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Abitur 2018

Mathe 2018 1. WICH WICHTI TI TIGE GE GR GRUN UN UNDRE DRE DRECH CH CHEN EN ENRE RE REGEL GEL GELN N ...................................................................................... 3 BI N O M I S CHE FO RM E LN ........................................................................................................................... 3 SA TZ DE S PY TH A G O RA S ........................................................................................................................... 3 TRI G O N O M E TR IS CHE WI NK E L S Ä TZ E .................................................................................................... 3 PQ -FO RME L ................................................................................................................................................. 4 S UBS T IT UT I ON ............................................................................................................................................ 4 WI NK EL BE RE CH NU NG EN ......................................................................................................................... 4 ZA H L E N A RTE N ............................................................................................................................................ 4 BRÜ CHE ........................................................................................................................................................ 4 RE C HEN BE G RI FF E ...................................................................................................................................... 4

2. ANA ANALYSI LYSI LYSISS .............................................................................................................................. 5 FU NK TI O NS TY PE N ...................................................................................................................................... 5 DIFFE RE N TI A TI O NS - UN D IN TE G RA TI O N S RE G E L N ........................................................................... 8 KU RV EN DI SK US SI ON ............................................................................................................................... 11 VO K A BE L N Z UM BE S CH RE IBE N VO N FUNK TI O NE N ....................................................................... 12 FU N KT IO NS S CHA R ................................................................................................................................... 13 O RT SK U RVE ............................................................................................................................................... 13 TA N GE NT E ................................................................................................................................................. 13 DIF FE RE NT IAL QU O TI EN T ....................................................................................................................... 14 NO RM A L E ................................................................................................................................................... 14 EX TRE M A L -/ O P TI M IE RU NG S PRO BL E ME .......................................................................................... 14 RE K ON ST RU K TI ON ................................................................................................................................... 15 SI G N A L W Ö RTE R UN D „ÜBE RS ET ZUN G EN “ ....................................................................................... 15 BE S TA N DS G RA PH / ÄN DE RU NGS GRA PH ............................................................................................ 15 PE RI O DI S CH E PRO ZE S S E ........................................................................................................................ 16 GRA D- UN D BO G EN MA ß ........................................................................................................................ 16 O BE R- UN D UN TE RS UM M E ................................................................................................................... 16 FL Ä CH E N BE RE CH N UN G MI T DE M ( UN BES TI M M TE N ) IN TE GRA L .............................................. 17 VO RG E HEN Z UR BE RE CH N UN G DE S FL Ä CH E N IN HA L TS ................................................................ 18 GA Uß -A L GO RI TH MU S ............................................................................................................................. 19 R OTA T ION S VO LU MEN ............................................................................................................................ 20

3. LINE LINEARE ARE AL ALGE GE GEBR BR BRA/ A/ AN ANAL AL ALYTIS YTIS YTISCH CH CHE EG GEO EO EOME ME METRIE TRIE .................................................................. 21 DRE I DI M E N S I O N A LE S K O ORDI N A TE N S Y S TE M ................................................................................. 21 VE K TO RB E GR IF F ....................................................................................................................................... 21 RE CHN E N M I T VEK TO RE N ..................................................................................................................... 22 RE CHE N GES E TZ E FÜ R V E K TO RE N ....................................................................................................... 23 L I N EA RE ( U N-) A BH Ä N G I G K E I T ............................................................................................................. 23 LA G E BE Z I E H UN GE N V O N GE RA DEN ................................................................................................... 23 DA RS TE L L UN G S FO RM EN V ON E BE N E N ............................................................................................. 24 RE CHN E N M I T DE N V E RS CH IE DE N E N E BE N E N FO RME N ............................................................... 24 EBE N E N FO RM E N I NE IN A N DE R UM WA NDE L N ................................................................................. 25 S KA LA RP R ODU K T ..................................................................................................................................... 25 VE K TO R- / K REU ZPRO DUK T ................................................................................................................... 26 SCH N I TTW I N K E L BE RE CH NE N .............................................................................................................. 27

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LA G E BE Z I E H UN GE N G E RA DE -E BE N E .................................................................................................. 28 LA G E BE Z I E H UN GE N E BE N E -E BEN E ..................................................................................................... 28 EBE N E -E BE N E I N DE N VE RS CH IE DE N EN E BE NE NF ORME N .......................................................... 29 ABS TA N D: PUN K T-E BE N E -G E RA DE ..................................................................................................... 31 MA TR I ZE NRE C HN UN G ............................................................................................................................ 32 AB BIL DU NG SM AT R IZE N ......................................................................................................................... 33

4. STOC STOCHA HA HASTI STI STIK K ................................................................ ....................................................................................................................... ....................................................... 35 GRUN DL E G E N DE BE G RIFF E ................................................................................................................... 35 ME HRS TUFI G E Z UFA LL S E X PE RI ME NTE .............................................................................................. 35 ME NG EN SCH RE I BWE IS E ......................................................................................................................... 35 BE DI N G TE W A H RS CH E I N L I CH K E I T ...................................................................................................... 36 ST OCH AS TI S CH E ( UN -) A BHÄ N G I G K E I T .............................................................................................. 37 ME HRS TUFI G E Z UFA LL S E X PE RI ME NTE .............................................................................................. 37 KO M BI NA TO RI K ........................................................................................................................................ 37 BE RN O UL L I FO RM EL ............................................................................................................................... 38 STA TI S TI S CH E S TRE UM A ßE ................................................................................................................... 38 BE RN O UL L I -V E RS UCH ............................................................................................................................. 38 SI G M A -RE G E L N ......................................................................................................................................... 39 EI G E N S CH A FTE N VO N BI NO M I AL VE RTE IL UN G EN .......................................................................... 39 EI N S E I TI G E R & Z W E I S E ITI G E R H Y PO THE S E N TE S T ......................................................................... 39 FE HLE R 1 . AR T .......................................................................................................................................... 40 FE HLE R 2 . AR T .......................................................................................................................................... 40 O PE RA TI O N S CH A RA K TE RI ST IKE N ( O C) .............................................................................................. 41 NO R MAL V ER TE IL UN G ............................................................................................................................. 41

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1. Wichtige Grundrechenregeln BINOMISCHE FORMELN

SATZ DES PYTHAGORAS

𝐚𝟐 + 𝐛𝟐 = 𝐜 𝟐 TRIGONOMETRISCHE WINKELSÄTZE „G GaGa-HühnerH HofAG AG AG“

(an )m

an∙m

(am )n

− = = − an ∙ am = an+m − an ∙ bn = (a ∙ b)n

POTENZGESETZ E −

an

bn an am e0

a n

= (b)

= an−m − − =1 − eln(x) = x

− log3 (9) → 3x = 9 − log(b1 ∙ b2 ) = log(b1 ) + log(b2 ) b − log ( 1) = log(b1 ) − log(b2 )

LOGARITHMUSGESETZE

− − − − −

b2

log(br ) = r ∙ log(b) 1 n log( √b) = ∙ log(b) n ln(1) = 0 ln(e) = 1 ln(ex ) = x

ex = y ⟺ x = ln(y)

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PQ-FORMEL

SUBSTITUTION

𝐱𝟐 ≔ 𝒛 ⇒ 𝐱 𝟒 ≔ 𝐳 𝟐

WINKELBERECHNUNGEN Win kel ar ten Winkel kelar arten ten:: Wechselwinkel

Stufenwinkel

Scheitelwinkel

Nebenwinkel

Kosi nus sa tz: Kosinus nussa satz: (z.B.: bei SWS/SSW,…)

a2 = b2 + c 2 − 2bc ∙ cos(α) Sinuss ssat atz: Sinu ss at z: 𝑎 𝑏

= 𝑠𝑖𝑛(𝛽) 𝑠𝑖𝑛(𝛼)

Innenwinkelsumme Dreieck = 180°, n-Eck: (𝑛 − 2) ∙ 180°

ZAHLENARTEN Natürliche Zahlen: Ganze Zahlen:

ℝ

Reelle Zahlen: :𝑧 = 𝑛 𝑚

𝑚 x : 𝑛 z

=

m n

z

𝑚 𝑛

=

𝑚 𝑛∙z

∙x= z

ℤ = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }

ℚ = { 𝑛 | m, n ϵ ℤ, n ≠ 0}

Rationale Zahlen:

BRÜCHE

ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, . . . } 𝑚

 Division eines Bruchs durch eine natürliche Zahl

𝑚z 𝑛x

 Division zweier Brüche = mit Kehrwert multiplizieren

„Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen!“

RECHENBEGRIFFE Add itio n Additio ition Subtrak traktio tion Sub trak tio n Multip ltiplika likatio tion Mu ltip lika tio n Divisio sion Divi sio n

1. Summand Minuend 1. Faktor Dividend

+ x :

2. Summand Subtrahend 2. Faktor Divisor

= = = =

Summe Differenz Produkt Quotient

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2. Analysis FUNKTIONSTYPEN ganzra zratio tiona nale Funkti ktion (Polyn olynom omffunk unktio tion): gan zra tio na le Fun kti on (P olyn om tio n): Der Funktionsterm ist ein Polynom, einzelne Teile des Terms werden addiert oder subtrahiert - kann punkt u. achsensymmetrisch sein - abschnittsweise steigend/ fallend ANWENDUNG: Bestandsgraph/ Höhenprofil

-

f(x) = an x n + an−1 x n−1 + ⋯ + a2 x 2 + a1 x + a0

f(x) = x3  kubische Funktion

Quad adrati ratisch schee FFun unkti ktion (Para rabel bel): Qu ad rati sch un kti on (Pa ra bel ): - fällt genauso wie sie steigt, ANWENDUNG: Ballwurf - HP/TP = Scheitelpunkt f(x) = a(x − b)2 + c  Scheitelpunktform a = Öffnung & Streckfaktor a > 0 = nach oben geöffnet a < 0 = nach unten geöffnet a >1 oder a < -1 = steiler als Normalparabel -1 < a < 1 (a ≠ 0 ) = flacher als Normalparabel b = Verschiebung entlang der X-Achse b > 0 = nach rechts verschoben b < 0 = nach links verschoben c = Verschiebung entlang der Y-Achse c > 0 = nach oben c < 0 = nach unten

Scheitelpunktform

f(x) = a(x − d)2 + e

Streckfaktor: a Scheitelpunkt: S(d/e)

Allgemeine Form/ Parameterform f(x) = ax2 + bx + c Streckfaktor: a Y-Achsen-SP: c

Faktorisierte Form

f(x) = a(x − x1 )(x − x2 )

Streckfaktor: a Nullstellen: x1 , x2 Scheitelpunkt: hat eine Parabel 2 NS, so liegt aus Symmetriegründen der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen beiden NS.

Linea eare unkti ktion: Lin ea re FFun un kti on: f(x) = mx + b  Gerade, Steigung m immer gleich ANWENDUNG: gleichmäßige Beschleunigung, proportionale Zuordnung Poten enzfu zfunk nktio tion: Pot en zfu nk tio n: n f(x) = ax + b  Punktsymmetrisch, besitzt Sattelpunkt, fällt ODER steigt ANWENDUNG: Füllkurve einer Kugel 5

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f(x) = √x

Wurzel rzelfu funkti nktion on:: Wu rzel fu nkti on n

Glo bal er V f: Global baler Veerlau rlauf: Höchster Exponent n Vorfaktor vor dem höchsten Exponenten an Verlauf

Skizze

gerade

gerade

ungerade

ungerade

positiv

negativ

positiv

negativ

f(x) → ∞ für x → ∞

f(x) → −∞ für x → ∞

f(x) → ∞ für x → ∞

f(x) → −∞ für x → ∞

f(x) → ∞ für x → −∞

geb roc hen ra ti on ale Fu nk tio nen gebroc rochen rati tion onale Funk nktio tionen nen::

Quotient zweier Polynome, z.B: f(x) =

f(x) → −∞ für x → −∞

f(x) → −∞ für x → −∞

f(x) → ∞ für x → −∞

2x2 +5x−3 xn = m 4x x

Un ech eb roc hen kti on Unech echtt ggeb ebroc rochen henee Fun Funkti ktion on:: n≥m Ech eb roch en kti on: Echtt ggeb ebroch rochen enee Fun Funkti ktion: n 1  Funktion steigt m > 0 0 < a < 1  Funktion fällt m < 0 b = Streckfaktor in Y-Richtung/ Anfangswert b > 0  Y-Achsenabschnitt, Öffnung nach oben b < 0  Y-Achsenabschnitt, Öffnung nach unten c = Verschiebung entlang der Y-Achse 6

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c > 0  nach oben c < 0  nach unten d = Verschiebung entlang der X-Achse d > 0  nach rechts d < 0  nach links Wertebereich: Y ∈ ℝ+/− MERKE: Die Ableitung einer Exponentialfunktion ist wieder eine Exponentialfunktion, die nach links oder rechts verschoben ist, im Vergleich zur Ausgangsfunktion. f(x) = ax f ′ (x) = ln(a) ∙ ax ANWENDUNG: Bakterienwachstum e-Fu e-Funk nktion tion:: nk tion f(x) = ex ist eine besondere Exponentialfunktion, weil die Ausgangsfunktion gleich der Ableitungsfunktion ist f(x) = ex = f ′ (x) Die Basis e nennt man auch eulerische Zahl ( e ≈ 2,718281 …) WICHTIG: f(x) = ex > 0  nähert sich nur der X-Achse an, schneidet nie

 Asymptote zur X-Achse (oder Parallele) Log ari th mus fu nk tion Logari arith thmus musfu funk nktion tion:: f(x) = loga (x) = n → ax = n

Trigon onom ometr etrisc ische Funk nktio tion: Trig on om etr isc he Fu nk tio n: f(x) = a ∙ sin(b ∙ (x + c)) + d a= Streckung der Amplitude a > 1 -a = Spiegelung an der X-Achse Stauchung der Amplitude 1 > a > 0 2π b= Periodenlänge/ Periodizität > 1  Streckung b c = Verschiebung entlang der X-Achse c > 0  nach links = + c < 0  nach rechts = d = Verschiebung entlang der Y-Achse d > 0  nach oben d < 0  nach unten

2π b

< 1  Stauchung

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sin-Fun Funkti ktion on:: sinFun kti on

cos-Fu Funk nktio tion: cosFu nk tio n:

Graph

x ϵ[ℝ]

Definitionsmenge Wertemenge Periode Symmetrie Nullstellen

y ϵ[−1; 1]

y ϵ[−1; 1]

2π Punktsymmetrisch x=n∙π+0= n∙π n∈ℤ x=

Hochpunkt

2π Achsensymmetrisch π x= +n∙π 2 n∈ℤ x = n ∙ 2π + 0 = n ∙ 2π n∈ℤ

π

+ n ∙ 2π 2 n∈ℤ 3π x= + n ∙ 2π 2 n∈ℤ

Tiefpunkt Sonstiges

x ϵ[ℝ]

π cos (x − ) = sin(x) 2 Wendepunkte entsprechen den NS ANWENDUNG: Riesenrad, Schwingungen

Wic Wichti htige Funkti ktion onsw swert erte: hti ge Fun kti on sw ert e: 0° Gradmaß (α) Bogenmaß (x) 0 sin(x)/sin(α) cos(x)/cos(α)

0/0 1/1

90° 1 π 2 1/1 0/0

180° π

0/0 -1/-1

x = n ∙ 2π + π n∈ℤ

270° 3 π 2 -1/-1 0/0

360° 2π

0/0 1/1

DIFFERENTIATIONS- UN D INTEGRATIONSREGELN Diff er enti ati on sreg el Differ erenti entiati ation onsreg sregel Potenzregel: 𝑓 ′(𝑥) = (𝑥 𝑛 )′ = 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1

Int egra tio ns reg el Integra egratio tions nsreg regel Potenzregel:

1 ∙ 𝑥 𝑛+1 + 𝐶 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 = 𝑛+1

Summenregel: Summenregel: 𝑓 ′(𝑥) = (ℎ(𝑥) + 𝑔(𝑥))′ 𝐹(𝑥) = ∫(𝑔(𝑥) + ℎ(𝑥))𝑑𝑥 = ℎ′ (𝑥) + 𝑔′(𝑥) = 𝐺 (𝑥) + 𝐻(𝑥) + 𝐶

Faktorregel: Faktorregel: ′ ′ ′ 𝑓 (𝑥) = (𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)) = 𝑎 ∙ 𝑓 (𝑥) 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∙ 𝐹(𝑥) +

Beis piel fu nk tio n Beispiel pielfu funk nktio tion 𝑓(𝑥) = 𝑥 2

𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑥 𝑓(𝑥) = 3𝑥 2 + 2𝑥

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Kettenregel: 𝑓 ′ (𝑥)

Lineare Substitution:

= (𝑣(𝑢(𝑥)) 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑣(𝑢(𝑥))𝑑𝑥 = 𝑣′(𝑢(𝑥)) ∙ 𝑢′(𝑥 ′

1 +𝐶 = 𝑉(𝑢(𝑥)) 𝑢′∙(𝑥)

𝑓(𝑥) = 3(𝑥 + 2)2

Produktregel: Partielle Integration: ′ ′ 𝑓 (𝑥) = (𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)) 𝐹(𝑥) = ∫ 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥)𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒 𝑥 = 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) + 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣 ′ (𝑥) ′ (𝑥) 𝑓 = 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣 ′ (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 (𝑥 + 1)  Typ 1,2: Abräumen von Polynomen (Das Das Po Poly ly lyno no nom mm mus us usss aabg bg bgelei elei eleittet wer werden den den!! = v(x) v(x)) & Wiederentstehung des Ausgangsintegrals Quotientenregel: ′ 𝑢(𝑥) 𝑓(𝑥) = ( ) 𝑣(𝑥) =

𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − 𝑢 (𝑥) ∙ 𝑣 ′ (𝑥) 𝑣 2 (𝑥)

𝑒𝑥 𝑓(𝑥) = cos(𝑥)

2 Ty pen dder er Pro du kti nte gr at ion: Typ Produ dukti ktinte ntegr grat ation: Typ 1: Abräumen von Polynomen

gesucht: Stammfunktion von f(𝑥) = 𝑢′(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) = cos 𝑥 ∙ 𝑥 2

u(𝑥) = sin(𝑥) 𝑢′ (𝑥) = cos(𝑥) v(𝑥) = 𝑥 2 𝑣 ′ (𝑥) = 2x  v(𝑥) muss immer das Polynom, da v(x) abgeleitet wird. F(𝑥) = ∫ 𝑢′ (𝑥) ∙ 𝑣(𝑥 ) 𝑑𝑥 = u(𝑥) ∙ 𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢(𝑥) ∙ 𝑣 ′ (𝑥)  𝑑𝑥

𝐹(𝑥) = ∫ 𝑐𝑜𝑠(𝑥...