 2 6 −4 ⎟ 4 ⎟⎠ ⇒ ⎟ ∑ 3 −4 9 ⎠

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● Matriz antisimétrica: una matriz cuadrada es antisimétrica si su traspuesta es también su opuesta; es decir, t A = -A , o también aij = -aji. Ejemplo: Las siguientes matrices son antisimétricas: ⇔ 0 3 7 ⎪ ⇔ 0 3⎪ ⇒ ⎟ A =⇒ ; B = ⇒ −3 0 −4 ⎟ ⎟ ∑ −3 0 ⎠ ⇒ −7 4 0 ⎟ ∑ ⎠ De la definición se deduce que en toda matriz antisimétrica los elementos de la diagonal principal son nulos. ● Matriz nula es la que tiene todos sus elementos nulos. La denotaremos por O = (0). ⇔0 0⎪ ⇔0 0 0 ⎪ Ejemplos: Las siguientes matrices son nulas: A = ⇒ ⎟ ; B = ⇒ 0 0 0⎟ 0 0 ∑ ⎠ ∑ ⎠

● Matriz diagonal: es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que no pertenecen a la diagonal principal. Por ejemplo, las siguientes matrices son diagonales: ⇔3 0 0 ⎪ ⇔ −6 0⎪ ⇒ ⎟ A=⇒ ; B = ⇒0 4 0⎟ ⎟ ∑ 0 3⎠ ⇒ ⎟ ∑ 0 0 5⎠ ● Matriz escalar: es una matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal son iguales. ⇔4 0 0 ⎪ ⇔ 6 0⎪ ⇒0 4 0⎟ Por ejemplo, las siguientes matrices son escalares: A = ⇒ ; B = ⎟ ⇒ ⎟ ∑0 6 ⎠ ⇒ ⎟ ∑ 0 0 4⎠ ● Matriz unidad o identidad: es una matriz escalar en la que los elementos de la diagonal principal son unos; también se llama matriz identidad. ⇔1 0 0 ⎪ ⇔ 1 0⎪ ⇒ ⎟ Por ejemplo, las matrices I2 = ⇒ ⎟ e I 3 = ⇒ 0 1 0 ⎟ son matrices identidad de orden dos y tres respectivamente. 0 1 ∑ ⎠ ⇒0 0 1 ⎟ ∑ ⎠ ● Matriz triangular: es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo (por encima) de la diagonal principal son cero. ⇔ 2 3 4⎪ ⇔ 3 0 0⎪ ⇒ ⎟ ⇒ ⎟ Ejemplo: Las matrices A = ⇒ 0 −3 7 ⎟ y B = ⇒ −5 2 0 ⎟ son matrices triangulares. ⇒ 0 0 1⎟ ⇒ 1 6 8⎟ ∑ ⎠ ∑ ⎠ Actividades 3. Escribe las siguientes matrices: a) la matriz unidad de orden cuatro; b) la matriz nula de dimensión 3 x 2; c) una matriz triangular de orden dos; d) una matriz diagonal de orden dos. ⇔2 3 0⎪ 4. Dada la matriz A = ⇒ ⎟ , calcula la matriz traspuesta de A y su opuesta. ∑ 1 −2 4 ⎠

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3. Operaciones con matrices 3.1. Suma de matrices Dadas dos matrices de dimensión m x n, A = (aij) y B = (bij), llamamos suma de ambas a la matriz C = (cij) de la misma dimensión cuyo término genérico es cij = a ij + bij . La suma de matrices se designa A + B = (aij + bij) Ejemplo 1 2⎪ ⇔3 ⇔ 2 0 1⎪ 1. Dadas las matrices A = ⇒ y B=⇒ ⎟ ⎟. Calcular A + B. ∑ 5 −4 7 ⎠ ∑3 5 0⎠ 1+ 0 2 +1 ⎪ ⇔ 5 1 3 ⎪ 1 2 ⎪ ⇔ 2 0 1 ⎪ ⇔ 3 +2 ⇔3 +⇒ =⇒ Solución: A+ B = ⇒ ⎟ ⎟ ⎟=⇒ ⎟ ∑ 5 −4 7 ⎠ ∑ 3 5 0 ⎠ ∑ 5 + 3 −4 + 5 7 + 0 ⎠ ∑ 8 1 7 ⎠

La suma (aij + bij) se obtiene al sumar los elementos que ocupan el mismo lugar en una y otra matriz. Propiedades de la suma: ● Asociativa. Cualesquiera que sean las matrices A, B y C se cumple la igualdad (A + B) + C = A + (B + C). ● Existencia de la matriz nula. O =( 0) tal que: A + O = A. ● Existencia de la matriz opuesta. Dada la matriz A existe la matriz –A, su opuesta, de modo que: A + (-A) = O. ● Conmutativa. Para todo par de matrices A y B se cumple: A + B = B + A.

3.2. Diferencia de matrices La diferencia de matrices A y B se representa por A -- B y se obtiene sumando al minuendo el opuesto del sustraendo; es decir: A -- B = A + (-- B). Ejemplo 1 2⎪ ⇔3 ⇔ 2 0 1⎪ 2. Dadas las matrices A = ⇒ y B=⇒ ⎟ ⎟ . Calcular A – B. ∑ 5 −4 7 ⎠ ∑3 5 0 ⎠

Solución:

1 2 ⎪ ⇔ 2 0 1⎪ ⇔ 3 − 2 1− 0 2 −1⎪ ⇔ 1 1 1⎪ ⇔3 A−B = ⇒ .⎟ ⎟−⇒ ⎟=⇒ ⎟ =⇒ ∑ 5 −4 7 ⎠ ∑ 3 5 0⎠ ∑ 5 − 3 − 4 − 5 7 − 0 ⎠ ∑ 2 −9 7⎠

La diferencia (aij) --(bij) = (aij -- bij) se obtiene al restar elementos que ocupan el mismo lugar en una y otra matriz. 15

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3.3. Producto de un número por una matriz Cualesquiera que sean el número real k y la matriz A = (aij), se llama producto de k por A, a la matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y cuyo término genérico es: bij = k� aij . EL producto de un número por una matriz k(a ) se obtiene al multiplicar por k cada elemento de A = (a ) ij ij Ejemplo ⇔ −2 0 1 ⎪ 3. Dada la matriz A = ⇒ ⎟ ∑ 4 −3 5 ⎠

Solución:

y k = 5. Calcular k� A

5 ∩ 0 5 ∩ 1⎪ ⇔ −10 0 5⎪ ⇔ −2 0 1⎪ ⇔ 5( −2) k ∩ A = 5⇒ ⎟ =⇒ ⎟=⇒ ⎟ ∑ 4 −3 5 ⎠ ∑ 5 ∩ 4 5( −3) 5 ∩ 5 ⎠ ∑ 220 −15 25 ⎠

Propiedades del producto de un número por una matriz. Cualesquiera que sean las matrices A y B y los números reales 8 y :; se verifica: 1. 8(A + B) = 8A + 8B. 2. (8 + :) A = 8A + :A. 3. 8(:A) = (8:)A. 4. 1� A = A.

3.4. Producto de matrices Para multiplicar matrices, las matrices factores deben reunir algunos requisitos que describiremos en este apartado: a) Producto de una matriz fila por una matriz columna. Sean A una matriz con una fila y n columnas y B una matriz con n filas y una columna:

A=

( a1

a2 . . . a n )

⇔ b 1⎪ ⇒ ⎟ b2 y B= ⇒ ⎟ ⇒ . . .⎟ ⇒ ⎟ ∑ bn ⎠

El producto de las matrices A y B es otra matriz C = A� B con una fila y una columna; es decir, un número: c = a1.b1 + a2.b2 + ... + an .bn.; por tanto, n

A� B = C = (c) = ⋅ ai ∩ b i. i =1

Hay que hacer notar que para poder multiplicar A y B el número de columnas del primer factor, A, debe ser igual al número de filas del segundo factor B. 16

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Ejemplo ⇔4⎪ ⇒ 4. Sean A = ( 2 1 4 ) una matriz con una fila y 3 columnas y B = ⇒ 2 ⎟⎟ una matriz con 3 filas y una columna. ⇒ −1⎟ ∑ ⎠ Hallar la matriz producto. ⇔4⎪ Solución: A∩ B = ( 2 1 4 )∩ ⇒⇒ 2 ⎟⎟ = (2 ∩ 4 + 1∩ 2 + 4 (− 1) ) = ( 6 ) que es una matriz de orden 1x1; por tanto, un número. ⇒−1 ⎟ ∑ ⎠ Regla: Observa que para realizar el producto se deja caer la matriz fila A en la matriz columna B; multiplicar los elementos enfrentados y sumar los resultados.

b) Producto de dos matrices cualesquiera Las matrices A de orden m x n, y B de orden n x p; se pueden multiplicar si el número de columnas de A coinciden con el número de filas de B. El producto de matrices A y B es otra matriz C de orden m x p con m filas (las del primer factor A) y p columnas (las del segundo factor B). El elemento cij de la matriz producto C es el resultado de multiplicar la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B consideradas ambas como matrices fila y columna respectivamente. El elemento cij se calcula, por tanto, así: c 1 j = (a i1 a i 2

⇔ b1 j ⎪ ⇒ ⎟ k =n b2 j ... a in ) ∩ ⇒ ⎟ = ( ai1b1 j + a i 2b 2 j + ... + a inb nj ) = ⋅aik bkj . ⇒ ... ⎟ k =1 ⇒⇒ ⎟⎟ b ∑ nj ⎠

Ejemplo ⇔2 3 ⎪ ⇔ 2 1 0⎪ ⎟ ⇒ 5. Dadas las matrices A = ⇒ ⎟ y B = ⇒ 4 −2 ⎟. a) Indicar la dimensión de la matriz producto. b) Calcular A� B. 4 1 3 ∑ ⎠ ⇒1 5 ⎟ ⎠ ∑ Solución: a) La dimensión de A es 2x3; la dimensión de B es 3x2; como el número de columnas de A, 3, coincide con el de filas de B, las matrices se pueden multiplicar y además la dimensión de la matriz producto es 2 x 2; esto es, número de filas del primer factor y número de columnas del segundo factor. b) Las notaciones que se han empleado en el desarrollo del producto de matrices se pueden simplificar, mediante la siguiente regla.

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Regla: Los elementos de la matriz producto se obtienen al dejar caer los elementos de las filas de la matriz primer factor sobre las columnas de la matriz segundo factor; multiplicar los elementos que han quedado enfrentados y finalmente sumarlos. ⇔2 3 ⎪ ⇔2 1 0⎪ ⇒ ⎟ ⇔ 2 ∩ 2 + 1∩ 4 + 0 ∩1 2 ∩ 3 + 1∩ ( −2) + 0 ∩ 5 ⎪ = ⇔ 8 4 ⎪ A∩ B = ⇒ ∩ ⎟ ⇒ 4 − 2⎟ = ⇒ ⎟ ⇒ ⎟ ∑ 4 ∩ 2 + 1∩ 4 + 3 ∩ 1 4 ∩ 3 + 1∩ ( −2) + 3 ∩ 5 ⎠ ∑ 15 25 ⎠ ∑4 1 3⎠ ⇒ ⎟ ∑1 5 ⎠

Propiedades del producto de matrices El producto de matrices tiene las propiedades siguientes: Propiedad asociativa: cualesquiera que sean las matrices A, B, C en los casos que se puedan multiplicar las tres matrices. Es decir, si A es de dimensión m x n, B de dimensión n x p y C de dimensión p x q, entonces: (A � B) � C = A � (B � C) El producto de matrices no es en general conmutativo. Por ejemplo: a) Hay casos en los cuales es posible efectuar A � B, y no B � A. ⇔ 2⎪ ⇔ 1 2 3⎪ ⇒ ⎟ Por ejemplo, si A2x 3 = ⇒ ⎟ y B3 x1 = ⇒ − 1⎟ entonces, ∑0 3 1 ⎠ ⇒ 0⎟ ∑ ⎠

A2 x 3 ∩B= 3 x1

⇔2⎪ ⇔ 1 2 3 ⎪ ⇒ ⎟ ⇔ 1∩ 2 + 2∩ (−1 ) + 3∩ 0 ⎪ ⇔ 0 ⎪ ∩ ⇒ ⎟ ⇒ −1⎟ = ⇒ ⎟ =⇒ ⎟ ∑ 0 3 1 ⎠ ⇒ 0 ⎟ ∑ 0 ∩2 + 3 ∩ ( −1 ) + 1∩ 0 ⎠ ∑ −3 ⎠ ∑ ⎠

No es posible efectuar B3x1� A2x3; B tiene una columna y A tiene dos filas; ambos números no coinciden. b) En los casos en que es posible efectuar A� B y B� A, no siempre dan el mismo resultado. A veces ni siquiera son de la misma dimensión.

Por ejemplo, si A2 x 3

⇔ 1 3 2⎪ =⇒ ⎟ y B3 x 2 ∑0 2 4 ⎠

⇔ 1 −0 ⎪ ⇒ ⎟ = ⇒ 2 4 ⎟ , entonces ⇒ ⎟ ∑ −1 5 ⎠

⇔ 1 −0 ⎪ ⇔ 1 3 2⎪ ⇒ ⎟ ⇔ 1∩ 1+ 3 ∩ 2 + 2 ∩(( −1) 1∩ 0 + 3∩ 4 + 2 ∩ 5 ⎪ ⇔5 22 ⎪ A2 x 3 ∩ B3 x 2 = ⇒ ⎟ ∩ ⇒ 2 4 ⎟= ⇒ ⎟=⇒ ⎟ ∑ 0 2 4⎠ ⇒ −1 5 ⎟ ∑ 0 ∩1 + 2 ∩ 2 + 4 ∩ ( −1) 0 ∩ 0 + 2 ∩ 4 + 4 ∩ 5 ⎠ ∑ 0 28 ⎠ ∑ ⎠ ⇔ 1 −0 ⎪ ⇔ 1∩ 1 + 0 ∩ 0 1∩∩ 3 + 0 ∩ 2 1 ∩2 + 0 ∩ 4 ⎪ ⇔ 1 3 2 ⎪ ⇒ ⎟ ⇔ 1 3 2⎪ ⇒ ⎟ ⇒ ⎟ B3 x 2 ∩ A2 x 3 = ⇒ 2 4 ⎟ ⇒ ⎟ = ⇒ 2 ∩ 1+ 4 ∩ 0 2∩ 3 + 4 ∩ 2 2∩ 2 + 4 ∩ 4 ⎟ = ⇒ 2 14 20 ⎟ 0 2 4 ⎠ ⇒ ⇒ ⎟∑ ⎟ ⇒ ⎟ ∑ −1 5 ⎠ ∑ −1∩1 + 5 ∩ 0 −1∩ 3 + 5 ∩ 2 −1∩ 2 + 5 ∩ 4 ⎠ ∑ −1 7 18 ⎠

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Propiedad distributiva: dadas las matrices A de dimensión m x n; B y C de dimensión n x p se cumple: A � (B + C) = A � B + A � C. Ejemplo ⇔0 1 ⎪ ⇔ 1 − 2⎪ ⇔ 1 0 −1 ⎪ ⇒ ⎟ ⇒ ⎟ 6. Dadas las matrices A = ⇒ ⎟ , B =⇒2 0 ⎟ y C =⇒ 1 3 ⎟ − 3 1 2 ⎠ ∑ ⇒ 3 −1⎟ ⇒ −1 0 ⎟ ∑ ⎠ ∑ ⎠ Comprueba la igualdad: A� (B + C) = A� B + A� C. Solución:

⎛⇔ 0 1 ⎪ ⇔ 1 −2⎪ ⎤ ⇔ 1 −1⎪ ⇔ 1 0 − 1⎪ ⎜⇒ ⎟ ⇔−1 0 ⎪ ⎟ ⎥ ⇔ 1 0 -1⎪ ⇒ ⎟ ⇒ 2 0 ⎟ + ⇒ 1 3 ⎟⎥ = ⇒ 3 3 ⎟ =⇒ ⎟ ⇒ ⎟ ⎟ ⇒ ⎜ ⇒ ∑ 2 −3 1 ⎠ ⎜⇒ 3 −1⎟ ⇒ −1 0 ⎟ ⎥ ∑ 2 -3 1 ⎠ ⇒ 2 −1⎟ ∑ − 5 −12⎠ ∑ ⎠ ⎠ ∑ ⎠⎦ ⎝∑

Primer miembro:

⇔0 1 ⎪ ⇔ 1 −2 ⎪ ⇔ 1 0 − 1⎪ ⇒ ⇔ 1 0 −1 ⎪⇒ ⎟ ⇔ −3 2 ⎪ ⇔ 2 −2 ⎪ ⎟ Segundo miembro: ⇒ 1 3 ⎟=⇒ 2 0 ⎟+ ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ +⇒ ⇒ ⇒ ∑2 −3 1 ⎠ ⇒ ∑ 2 −3 1 ⎠⇒ 1 0 ⎟ ∑ −3 1⎠ ∑ − 2 − 13 ⎠ ⎟ − 3 − 1 ∑ ⎠ ∑ ⎠

⇔ −1 0 ⎪ =⇒ ⎟ ∑ −5 −12 ⎠

El resultado es el mismo.

Actividades 1⎪ ⇔ 3 1⎪ ⎟ ; calcula: ⎟ y C =⇒ −3⎠ ∑− 2 4⎠

⇔1 0 ⎪ ⇔2 5. Dadas las matrices A = ⇒ ⎟ ,B =⇒ ∑0 ∑ 2 −1 ⎠

a) A + B; b) A – B; c) 2A - 3B + 4C; d) A � B; e) B � A;...