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ejercicios de maximizacion de beneficiarios...

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“Año del Diálogo y la Reconciliación Nacional”

Universidad Nacional del Centro del Perú Facultad de Economía

PRACTICA CALIFICADA DE LA MAXIMIZACIÓN DE BENEFICIOS Cátedra: Microeconomía I Catedrático: Dr. Roy Quinto Chamorro Integrantes: Paredes Córdova, Brenda Semestre:

III “B” Huancayo – Perú 2018_II

1. Una empresa competitiva tiene: 𝐶𝐹 = 100 × 𝐶𝑉 = 𝑞3 − 20𝑞 2 + 150𝑞 El precio del mercado es $73. a. Halle el nivel de producción de equilibrio; b. Determine el beneficio c. Determine el precio de cierre. SOLUCION La producción que maximiza el beneficio se obtiene haciendo P = CMg →73 = 3q2– 40q + 150. Resolviendo se encuentran dos valores solución 7/3 y 11. CV para q = 7/3 es 253.81 El costo total asciende a 353.81 y el ingreso total es IT =𝑷 × 𝒒 = 170.33. En consecuencia, el beneficio será: -183.48. El CV para q = 11 es 561, el CT asciende a 661 y el ingreso total a 803. El beneficio en consecuencia será: 142. Por lo tanto, se opta por una producción igual a q = 11. Para un análisis grafico de este problema, veamos las funciones de costos medios relevantes.

CVMe = q2– 20q + 150, CMe = 100/q + q2 – 20q + 150, CMg = 3q2 – 40q + 150. El siguiente grafico muestra las curvas de costos de la empresa y la función de demanda P = 73. Se puede apreciar que la condición de maximización del beneficio corresponde al nivel de producción donde P = CMg, pero en el tramo creciente de la función de costo marginal y cuando la función de costo marginal está por encima del costo variable medio. (En el largo plazo la función de costo marginal debe encontrarse por encima del costo medio)

Grafico N°1

Observe que no basta la condición P = CMg. Cuando la producción es igual a 7/3 unidades, el CVMe y el CMe están por encima del CMg. En este nivel de producción la empresa está perdiendo dinero. El precio no cubre siquiera el CVMe y la empresa debería cerrar. Si la producción es q = 11, al precio P = 73 del mercado, se cubre el CVMe y el CMe y queda un beneficio económico. 2. La empresa “Cartones Corrugados” produce cajas de cartón duro que son vendidas en paquetes de mil cajas. El mercado es altamente competitivo con paquetes que se venden a $100. La curva de costos es:

CT = 3,000,000 + 0.001𝑄 2

a) Calcular la cantidad que maximiza el beneficio; b) ¿Está la empresa obteniendo beneficios? c) Analice la situación de la empresa ¿debe operar o cerrar en el corto plazo? DATOS: P=100 CT=3, 000,000 + 0.001𝑄2 a) PARA MAXIMIZAR EL BENEFICIO: 𝜕𝐶𝑇

CMg= 𝜕𝑄 = 0.002Q Para maximizar el beneficio se sabe: P = CMg 100 = 0.002Q 𝑄 ∗ = 50000 𝑝𝑎𝑞𝑢𝑒𝑡𝑒𝑠. b) PARA OBTENER EL BENEFCIO: El beneficio es π = IT – CT

PQ – CT

Reemplazando: 100 × 5000 − 3000000 − 0.001 × 500002 𝜋 = 0 𝜋 = −500000 La empresa no está obteniendo beneficios. c) Si la empresa decidiera cerrar sus operaciones, el beneficio económico sería:

𝜋 = 100 × 3000000 − 0.001 × 02 → 𝜋 = −3000000 En consecuencia, es mejor continuar operando con pérdidas menores al costo fijo de 3000000. En este caso el precio cubre el costo variable medio y parte del costo fijo. 3. En el mercado de focos de luz existen dos empresas que compiten entre sí: .JOYCE (J), ubicada en Santa Anita y E. POUND (P), ubicada en Los Olivos. Ambos empresas tienen funciones de costo idénticas: 𝑪𝒊 (𝑸𝑰 ) = 𝟏𝟎𝑸𝒊 + 𝟎. 𝟓𝑸𝟐𝑰 ∀𝒊 = 𝑱, 𝑷 Además, se define lo siguiente: 𝑸 = 𝑸𝑱 + 𝑸𝑷 De otro lado, se sabe que la demanda de focos de luz viene dada por: 𝑸(𝑷) = 𝟏𝟎𝟎 − 𝑷

Donde Q se expresa en millones de cajas de focos vendidas y P es el precio de caja. Determine el precio que equilibra este mercado y las cantidades que cada una de estas empresas produce. ¿Cuál es el nivel de beneficios que obtiene cada empresa en el corto plazo? ¿Es esto sostenible en el largo plazo? SOLUCION Las curvas de oferta se derivan directamente del costo marginal percibiendo por cada empresa. En cada caso se determina por: 𝐶𝑚𝑔 = 10 + 𝑄𝐽 𝐶𝑚𝑔 = 10 + 𝑄𝑃

Luego de igualar cada una de estas expresiones con el nivel de precios, se obtienen las funciones inversas de oferta para cada caso:

𝑃 = 𝑄𝐽 + 10 𝑃 = 𝑄𝑅 + 10 Luego, la curva de oferta de la industria se puede expresar como la agregación de las curvas de oferta: 𝑄𝐽 (𝑃) = 𝑄𝐽 + 10 𝑄𝑃 (𝑃) = 𝑄𝑅 + 10 Finalmente, la curva de oferta de la industria se puede expresar como la agregación de las curvas e oferta: 𝑄(𝑃) = ∑ 2𝑖=2 𝑄1 = 𝑄𝐽 + 𝑄𝑃 = 2𝑃 + 20 Para obtener el precio de mercado, se debe igualar las ecuaciones de oferta y demanda. Entonces: 100 − 𝑝 = 2𝑝 + 20 De la solución de la ecuación precedente se obtiene que el precio de mercado es 80/3 y la cantidad total producida es 100/3. Dado que ambas empresas presentan funciones de costo idénticas, se reparten el mercado de manera equitativa. Por tanto, cada una de ellas produce 50/3.

Los beneficios que obtiene cada empresa, de acuerdo con estos niveles de producción, son idénticos para ambas y viene dados por la siguiente fórmula: 𝜋𝑖 = 𝑄𝑖 (𝑃 − 𝐶𝑚𝑒𝑖 ) =

1259 = 139.89 9

4. Utopia-Super-Bike (U.S.B.) es el único productor de motos en Utopía del Sur. La función de demanda de motos es la siguiente: 𝑃=

45 𝑄 + 2750 8

Donde P es el precio y Q es la cantidad. Los costos totales de producción están dados por la relación: 𝐶𝑇0

1 3 𝑄 − 15𝑄2 + 2500𝑄 30

Pregunta 1 ¿Cuál es la función de ingreso marginal de U.S.B.? Pregunta 2 U.S.B. vende 200 motos. ¿Cuál es el precio de venta? ¿Hay en este caso maximización de la utilidad? Pregunta 3 ¿Cuál es la utilidad unitaria? Pregunta 4 Calcule la elasticidad-precio de la demanda. Pregunta 5 Si el objetivo de U.S.B. es de obtener una utilidad unitaria igual a 10% del costo medio, ¿qué cantidad deberá vender y a qué precio?

Pregunta 6 ¿Cuál es la cantidad máxima que puede ser vendida sin incurrir en pérdidas para U.B.S. y cuál sería el precio? Pregunta 7 ¿Cuál es la cantidad que maximiza el ingreso de U.S.B.? ¿Cuál será entonces el precio de venta? Solución Pregunta 1 En un monopolio, la demanda del mercado es igual a la demanda de la empresa y, por lo tanto, constituye el ingreso medio (IM) de la empresa. Se puede escribir: IM =−45 8Q+ 2750 Es posible demostrar que si el ingreso es una línea recta, el ingreso marginal (Im) es también una recta con la misma ordenada pero el doble de pendiente. Podemos escribir: Im =− 45 4Q+ 2750 Pregunta 2 El precio que corresponde a una cantidad Q=200 se obtiene por medio de la función de demanda: P =−45 8(200) + 2750 =1625 Independientemente del tipo de mercado, la regla de maximización de utilidades se enuncia de la manera siguiente: la utilidad se maximiza cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. Si se venden 200 unidades, el ingreso marginal es: Img =−45 4(200) + 2750 = 500

Por su parte, el costo marginal es: Cm =110Q2 −30Q+2500 Así, para 200 unidades el costo marginal es: Cm =110(200)2 −30 (200)+2500=500 Cuando Q=200, el ingreso marginal es igual al costo marginal. Se ha alcanzado entonces el punto de maximización de la utilidad. Pregunta 3

Para calcular el beneficio unitario, se debe sustraer el costo medio CM del precio de venta. El costo medio es: CM =1 30Q2 −15Q+2500 Cuando Q=200, su valor es: Cm = 1 30(200)2 −15 (200) + 2500 = 833,33 La utilidad unitaria es: π =1625−833,33 = 791,67 Pregunta 4 Si se conocen el precio y el ingreso marginal, es posible calcular la elasticidad-precio (e) de la demanda. En efecto: 𝐼𝑚=𝑃 (1 +

1

𝑒1

)

𝑒 =𝐼

𝑝

𝑚 −𝑃

En este caso: 𝑒=

1625 = − 1,44 500 − 1625

El valor absoluto de la elasticidad-precio es mucho mayor que 1, como es siempre el caso cuando el monopolista escoge su precio para maximizar su utilidad. GRAFICO N° 2

Pregunta 5 Llamemos CMP al costo medio incrementado en un 10%. Podemos escribir que CMP =1,1CM CM =

Q2 −16,5Q+ 2750

Utopia Super Bike intentará vender la mayor cantidad posible de motos dado que su costo es CMP (el cual incorpora el margen de ganancia).

La mayor cantidad producida corresponde a la intersección del CMP con el IM.

Esta ecuación tiene dos soluciones posibles: Q = 0 y Q ≈ 296,6 Si U.S.B. escoge maximizar sus ventas restringiendo la utilidad a 10%, la cantidad producida será 296. Al remplazar este valor en la función de demanda, se obtiene el precio de 1085. Pregunta 6 La maximización de ventas sin pérdidas ocurre en la intersección de la curva del costo medio con la del ingreso medio. El gráfico 2 muestra esta intersección en P ≈ 1085 y Q ≈ 305. Pregunta 7 Si U.S.B. espera maximizar su ingreso, deberá escoger un precio tal que el ingreso marginal sea nulo. En efecto, en ese caso el ingreso total es máximo. En la pregunta 1 se estableció que: Im =−45 4Q+ 2750 Esta función es iguala 0 si Q ≈ 244,44. Si remplazamos este valor en la función de demanda, se puede determinar que el precio que permitirá maximizar el ingreso es P = 1375. 5. La función de demanda siguiente es la misma para todos los compradores:

P = -20q + 164 De igual manera, todas las empresas actualmente presentes en el mercado tienen la misma función de costo total: CT = 3q2 + 24q

para q ≥ 4

Pregunta 1 ¿Cuál es la función de demanda del mercado? Pregunta 2 ¿Cuál es la función de oferta del mercado? Pregunta 3 ¿Cuál es el precio de equilibrio y cuál es la cantidad que vende cada productor? Pregunta 4 ¿Cuál es la ganancia del productor? Pregunta 5 De acuerdo a los resultados de las dos preguntas anteriores, ¿qué sucederá en el corto plazo en este mercado? Solución Se puede considerar que en este caso están presentes las condiciones tradicionalmente asociadas al modelo de competencia perfecta: atomicidad, homogeneidad, fluidez y transparencia. El precio será en este caso determinado por el mercado. La empresa se encuentra en posición de “price taker” en la que ella debe aceptar un precio fijado por el mercado sobre el que ella no puede influir. Pregunta 1 La demanda del mercado es la suma de las demandas individuales. Se suman las cantidades individuales para un mismo precio. Por esta razón, se expresa en función de demanda la cantidad en función del precio:

q = -1/20P + 8,2 La cantidad Q demandada en el mercado es: Q = 80q De esta manera

Ó

Q = -4P +656

P = -1/4Q + 164

Pregunta 3 El precio de equilibrio (P*) se determina igualando la oferta y la demanda del mercado: 1/10Q + 24 = -1/4Q + 164 La cantidad de equilibrio es: Q* = 400 Al remplazar en cualquiera de las ecuaciones se obtiene el precio de equilibrio: P* = 64 GRAFICO N°3

Hay 60 empresas en el mercado con costos idénticos. La cantidad (q*) efectivamente vendida será la misma para todas. Por lo tanto: 𝑞∗ =

𝑄∗ 400 = 6,67 = 60 60

Pregunta 4 La ganancia total de un productor es igual a la diferencia entre su ingreso total y su costo total de producción: π= IT −CT Calculemos ahora el ingreso total de un productor: IT = P*⋅q* = (64)⋅(6,67) = 426,88 El costo total de un productor se calcularía de esta forma: CT = 3q2 + 24q CT = 3(6,67)2 + 24(6,67) = 293,55 Concluimos que la ganancia total es igual a: π= RT −CT = 426,88− 293,55 =133,33 π=133,33

Beneficio

Pregunta 5 Los beneficios incentivan a otras empresas para entrar al mercado. Su entrada implica el desplazamiento de la curva de oferta hacia la derecha. Como consecuencia, disminuye la cantidad vendida por los productores establecidos previamente y los beneficios a obtener....