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Ejercicios resueltos Unidad 1...

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EJERCICIOS RESUELTOS UNIDAD 1 LEER: Aquí encontrarás una forma de pensar los ejercicios, (seguramente no son únicas y quizás las hay mejores) posiblemente algún razonamiento te haya llevado a estos resultados pero no pudiste formalizar. No hay que descartar lo intuitivo, es una herramienta sumamente importante para cualquier profesión, sin embargo el ser capaz de formalizar de transmitir lo que queremos decir, es un complemento que nos ayudará a fundamentar nuestro punto de vista ó nuestro accionar.

Ejercicio 2) c)

x

( x  1) 2 2

sacamos común denominador 2

x

x  1 4 2

multiplicamos ambos miembros por 2 (el 2 que está dividiendo pasa al otro miembro multiplicando)

2x=x+3 2x–x=3 x=3 d)

1

x 3  2 4

4x 3  2 4 x+1 = -8 x = -9 f)

1 2  2x  4  1 x 2 5 2

3x 

sacamos común denominador (-10) en el segundo miembro

1 2  2(2x  4)  5x 2  10

3x 

pasamos (-10 ) y (-2) multiplicando a los otros miembros.

1   10  3 x    2  2(2 x  4) 5 x 2   30 x  5  8 x 16  10 x

x 

11 12

Ejercicio 3) a) Luego de leer detenidamente el enunciado, deducimos que lo que nos interesa averiguar es la tasa a la cual se colocaron los $5000. Aclaración: financieramente se denomina tasa al resultado de dividir el porcentaje de interés por 100 ( por ej. Un 30 % de interés implica que la tasa es de 0,3 esto es 30/100) es decir que la tasa es un número generalmente entre 0 y 1. Además para obtener el interés de un período se multiplica directamente el capital por la tasa de dicho período” Supongamos que x representa la tasa a la cual se colocaron los $5000, entonces el interés se calcula como 5000 x, pero de acuerdo al enunciado ese interés es igual a la quinta parte de lo invertido. Como consecuencia de esto si queremos expresar en notación matemática esta última frase tendremos: (de lo invertido)

5000 x = 1/5 5000

ó

alternativamente 5000 x = 1000

 x= 0,2

Respuesta: La tasa mensual es de 0,2 b) Nuevamente leemos el enunciado . ¿Cuál es la incógnita? ... Y = Cantidad de individuos que se reparten el pozo ¿Qué relación tiene Y con los datos?

Sabemos que había $1500 ; podemos pensar que los 1500 se descomponen entre lo que se repartió y lo que queda. Cuánto se repartió? Cuánto queda?

 45 Y  5Y

Finalmente a que ecuación arribamos?  1500 = 45 Y + 5 Y

O alternativamente 1500 = 50 Y , despejando Y= 30 d) Tenemos el precio de un producto luego del recargo pero se desea conocer el precio del producto antes del recargo, digamos X .

Cómo se forma un precio con recargo? El precio con recargo es igual el precio del producto más el recargo, es decir que los 434 surgen de la suma “X + recargo” Cuando quiero calcular un porcentaje sobre algo se multiplica el algo por el porcentaje divido 100, en nuestro caso: X representa el algo , 24 es el porcentaje y por ende el recargo se expresa como  X.0,24 Matemáticamente nos quedaría 434 = X + 0,24 X Nota: (este ejercicio podría ser resuelto por regla de tres simple) e)

    

¿Cuál es la incógnita? X= Monto de la herencia ¿Cómo se distribuyó este Monto? Rta: compra de un auto, pago de deudas y quedan $24.000 ¿Cuánto se gastó en el auto? Un tercio de la herencia  1/3 X ¿cuánto se pagó de deudas? El 20% del resto  0,2 (X - 1/3X) es decir 0,2 (2/3 X) Finalmente cuál es la ecuación que representa nuestro problema?

X = 1/3 X + 0,2 (2/3 X) + 24.000 ( compra de un auto, pago de deudas y quedan $24.000) f)

    

la incógnita es x= la distancia recorrida en la primera etapa. Luego en la segunda recorrerá 124 km más que en la primera (x+124) En la tercera un 20% más que en la primera etapa (x+ 0,20 x) El total es 764 km Ahora intentá armar la ecuación y resolver.

g) Llamemos x a la distancia entre las dos ciudades, entonces: 1 x. 3



lo que recorrió en una primera etapa se puede expresar como



luego recorrió 1/4 de lo que le resta (como ya recorrió 1/3 de x , lo que le falta por recorrer son dos tercios de x) entonces esto se puede expresar como (1/4) ((2/3) x), como aun le falta por recorrer 120 km., podemos afirmar que " lo que recorrió en la primera etapa más lo que recorrió en la segunda mas los 120 km. dan el total recorrido.



Es decir que la ecuación a resolver será: (1/3) x + (1/4) ((2/3) x + 120 = x (solución es x=240)

Algunos ejercicios del Práctico complementario. 7) En primer lugar nos preguntamos ¿cuáles son las incógnitas? Definamos: x= cantidad a elaborar del producto A y= cantidad a elaborar del producto B z= cantidad a elaborar del producto C En base a la tabla de datos el producto A requiere de 3 unidades de MO, es decir que si producimos x unidades de A, vamos a necesitar “3 x” horas de MO. De la misma manera una unidad de producto B requiere 2 horas de MO por lo cual el total de horas necesarias para producir B será "2y" finalmente para producir C requerimos en total “4z” Por lo tanto, lo que utilicemos para la producción de A, B y C será “3x + 2y+ 4z” Esto debe totalizar la cantidad de horas que disponemos, es decir debe ser igual a 1500. De allí surge la primera ecuación: 3 x + 2 y+ 4 z = 1500 Con respecto a la materia prima el razonamiento es idéntico, por lo cual surge la segunda ecuación: 10 x +8 y +6z= 3800 Finalmente como se quiere totalizar 500 unidades, lo que se produzca de A más lo que se produzca de B más lo que se produzca de C debe dar 500 de donde surge la ecuación: x+ y + z = 500. Ejercicio 8 Una compañía elabora tres productos cada una de los cuales debe ser procesado en tres departamentos. La tabla 2 las horas requeridas por unidad de cada producto en cada departamento. Además , las capacidades semanales están dadas en horas por cada departamento. Se pide determinar si hay alguna combinación de los tres productos que agote la capacidad semanal de los tres departamentos. Tabla 2 Departament o 1 2

Prod. 1

Prod. 2

Prod. 3

2 3

3,5 2,5

3 2

Hs. Disponibles 1200 1150

3

4

3

2

1400

El planteo es: 2x+3,5y +3z =1200 3x + 2,5 y +2z= 1150 4x + 3y +2z= 1400 RESOLUCIÓN: Despejemos z de la tercera ecuación  2z = 1400 -4x - 3 y 

z = 700 - 2 x -1,5 y

Reemplazando en la primera y en la segunda ecuación: 2 x +3,5 y + 3 (700 - 2 x -1,5 y) = 1200  -4x - 1 y = -900 3x +2,5 y + 2 (700 - 2 x -1,5 y) = 1150  -x -0,5 y = -250 

x= 250 -0,5 y

Reemplazo “x= 250 -0,5 y” en la ecuación anterior -4 (250 -0,5 y ) -y = -900  -1000 +2 y - y = -900 y = -900 +1000 y = 100 Luego como x= 250 -0,5 y reemplazo por y= 100 , de donde x= 200 Finalmente como z = 700-2x-1,5 y reemplazamos los valores de x e y hallados , obteniendo z= 150 9) Aquí lo que se quiere es determinar son las cantidades a producir de cada alimento. x: alimento 1 y: alimento 2 z: alimento 3 ¿Cuál es el aporte de vitamina de cada uno de ellos? El aporte total debe ser de 52 unidades de vitamina, por lo tanto el aporte del alimento 1 más el del alimento 2 más el del alimento 3 debe ser igual a 52. Es decir: 4x + 6 y + 3 z = 52 Idem con el hierro y las proteínas.

10) En cierta oficina de gobierno se nos informa que existe una partida de $400.000que se debe destinar totalmente a tres tipos de préstamos personales de $1000, $2000 y $3000, respectivamente.

Dada la finalidad social de la iniciativa, se impone que el número de préstamos de $1000representen un tercio de la suma del número de préstamos de $2000 y $3000. Finalmente se establece que es indispensable que se otorguen en total 200 préstamos personales. a) ¿cuántos préstamos de cada tipo se deberán otorgar? b) Si no existiera la imposición de que el número de préstamos de $1000representen un tercio de la suma del número de préstamos de $2000 y $3000 ¿qué puede concluir? c) ¿y si a los condicionamientos originales se le adicionara que debe haber el mismo número de préstamos de $1000 que de $2000, qué pasaría? a) Siendo x1= cantidad de subsidios de $100 a otorgar x2= cantidad de subsidios de $200 a otorgar x3= cantidad de subsidios de $300 a otorgar El sistema resultante está dado por 100 x1 + 200 x2 + 300 x3 = 40.000 x1 = 1/3 (x2 + x3) x1+ x2 + x3 = 200 haciendo pasaje de términos se obtiene: 100 x + 200 y + 300 z = 40.000 3x– y– z =0 x + y + z = 200 b) Sea el sistema 100 x + 200 y + 300 z = 40.000 x + y + z = 200 c) 13) Consideremos x el precio del trigo el año pasado, y el de este año entonces si el precio disminuyó un 20% se tiene. y= x-0,20x Para comprar 6 bolsas este año gasté 6y el año pasado para comprar 5 bolsas gasté 5x pero el gasto de este año es 1,20 menos que lo del año anterior entonces la relación es: 6y= 5x-1,20....