Matriz Potencia PDF

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Descripción de la Matriz potencia...

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MATRIZPOTENCIA Unaprimeraaplicaciónaladiagonalizacióndeunamatrizesquesepuedefácilmenteencontrarla pontencian‐ésimadeunamatriz.Supongamosquelamatrizsehadiagonalizadoyporlotanto podemosdecirque   . Elresultadodeelevar es:

      󰇛 󰇜  󰇛 󰇜      elproductodeunamatrizporsuinversaeslamatrizidentidad,esdecir:     entonces:          .

Elresultadodeelevar es:

      󰇛 󰇜  󰇛  󰇜     , elproductodeunamatrizporsuinversaeslamatrizidentidad,esdecir:     entonces:            . Entoncesporinducciónpodemosconcluirque:     

ylamatriz sepuedeencontrarfácilmente.Acontinuaciónsemuestraelcálculodelapotencia dematricesdiagonales.  EJEMPLO1. Elevarlamatriz  󰇡

 0

0 󰇢 alcuadrado,alcuboyalacuartapotencia 

Solución:   0 󰇢󰇡       󰇡 0 0         󰇡 0

0󰇢  󰇡   0

0 󰇢. 

0 󰇢  󰇡 0󰇢  󰇡  0  0 

0 󰇢. 

Dr.JuanM.Camacho[email protected]

       󰇡0

 0  0󰇢  󰇡 󰇢  󰇡 0   0

0 󰇢. 

 comovemos,podemosafirmarquelaene‐ésimapotenciadeA,lapodemosescribircomo:   󰇡

  0 󰇢. 0 

yenformageneralparacualquiermatrizdiagonal.     0 0

0  0

0 0  

 EJEMPLO2 Elevarlamatriz

1 4 󰇡 󰇢 3 5

alcuadrado,alcuboyalacuartapotencia Solución: Enseccionesanterioresseencontróque:      󰇡

2 1

2 1 0󰇢  1 3 󰇡 󰇢󰇡 0 7 8 1 3

2󰇢 2

entonceselevandoalcuadrado.      󰇡

󰇛1󰇜 2 2 󰇢 1 3 0

1 0   󰇡3 2󰇢  8 1 2 7

󰇛1󰇜 2 2 󰇢 1 3 0

1 3 2 0 󰇢  󰇡  8 1 2 7

  󰇡

13 24 󰇢 18 37

entonceselevandoalcubo.      󰇡

85   󰇡 129

172 󰇢 257



Dr.JuanM.Camacho[email protected]

entonceselevandoalacuartapotencia.      󰇡

2 2 󰇛1󰇜 󰇢 1 3 0

601 1200   󰇡 󰇢 900 1801

1 0   󰇡3 2󰇢 7 8 1 2

Enformagenerallaené‐simapotenciadeAes.      󰇡

2 2󰇢  󰇡󰇛1󰇜 1 3 0

0 1 3 2 󰇢 󰇢 󰇡 7 8 1 2

Realizandolamultiplicación. 2󰇛7 󰇜  6󰇛1󰇜     3󰇛7 󰇜  3󰇛1󰇜

4󰇛7 󰇜  4󰇛1󰇜 1   6󰇛7 󰇜  2󰇛1󰇜 8

 comovemosenelejercicioanterioresmássencilloencontrarlamatrizpotenciadeA,esdecir y posteriormenteevaluarlapotencia(evaluarn).Elsiguienteejemplomuestraestaventaja.  EJEMPLO3. Encontrarlamatrizpotenciade:

yposteriormenteencontrar y 

1 2   1 0 4 4

1 1  5

Solución. YahabíamosencontradoladiagonalizacióndeA,lacualfue: 1 0 0 1 0 4 1 1 2 1      1 1 1   0 2 0   2 2 0  2 0 0 3 2 0 1 2 4 4 EntonceslamatrizpotenciadeAes: 1       1 2

recordandoque1  1.

2 1 4

1 1 0 1   0 2 0 0 4

0 1 0 0    2 2 2 3



Dr.JuanM.Camacho[email protected]

4 1 2 0  0 1

Para  5,tenemos

1    1 2

2 1 4

1 1 0 1   0 2 0 0 4

multiplicando: 179    211 844

Para  10,tenemos

0 0 0   1 2  3 2 2

4 1 2 0  0 1

62 121 30 121  124 485

1 0 1 2 1    1 1 1    0 2 0 0 2 4 4

0 1 0 0   2 2 2 3

4 2 0

1 0  1

multiplicando: 57001 2046 29524    58025 1022 29524  232100 4092 118097  EJERCICIO1. Encontrarlamatriz de:

8 2 2    3 3 1  24 8 6

Encontrarlaquintapotenciade. R.

 2 1 18  3. 2  3.     9  9. 2 3 72  9. 2 

218    93 744



6  2  2 3  3. 2 24  3. 2 62 63 248

62 31  216



Dr.JuanM.Camacho[email protected]

6  3. 2 3  3. 2  24  21. 2

EJERCICIO2. Encontrarlamatriz de: 󰇡

2 2 󰇢 1 5

Encontrarlaquintapotenciade. R.     2. 3  4 3 4

2. 3  2  3  2

538 1562   󰇡 󰇢 781 1805

 

Dr.JuanM.Camacho[email protected]...