Algebra Tema 1 - Apuntes 1 PDF

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tema 1 algebra de ingenieria electronica en toledo de la uclm...

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Números complejos

TEMA I NUMEROS COMPLEJOS 0.- Introducción. Los números complejos son una herramienta de trabajo del álgebra ordinaria muy importante, tanto en matemáticas puras como aplicadas. Se utilizan en muchos campos de la física (aerodinámica, electromagnetismo, la mecánica cuántica), y en ramas de la ingeniería tales como la electricidad y la electrónica ya que resultan muy útiles a la hora de describir el comportamiento de las ondas electromagnéticas o de la corriente eléctrica. 1.- DEFINICION, OPERACIONES, PROPIEDADES: Si x e y son dos números reales, el par ordenado (x, y) se llama número complejo con las operaciones de suma y producto que se definen a continuación. .- Adición: Si z= (x , y) y z'=(a , b), z + z' = (x, y) + (a, b) = ( x+a, y+b) .- Multiplicación: (x, y)

. (a, b) = ( xa – yb, xb + ay)

La igualdad entre números complejos se define como sigue: (x, y) = (a, b) ⇔ x=a ∧ y= b Los pares (x, 0) se suelen identificar con los números reales y los pares (0, y) se denominan números imaginarios puros. Propiedades de la adición. 1. Asociativa. [(x, y) + (a, b)] + (c, d) = (x, y) + [(a, b) + (c, d)] 2. Conmutativa. (x, y) + (a, b) = (a, b) + (x, y) 3. Existencia de elemento neutro. (0,0) 4. Existencia de elemento opuesto de (x, y), (-x, -y). (C, +) es un grupo conmutativo. Propiedades de la multiplicación. 1. Asociativa. [(x, y). (c, d)] . (e, f) = (x, y). [(c, d) . (e, f)] 2. Conmutativa. (x, y). (a, b) = (a, b). (x, y) 3. Existencia de elemento neutro. (1, 0) x -y 4. Existencia de elemento inverso.de (x, y), � 2 2 , 2 2 � x +y x +y (C-{0}, .) es un grupo conmutativo . Distributividad. (x, y) . [(c, d) + (e, f)] = (x, y). (c, d) + (x, y). (e, f) (C, +, .) es un cuerpo conmutativo. Al identificar el número real x con el complejo (x, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C Observaciones: Una raíz del polinomio p con coeficientes complejos es un número complejo z = (x, y) tal que p(z) = 0. Un resultado importante de esta definición es que todos los polinomios de grado n, con coeficientes complejos, tienen exactamente n soluciones en el Mª Fuensanta Andrés Abellán. Departamento de Matemáticas de la UCLM.

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campo complejo, esto es, existen n números complejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. A este resultado se lo conoce como Teorema Fundamental del Álgebra, y demuestra que los números complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Si un polinomio p tiene todos sus coeficientes reales, y el número complejo z= (a, b) es una raíz de p, entonces el número complejo (a,-b) (complejo conjugado) también es una raíz del polinomio p. .- C no es un cuerpo ordenado. 2.- UNIDAD IMAGINARIA Se llama unidad imaginaria y se designa por i al número complejo imaginario puro (0, 1). Se deduce inmediatamente que: i2 = i . i = (0, 1) . (0, 1) = (-1, 0) = -1 Observación: i3=-i, i4=1. Para calcular in basta elevar i al resto de dividir n entre 4. 3.- FORMA BINOMICA DE UN NÚMERO COMPLEJO. Se llama forma binómica del número complejo (x, y) a la expresión z= x + yi, donde x se llama parte real (x = Re (z)), e y parte imaginaria (y = Im (z)). El número complejo x + y i se puede representar en el plano R2 como el punto de coordenadas cartesianas (x, y). Dicho punto se denomina afijo del número complejo.

Ejercicio. 1.- Expresar en forma binómica los siguientes números complejos: a)

(2 − 3i)(3 + 2i) 4 − 3i

;

Solución. a) (63/25)+(16/25) i

b)

(2 + 3i) i(4 + 5i)

;

c) (2+5i)2 +

5(7 + 2i) - (4-6i)i (3 − 4i)

b) (2/41)-(23/41) i

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c) (-122/5)+(114/5)i 4.- CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO: El conjugado de un complejo z = x + yi (denotado como �z ) es un nuevo número complejo, definido así: �z= x - yi. Los números complejos z y z� sólo difieren en el signo de la parte imaginaria. Propiedades del conjugado: .- ∀z∈ C , �z=z. .- ∀z, z'∈ C

������� � , z + z′=z� + z′

z ����� � �= z′

�, ����� z. z′=z�. z′

z�

z′ �

si z’≠0,

.- z+�z = 2 Re (z) .- z-z� = 2 Im (z) i .- Un número complejo es real ⇔ z=z� 5.- MODULO DE UN NÚMERO COMPLEJO El módulo o valor absoluto de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión: r =|z| = √z. z� = �Re(z)2 + Im(z)2 Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto. Ejemplos. 1.-|z1| = |−3 + 2฀฀| = �(−3)2 + (2)2 = √13 |z2| = |1 + 4฀฀| = �(1)2 + (4)2 = √17 El punto z1= -3+2i está más próximo al origen que el punto z2= 1+4i. 2.- Podemos calcular la distancia entre los puntos z1= -3+2i y z2= 1+4i del modo siguiente: |z1-z2|=|−4 − 2฀฀| = �(−4)2 + (−2)2 = √20 3.- La ecuación |z-1+3i|=2 representa los números complejos cuyos afijos están sobre una circunferencia centrada en (1,-3) de radio 2. Observar que |z|2 = z. z� y si z≠0 ⇒

1 ฀ ฀

=

฀฀

|฀฀|2

Propiedades del módulo .- |z| ≥ 0 ∀z∈C. |z|=0 ⇔ z=0 .- | z + z’| ≤ |z| + |z’| ∀z, z'∈ C (Desigualdad triangular) .- | z. z’| = |z |.| z’| ∀z, z'∈ C Mª Fuensanta Andrés Abellán. Departamento de Matemáticas de la UCLM.

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Ejercicios. 2.- Determinar los valores reales de x y de y que satisfacen las siguientes relaciones: 100

a) x + y i = x - y i 

b)

∑i

k

=x+yi

k =0

3.- Si x, y∈R, resolver la ecuación

xi (3x + 4i) = (1 + yi) (x + 3y)

4.- Describir geométricamente el conjunto de números complejos z, que satisfacen cada una de las siguientes condiciones: a) z  = 1;

b) z+ z = 1;

c) z+ z = z 2

Soluciones 2.- a) x∈R+, y=0 3 3.- 2 + 2

b) x=1,y=0

i , -(2 + 32 i)

4.a) Describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la circunferencia centrada en el origen de radio 1. b) Describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la recta de ecuación x=1/2 c) Describe el conjunto de los números complejos cuyos afijos se encuentran sobre la circunferencia centrada en el (1,0) de radio 1. 6.- ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO. FORMA POLAR x = |z| cos θ Se llama argumento de z = x + iy, al ángulo θ que verifica � y = |z| sen θ La expresión z = |z| (cos θ +i sen θ) se llama forma polar del número complejo z.

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Geométricamente el argumento denota el ángulo, medido en radianes, que forma z con el eje real positivo cuando z se interpreta como un vector. Toma cualquier valor de los infinitos posibles debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas. Dos de estos valores difieren en un múltiplo entero de 2π. Se denomina argumento principal de un número complejo no nulo, y lo designaremos como Arg(z), al único θ∈[0, 2π) que se determina ฀฀฀฀(฀฀) mediante la ecuación tan θ = , teniendo siempre en cuenta el cuadrante en el que se ฀฀฀฀(฀฀) encuentra z. Ejemplos. .- Arg( 1+i )=arc tang (1)= π/4. .- Arg( -1-i )=arc tang (1)= 5π/4.

.- Arg (1-i)=arc tang(-1)= -π/4. .- Arg (-1+i)=arc tang(-1)= 3π/4.

Propiedades del argumento. Si θ1 es el argumento de z1 y θ2 es el argumento de z2, entonces: .- θ1+θ2 es el argumento de z1.z2 .- θ1-θ2 es el argumento de z1 / z2 cuando z2≠0. La demostración de estas propiedades se realiza sin gran dificultad utilizando la forma polar. La forma módulo argumental de un número complejo z es el par (r, θ) donde r=|z| y θ es un argumento de z. Es frecuente escribir rθ. Ejercicios. 5.- Calcular el módulo y el argumento principal de cada uno de los números complejos siguientes. a) 1 b) -3i c) -3+√3i d) (-1-i)3 e) 1/(1+i)

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6.- Expresar en forma módulo-argumental los números complejos (1+i) y (-1+i). π

7.-Expresar en forma binómica los complejos cuya forma módulo-argumental es (2, ) y (√2,

5π 4

2

)

Soluciones 5.Módulo 1 3 2√3 2√2 √2 /2

a b c d e 6.- ((√2,

) y (√2,

π

4

Argumento principal 0 -π/2 5π/6 7π/4 -π/4 3π 4

)

7.- 2i y -1-i 7.- EXPONENCIAL COMPLEJA. Dado θ∈R, se define ei θ = cos θ +i sen θ y se denomina fórmula de Euler. Así, dado un número complejo z= x + i y, se define la exponencial compleja como sigue: ez =ex ei y= ex(cos y +i sen y). Observar que esta definición proporciona otra forma de expresar un número complejo z = x + i y = |z| cos θ +i |z| sen θ = |z| (cos θ +i sen θ)=|z| ei θ Por otro lado como ei θ = cos θ + i sen θ y e−i θ = cos θ - i sen θ, sumando y restando las dos expresiones se obtiene respectivamente que: cos θ =

ei θ +e−i θ 2

sen θ =

ei θ − e−i θ 2i

8.- POTENCIA DE UN NÚMERO COMPLEJO. Fórmula de De Moivre. Para calcular la potencia de un número complejo puede utilizarse la fórmula del binomio de Newton cuando el complejo está expresado en forma binómica, pero si n es grande el proceso resultará muy laborioso. Si se tiene el módulo r y el argumento θ, se puede definir fácilmente la potencia como sigue: n z n = �r e i θ � = r n ei nθ = r n (cos (nθ)+i sen (nθ)) Luego el módulo de z n es r n y uno de sus argumentos es nθ. La siguiente expresión se denomina fórmula de De Moivre. z n = r n (cos (nθ)+i sen (nθ)) Ejercicios.

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7.- Hallar el módulo y el argumento de (1+ 3 i)8. 8.- Calcular i211 Soluciones

7.- Es el número complejo de módulo 256 y argumento

2π . 3

8.-

-i

9.- RAÍCES n-ÉSIMAS DE UN NÚMERO COMPLEJO: Dado un número complejo z = r e i θ , existen n números complejos w0 , w1, …, wn-1 que verifican que (wk)n = z ∀ k=0, 1,…, n-1. Es fácil comprobar que estos números tienen todos θ+2kπ n con k=0, 1, , n-1. el mismo módulo que es √r y sus argumentos son n n La primera raíz es w0 = √ r eiθ/n y el resto se van obteniendo incrementando el argumento en 2π radianes. n

En el gráfico se representan las 5 raíces quintas de z = cos(π/3) + i sen(π/3) y se observa cómo sus afijos forman un pentágono regular. En general los afijos de las n raíces enésimas de un número complejo forman un polígono regular de n lados centrado en el origen. Ejercicios propuestos. 9.- Hallar

4

8 2 −8 2 i

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10.- Calcular

−1 y

5

3

−i

11.- Resolver en C la ecuación z5 = z . 12.- Resolver en C la ecuación z3 + (5i-6) z2 + (9-24i) z + (18+13i) =0 sabiendo que una de sus soluciones es z = -i . Representar en el plano complejo los afijos de las soluciones. Soluciones 9.- (2,

7π 16

), (2,

π

10.- (1,

15π 16

), (1,

5

3π 5

), (2,

23π 16

), (2,

), (1, π ), (1,

31π 16

7π 5

)

), (1,

9π

)

5

11.- Además del cero, son solución los complejos de módulo 1 y argumentos: 0,

π , 3

4π 5π 2π , π, , 3 3 3

12.- Las dos soluciones que faltan son 2-5i y 4+i Ejercicios propuestos (para trabajo individual) 1.- Expresar los siguientes números complejos en forma binómica y en forma polar. a)

1 i(2+3i)

1

2+i

cos 3x+i sen 3x

b)

+ 1−2i

c) z + 1/z , z=

cos x+i sen x

1−i

2.- Determinar los números complejos z = x + iy para los que x e y satisfacen las relaciones siguientes. a) x + i y = (x – i y)2

b) x + y + i (x - y) = (2+5i)2 + i (2-3i)

c) √1 + i = x + iy 3.-Describir geométricamente el conjunto de los números complejos que satisfacen cada una de las condiciones siguientes. b) |฀฀| ≤ 1

a) |฀฀| < 1 d) Re ( z2 ) > 1

c) ฀฀ − ฀฀ = ฀฀ e) |฀ ฀ + 3฀฀| > 4 3 ฀฀

4.- Dados los números complejos z=1+i y z’=-i, determinar �

z′

5.- Calcular. a) (1+i)8

8

b) √−1

√2+1+฀฀ c) � 4

√2+1−฀฀

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6.- Demostrar que si x es un número real, z= (2 + i) ฀฀ (1+3฀฀)฀ ฀ + (2 − ฀฀)฀฀ (1−3฀฀)฀฀ es también un número real. 7.- Resolver las ecuaciones: a) 3฀฀฀฀ + 2(฀฀ − ฀฀) = 39 + 12฀฀ 8.- Se considera el número complejo z = i) ii) iii)

฀฀+1

b) Re � �=1 ฀฀+฀ ฀

฀฀−2฀฀ , siendo a∈C. Determinar a para que z sea: 1−√3฀฀

Un número imaginario puro. Un número real Un número cuyo afijo está en la bisectriz del primer cuadrante.

9.i) Para el número complejo 1+√3 i , calcular el módulo y el argumento. ii) Para el número complejo z de módulo 1 y argumento

5฀฀ 4

calcular ez y Log z

iii) Resolver la ecuación ฀฀ 5 = 1 + √3i iv) Expresar en forma módulo argumental los complejos z1= √2+i√2, z2= - 2i v) Expresar en forma binómica z3 = (1, 5π/4), z4 = (2, π/3).

vi) Calcular (1-2i)3 , √2 − 2฀฀, log (2+2i) 5

Soluciones a los ejercicios propuestos. 1- a) -2/65 + i 16/65 b) cos 2x + i sen 2x c) 7/10+i 9/10 √3 1 1 √3 i 2- a) 0, 1, - + i, 2 2 2 2 b) 2-20i 3- a) Los números complejos cuyos afijos están en el círculo centrado en el origen y de radio 1. b) Los números complejos cuyos afijos están en el círculo centrado en el origen y de radio 1junto con los que los tienen en la circunferencia frontera. c) Los números complejos cuyos afijos están sobre la recta y=1/2 d) Los números complejos cuyos afijos están a la izquierda y a la derecha de cada una de las ramas de la hipérbola x2-y2=1 e) Los números complejos cuyos afijos están fuera de la circunferencia de centro (0, -3) y de radio 4. 4- {(√(2, ) π/4), (√(2, ) 11π/12), (√(2, ) 19π/12)} 5- a)16

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b)Son los ocho números complejos de módulo 1 y argumentos respectivos

π

8 5π 7π 9π 11π 13 π 15π , , , , , 8 8 8 8 8 8 c) Son los cuatro números complejos de módulo1 y argumentos respectivos π 9 π 17 π 25π

,

,

π

,

3 , 8

,

16 16 16 16 7- a) 2+3i y -2+3i b) La solución son todos los números complejos x+yi cuyos afijos están en el plano x-y-1=0, es decir x+(x-1)i con x∈R.

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