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ABITUR LERNZETTEL MATHEMATIK LK 2021 DAVID LEPPER

INHAL ABITUR LERNZETTEL MATHEMATIK LK 2021 ..............................................................................................0 DAVID LEPPER ..........................................................................................................................................0 Q1.1 Einführung in die Integralrechnung..................................................................................................6 – Bedeutung des Integrals als Bestandsgröße und als orientierter Flächeninhalt: ............................6 – Flächen unter einem Funktionsgraphen: ...........................................................................................7 Approximieren von Flächeninhalten durch Rechtecksummen ( Obersumme/Untersumme) .........7 – Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: ...........................................................................8 grafischer Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion und Ableitung .........................8 – Stammfunktionen bilden: ....................................................................................................................8

Stammfunktion von 𝑥𝑛, e-funktionen, Wurzeln, sin/cos .......................................................................8

Q1.2 Anwendungen der Integralrechnung............................................................................................10

– Flächeninhaltsberechnung: .............................................................................................................. 10 Berechnen der Inhalte von Flächen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder Parallelen zu den Koordinatenachsen begrenzt sind (auch in Sachzusammenhängen)..............10 – bestimmte Integrale als rekonstruierter Bestand: ............................................................................12 Anwenden des Integrals für Berechnungen in Sachzusammenhängen ......................................... 12 – Rotationskörper: ................................................................................................................................. 12 Berechnen der Volume von Körpern, die durch Rotation von Flächen um die X-Achse entstehen ...............................................................................................................................................................12 – uneigentliche Integrale: .................................................................................................................... 13 Untersuchen unendlich ausgedehnter Flächen ................................................................................ 13 Q1.3 Vertiefung der Differenzial- und Integralrechnung.......................................................................14 – verständiges Umgehen mit den in der Einführungsphase erarbeiteten Inhalten: ........................ 14 Funktionen und ihre Darstellung, ganzrationale Funktionen, Exponentialfunktionen, trigonometrische Funktionen, Ableitungsregeln ................................................................................14 – Untersuchen und Integrieren von e-Funktionen .............................................................................. 17 – Wachstums- und Zerfallsprozesse: .................................................................................................... 17 – die natürliche Logarithmusfunktion f(x) ln(x) = : .............................................................................. 18 Beschreiben und Darstellen der natürlichen Logarithmusfunktion und ihrer Eigenschaften als Beispiel einer Umkehrfunktion, die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion von 1/ x ...18 – Approximation von Funktionen:........................................................................................................19 lokale Linearisierung mithilfe der Ableitung ........................................................................................ 19 -Trassierung-Glatter Übergang von Funktionen aufstellen ................................................................19 Q1.4 Funktionenscharen.......................................................................................................................... 21 – ganzrationale Funktionenscharen: ...................................................................................................21 Untersuchen und Integrieren von Funktionenscharen, Bedeutung des Parameters für den Graphen ................................................................................................................................................21 – weitere Funktionenscharen und Ortskurven: ................................................................................... 23

Untersuchen und Integrieren von Funktionenscharen, bei denen e-Funktionen mit ganzrationalen Funktionen verknüpft sind (Addition, Multiplikation und Verkettung), Bestimmen der Ortskurven von Extrem- und Wendepunkten ..............................................................................23 Q2.1 Lineare Gleichungssysteme (LGS) .................................................................................................25 – Einführung und Lösungsverfahren: ...................................................................................................25 Beispiele für LGS, Darstellen von LGS mithilfe von Koeffizienten Matrizen, Lösen mithilfe eines digitalen Werkzeugs ............................................................................................................................. 25 – Anwenden von LGS: .......................................................................................................................... 25 exemplarisches Behandeln außermathematischer Fragestellungen, die auf LGS führen .............25 – geometrische Interpretation der Lösungsmengen von LGS (in Verbindung mit Themenfeld 3).26 Q2.2 Orientieren und Bewegen im Raum...............................................................................................26 räumliche Koordinatensysteme:.......................................................................................................... 26 Darstellen räumlicher Objekte im dreidimensionalen Koordinatensystem (insbesondere Zeichnen von Schrägbildern und Beschreiben von Punkten mithilfe von Koordinaten), auch mithilfe von Geometriesoftware ..............................................................................................................................26 – Vektoren: ............................................................................................................................................ 27 Beschreiben von Verschiebungen im Raum mithilfe von Vektoren, Ortsvektor eines Punktes, Rechnen mit Vektoren (Addition und Vervielfachung von Vektoren), Kollinearität zweier Vektoren, Betrag eines Vektors=Abstand zweier Punkte im Raum .................................................. 27 – Winkel:................................................................................................................................................. 29 Definition des Skalarprodukts, Untersuchen der Orthogonalität von Vektoren, Bestimmen des Winkels zwischen zwei Vektoren ..........................................................................................................29 – einfache geometrische Figuren und Körper im Raum:...................................................................29 Untersuchen einfacher geometrischer Figuren und Körper (Seitenlängen, Parallelität, Orthogonalität, Winkelgrößen), Begründen der Eigenschaften .......................................................29 Q2.3 Geraden und Ebenen im Raum – Parameterdarstellungen:........................................................30 Darstellen von Geraden und Ebenen im Raum mit Parametergleichungen, Punktprobe ............30 – Lagebeziehung von Geraden und Ebenen: ................................................................................... 33 Untersuchen der Lagebeziehung zweier Geraden, Berechnen des Schnittpunktes und des Schnittwinkels zweier Geraden,...........................................................................................................33 – komplexere Problemstellungen: .......................................................................................................36 Untersuchen geometrischer Objekte im Raum (z. B. Pyramide), Beschreiben und Untersuchen geradliniger Bewegungen, Untersuchen von Schattenwürfen ........................................................ 36 – weitere Darstellungsformen einer Ebene: ........................................................................................37 Koordinatengleichung der Ebene, Normalenvektor und Normalenform einer Ebene, Umwandeln der bekannten Darstellungsformen ineinander, Untersuchen der Lagebeziehung von Gerade und Ebene sowie Bestimmen von Durchstoßpunkten mithilfe der Koordinatengleichung ............37 – weitere Lagebeziehungen und Abstandsbestimmungen:.............................................................40 Lagebeziehung zweier Ebenen, Bestimmen von Schnittgeraden, Lotfußpunktverfahren zur Abstandsbestimmung zwischen Punkten, Geraden und Ebenen .................................................... 40 – Vektorprodukt/Kreuzprodukt: ........................................................................................................... 42 Berechnen von Normalenvektoren.....................................................................................................42 Q2.5 Matrizen zur Beschreibung linearer Abbildungen ........................................................................43

– Beschreiben von geometrischen Abbildungen mithilfe von Matrizen (z. B. Schattenwürfe oder andere Projektionen)............................................................................................................................43 – Rechnen mit Matrizen:....................................................................................................................... 44 skalare Multiplikation, Matrix-Vektor-Multiplikation, Matrizenmultiplikation, Bestimmen inverser Matrizen mithilfe eines digitalen Werkzeugs .......................................................................................44 – Darstellen linearer Abbildungen mit Matrizen im IR3: .....................................................................45 Bestimmen von Bildpunkten bei beliebigen Abbildungsmatrizen (s.o), Untersuchen und Bestimmen von Abbildungsmatrizen bei folgenden Abbildungen: orthogonale Spiegelungen an den Koordinatenebenen, Parallelprojektionen auf die Koordinatenebenen, zentrische Streckungen am Koordinatenursprung, Verknüpfungen dieser Abbildungen................................ 45 – Darstellen linearer Abbildungen mit Matrizen im IR3 : ....................................................................46 Untersuchen und Bestimmen von Abbildungsmatrizen bei folgenden Abbildungen: Drehungen um die Koordinatenachsen, Parallelprojektionen auf beliebige Ursprungsebenen, Bestimmen von Fixpunkten ...................................................................................................................................... 46 Q3.1 Grundlegende Begriffe der Stochastik ..........................................................................................47 – Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie: .................................................................................. 47 Beschreiben von Zufallsexperimenten (Laplace-Experimente) unter Verwendung der Begriffe Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis und Wahrscheinlichkeit.............................................................. 47 – statistischer Wahrscheinlichkeitsbegriff: ...........................................................................................47 absolute und relative Häufigkeit Vergleich von statistischem und laplaceschem Wahrscheinlichkeitsbegriff ................................................................................................................... 47 – Umgang mit Daten: ........................................................................................................................... 48 exemplarisches Planen statistischer Erhebungen, Beurteilen mithilfe von Mittelwert, empirischer Varianz(s.u.), Standardabweichung(s.u.) ...........................................................................................48 – Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten: ............................ 48 Baumdiagramm, Pfadregeln ............................................................................................................... 48 Q3.2 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten.........................................................................................48 – bedingte Wahrscheinlichkeiten: ....................................................................................................... 48 Identifizieren und Beschreiben bedingter Wahrscheinlichkeiten in verschiedenen Sachzusammenhängen, Darstellen und Berechnen mittels Baumdiagrammen und Vierfeldertafeln, Überprüfen von Ereignissen auf ............................................................................... 48 (Un-)Abhängigkeit ................................................................................................................................48 – Bestimmen von Laplace-Wahrscheinlichkeiten mithilfe von Zählverfahren: ................................ 50 Lösen einfacher kombinatorischer Zählprobleme (geordnete Stichproben ...................................50 mit / ohne Zurücklegen, ungeordnete Stichproben ohne Zurücklegen), Binomialkoeffizient ....... 50 Q3.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen – Erarbeiten grundlegender Begriffe:.....................................51 Zufallsgröße, Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Darstellung durch Histogramme, Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Untersuchen einfacher Glücksspiele ................ 51 – Bernoulli-Ketten: ................................................................................................................................. 52 Bernoulli-Experiment, Bernoulli-Kette, Angeben der Kenngrößen von Bernoulli-Ketten,, Berechnen von Trefferwahrscheinlichkeiten in verschiedenen Sachzusammenhängen, Modellierungsgrenzen ..........................................................................................................................52 – binomialverteilte Zufallsgrößen: ........................................................................................................52

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung, Analysieren von Histogrammen hinsichtlich ihrer Eigenschaften, kumulierte Binomialverteilung (Berechnen auch mit digitalen Werkzeugen) ....... 52 – normalverteilte Zufallsgrößen: ........................................................................................................... 54 Dichtefunktion der Normalverteilung, Abgrenzen gegenüber diskreten Zufallsgrößen, Zuordnen der Glockenform als Eigenschaft der Graphen, Erwartungswert und Standardabweichung, Berechnen von Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsgrößen in verschiedenen Sachzusammenhängen (z. B. Körpergröße und -gewicht, Füllmengen) mittels digitaler Werkzeuge ............................................................................................................................................54 – Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung: ................................................................ 56 Idee der Annäherung der Histogramme binomialverteilter Zufallsgrößen an Glockenkurven bei großer Standardabweichung ..............................................................................................................56 Q3.4 Hypothesentests (für binomialverteilte Zufallsgrößen) .................................................................57 – Erarbeiten grundlegender Begriffe:..................................................................................................57 Hypothesen, Alternativtest, einseitiger Hypothesentest, Verwerfungsbereich, Entscheidungsregel, Fehler erster / zweiter Art...................................................................................................................... 57 – Berechnen von Irrtumswahrscheinlichkeiten (auch mittels digitaler Werkzeuge) ........................ 59 – Entwickeln zweiseitiger Hypothesentests ......................................................................................... 59

Q1.1 Einführung in die Integralrechnung – Bedeutung des Integrals als Bestandsgröße und als orientierter Flächeninhalt: Integral als Bestandsgröße (Unbestimmtes Integral): - haben keine Integralgrenzen 𝑏 =>∫ 𝑥 0

- Sie zu berechnen bedeutet einfach nur die Stammfunktion der Funktion im Integral zu bestimmen 𝑏3 𝑏 𝑘 𝑏 2 𝑏𝑘+1 ➔ z.B: ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = ➔ jede beliebige Grenze b => ∫ 𝑥 𝑑𝑥 = 0 0 𝑘+1 3 kann nun eingesetzt werden, um einen Wert raus zu bekommen

Integral als orientierter Flächeninhalt (Bestimmtes Integral): - haben angegebene Integralgrenzen 3 =>∫ 𝑥 0 - Man berechnet den Wert des Integrals mit dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung: 𝑏 𝑏 => ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = {𝑆𝑡𝑎𝑚𝑚𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐹(𝑥)} = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = ⋯ 𝐹𝐸 𝑎

– Flächen unter einem Funktionsgraphen: Approximieren von Flächeninhalten durch Rechtecksummen ( Obersumme/Untersumme) Ober/ Untersumme

A

𝑈𝑛

Anzahl Der Streifen (n=unendlich) Um genauste Fläche zu berechnen

𝑂𝑛

=a

∗

𝑏

= ∆𝑥

∗

𝑓(0)+(𝑓(∆𝑥)+𝑓(2∆𝑥 )+𝑓(3∆𝑥 )+⋯+𝑓(𝑛∆𝑥)

= ∆𝑥

∗

(𝑓(𝑥)+𝑓(2∆𝑥 )+𝑓(3∆𝑥)+⋯+𝑓(𝑛∆𝑥)

= Streifenbreite 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑙𝑏𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ ∆𝑥 = (𝑛(𝐴𝑛𝑧𝑎ℎ𝑙 𝑑𝑒𝑟 𝑆𝑡𝑟𝑒𝑖𝑓𝑒𝑛)

*

Höhe der Streifen

– Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung: grafischer Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion und Ableitung - Der HDI oder Fundamentalsatz der Analysis führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale (Ermittlung der Stammfunktion) zurück - Unter der Voraussetzung, dass F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x) ist, also F′(x)=f(x)

➔

𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = {𝑆𝑡𝑎𝑚𝑚𝑓𝑢𝑛𝑘𝑡𝑖𝑜𝑛 𝐹(𝑥)} = 𝐹 (𝑏) − 𝐹(𝑎) 𝑎 𝑏

F(x)  f(x)  f‘(x)  f‘‘(x)  f‘‘‘(x) Stammfunktion F(x) Funktion f(x)

N

Ableitung f‘(x)

H/T N

W H/T W N H/T W

N = Nullstelle H/T= Hochpunkt/Tiefpunkt (Extrempunkt) W = Wendepunkt

– Stammfunktionen bilden: Stammfunktion von 𝑥 𝑛 , e-funktionen, Wurzeln, sin/cos

Normal ( 𝒙𝒏 ):

𝐱𝐤

𝐱 𝐤+𝟏 = 𝐤+𝟏

=> 𝑥 = 3

𝑥4 4

;

10𝑥 3

=

10𝑥 4 4

1 𝑥 −2 1 −2 −3 𝑥 = 𝑥 = = − 2 𝑥3 −2

= 2,5𝑥 4 ;

e-Funktionen:

Bleibt gleich

𝒆𝒌𝒙 = => 𝑒

7𝑥

𝟏𝒆𝒌𝒙 𝒌

=

√𝒙 𝒕

=>

=

1𝑒 7𝑥 7

𝒕 𝒙𝒌

√𝑥 3 4

𝟏

𝒌

𝒆𝒌𝒙

Ableitung vom Exponenten

Wurzel: 𝒌

=

= 𝑒 7𝑥 1

7

𝒕

𝒙𝒌 = 𝒕 +𝟏 𝒌 +𝟏

=𝑥 = 3 4

7

𝑥4 7 4

=

1 7 4

𝑥 = 7 4

4 7 𝑥4 7

sin/cos:

sin(x)

„ableiten“

-cos(x)

cos(x)

-sin(x)

„aufleiten“ (Stammfunktion)

Q1.2 Anwendungen der Integralrechnung – Flächeninhaltsberechnung: Berechnen der Inhalte von Flächen, die von einem oder mehreren Funktionsgraphen und/oder Parallelen zu den Koordinatenachsen begrenzt sind (auch in Sachzusammenhängen) Fläche zwischen Graph und X-Achse 1. Ggf. Graph skizzieren 2. Alle Nullstellen berechnen =>Für Intervalle 3. Integrale Berechnen Beispiel : f(x)=− ∗ 𝑥 5 + 𝑥 3 9 1

2. 1)Umstellen nach 0 für Nullstellenberechnung 1 ⋅ 𝑥5 + 𝑥3 = 0 9 2) 𝑥 3 ausklammern

𝑥 3 ( − ⋅ 𝑥 2 + 1) 9 => x1= 0 =>x2 = 3 =>x3 =-3 1

=>∫−3 … & ∫0 … 0

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