Mecanica dos fluidos - Franco-Brunetti - Resolução - Capitulo 1 ao 12 PDF

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CAPÍTULO 1INTRODUÇÃO, DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS FLUIDOSEste capítulo introduz a experiência das duas placas para que o leitor perceba de forma lógicaque, diferentemente de um sólido, um fluido não pode atingir o equilíbrio estático quando ésubmetido a uma força resultante do efeito tangencial. En...

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CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO, DEFINIÇÃO E PROPRIEDADES DOS FLUIDOS Este capítulo introduz a experiência das duas placas para que o leitor perceba de forma lógica que, diferentemente de um sólido, um fluido não pode atingir o equilíbrio estático quando é submetido a uma força resultante do efeito tangencial. Entretanto, deve-se ressaltar o fato de que é possível se atingir o equilíbrio numa determinada velocidade, isto é, um equilíbrio dinâmico.Por meio dessa discussão aparecem em seqüência lógica as idéias de Princípio da Aderência, construção de diagrama de velocidades, deslizamento entre as camadas do fluido e o conseqüente aparecimento de tensões de cisalhamento entre elas. A lei de Newton da viscosidade, simplificada para escoamento bidimensional, introduz de forma simples as idéias de gradiente de velocidades e de viscosidade dinâmica, para o cálculo da tensão de cisalhamento. Além da viscosidade dinâmica, são apresentadas as definições de massa específica ou densidade, peso específico e viscosidade cinemática, propriedades dos fluidos usadas ao longo deste livro. Apesar da utilização quase que exclusiva do Sistema Internacional de Unidades, é necessário lembrar a existência de outros sistemas, já que, na prática, o leitor poderá se defrontar com os mesmos, e alguns dos exercícios referem-se à transformação de unidades, de grande utilidade no dia a dia.

Solução dos exercícios Exercício 1.1 Objetivo: manuseio das propriedades e transformação de unidades. Lembrar que ao transformar a unidade utiliza-se a regra seguinte:

Valor da grandeza na unidade nova

Valor da grandeza na unidade velha

=

Exemplo

Transformar 3 m em cm.

3m = 3m×

cm × 100 = 3 × 100 cm = 300cm m

Solução do exercício. μ = νρ γ = γr γ H ρ=

2O

= 0,85 × 1.000

utm γ 850 = = 85 3 g 10 m

μ = 0,028 × 85 = 2,38

kgf .s m

2

kgf m

3

= 850

kgf m

3

X

Unidade nova x Fator de transformação Unidade velha

⎛ N × 9,8 ⎞ kgf ⎜⎜ ⎟.s kgf ⎟⎠ N.s kgf .s ⎝ μ = 2,38 = 2,38 = 23,3 2 2 m2 m m ⎛ dina × 10 5 ⎞ ⎟.s N⎜ ⎟ ⎜ N dina.s N.s ⎠ ou poise μ = 23,3 = 23,3 ⎝ = 233 2 2 4 ⎞ ⎛ cm cm 10 m2 × ⎟ m2 ⎜ 2 ⎟ ⎜ m ⎠ ⎝

Exercício 1.2 γ = γ r γ H 2 O = 0,82 × 1.000 = 820

kgf m3

γ 820 utm = = 82 3 g 10 m 4 2 μ * 5 × 10− m ν * = MK S = = 6 × 10− 6 = ν SI MK S ρ * 82 s MK S

ρ=

m2 × ν CGS = 6 × 10 −6

cm 2 × 10 4 m2 s

= 6 × 10 − 2

2

cm ou St s

Exercício 1.3 V = 3 dm3 = 3x10-3 m3 G 23,5 N γ= = = 7833 3 −3 V 3 × 10 m kg γ 7833 ρ= = =783,3 3 g 10 m ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ N ⎟ μ SI = νρ SI = 10− 5 × 783,3 = 7,83 × 10− 3 2 ⎜ não esquecer que kg = m ⎟ ⎜ m ⎜ 2 ⎟ ⎝ s ⎠ ⎛ dina × 10 5 ⎞ ⎟.s N ⎜⎜ ⎟ N N . s ⎠ = 7,83 × 10 − 2 dina.s ou poise μ CGS = 7,83× 10−3 2 = 7,83 × 10 − 3 ⎝ 2 2 4 m cm 2 ⎛ cm × 10 ⎞ ⎟ ⎜ m ⎜ ⎟ m2 ⎠ ⎝ ⎛ kgf ⎞ N⎜ ⎟.s N × 9,8 ⎠ kgf .s ⎝ −3 N.s −3 μ * = 7,83 ×10 = 7,83 ×10 = 8 × 10 −4 2 2 MK S m m m2 N.s

μ N. min = 7,83 × 10− 3 km 2

N.s = 7,83 × 10− 3 m2

⎛ min ⎞ N.s⎜ ⎟ ⎝ s × 60 ⎠ km 2 2⎛ ⎜ m ⎜ 2 6 ⎝ m × 10

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

= 130,5

N. min km 2

É preciso deixar claro que esta última unidade só foi considerada para que se pratique a transformação. Exercício 1.4 τ=μ

v0 ε 2

2

cm m m = 0,1 × 10 −4 = 10 −5 s s s N.s μ = νρ = 10 − 5 × 830 = 8,3 × 10 − 3 2 m 4 N τ = 8,3× 10− 3 × = 16,6 2 −3 2 × 10 m

2

ν = 0,1St ou

Exercício 1.5 Sendo constante a velocidade da placa, deve haver um equilíbrio dinâmico na direção do movimento, isto é, a força motora (a que provoca o movimento) deve ser equilibrada por uma força resistente (de mesma direção e sentido contrário).

G sen 30 o = F t o G sen 30 = τA

G sen 30 o = μ

v A ε o

μ=

3

o

2 × 10− × 20 × sen 30 ε G sen 30 − N.s = = 10 2 2 vA 2 ×1 ×1 m

Exercício 1.6 G = τA ⇒ ε=

mg = μ

v0 ε

π DL ⇒

v0 =

εmg μπ DL

D e − D i 10 − 9 νγ 10 − 4 × 8.000 N.s = = 0,5cm; μ = = = 0,08 2 2 2 g 10 m

v0 =

0,5 × 10 − 2 × 0,5 × 10 m = 22,1 0,08 × π × 0,09 × 0,05 s

Exercício 1.7

Para o equilíbrio dinâmico, a força de tração será igual ao peso do esticador somada à força tangencial provocada pelo lubrificante na fieira. T = Ft + G Logo : Ftmáx = T − G = 1 − 0,9 = 0,1 N v 0,6 − 0,5 ε= = 0,05 mm A 2 ε 30 m v = π nD = π × × 0,2 = 0,314 60 s

Ft = τ A = μ

−3 ε Ft εFt 0, 05 × 10 × 0,1 N.s μ= = = 0,1 = − 3 vA v πdL 0,314 × π × 0,5 × 10 × 0,1 m2

M =T

0,2 D = 1× = 0,1 N.m 2 2

Exercício 1.8 G1 = G2 + 2Ft v v π D2 πD 2 L= γ2 L + 2μ πDL ⇒ γ 1D = γ 2 D + 8μ 4 4 ε ε 10,1 − 10 ε= = 0,05cm 2 2 8 ×10 − × 2 N γ 2 = 20.000 − = 16.800 3 −2 0,05 × 10 × 0,1 m γ1

Exercício 1.9

v2

v3 = 0,5m/s

v1

G

⇒

γ 2 = γ1 −

8μv εD

a) Mτ = M G Δv 2 πR 2 LR 2 = GR 3 μ ε ε = R 2 − R1 = 10,1 − 10 = 0,1 cm Δv =

GR 3ε 10 × 0,2 × 0,1 ×10 − 2 = = 1,04 m / s μ 2π LR 22 0,1× 2 × π × 0,3 × 0,1012

R2 0,101 = 0,5 × = 0, 2525 m / s R3 0,2 v1 = Δv + v 2 = 1,04 + 0,2525 = 1,29 m / s v2 = v3

v1 = 2π n1 R1

→

n1 =

v1 1, 29 = × 60 = 123rpm 2 πR 1 2 × π × 0,1

Δv Δv 2πR1 LR1 = 2πμ LR 12 ε ε 1,04 × 0,3 × 0,12 = 2 N.m M e = 2 × π × 0,1 × −2 0,1× 10 b) M e = τA 1R 1 = μ

Exercício 1.10 100 m × 0,299 = 3,13 60 s ε i = R 2 − R 1 = 30 − 29,9 = 0,1cm 100 m × 0.301 = 3,15 v e = 2πnR 3 = 2 × π × 60 s ε e = 30,1 − 30 = 0,1cm vi = 2π nR1 = 2× π ×

μ = νρ = 10 − 4 × 800 = 0,08 M=μ h=

vi εi

2 πR 2 hR 2 + μ

ve εe

N.s m2 2πR 2 hR 2 = μ

2 πR 22h ε

(ve + vi)

2 Mε 10 × 0,1 × 10 − = = 0,035m = 3,5cm 2 2 μ2 πR 2 (v e + v i ) 0,08 × 2 × π × 0,3 × (3,15 + 3,13 )

Exercício 1.11

Mτint = M τext

a) μ

v1 − v2 D v D πD 2 L 2 = μ 3 πD 3 L 3 2 2 ε 1, 2 ε 3, 4 D2 − D1 12, 05 − 12 = = 0,025 mm 2 2 D − D 3 15,1 − 15,05 = 4 = = 0,025 mm 2 2

ε1, 2 = ε3, 4

2

2

v1 − v2 ⎛ D 3 ⎞ ⎛ 15,05 ⎞ ⎟⎟ = ⎜ = ⎜⎜ ⎟ = 1,56 v3 ⎝ 12,05 ⎠ ⎝D2 ⎠ πnD 1 − πn ′D 2 = 1,56 πn ′D 3 nD1 120.000 × 12 n′ = = = 40.531 rpm 1,56D 3 + D 2 1,56 × 15,05 + 12,05 b) M = 2μ M= M=

πμLD12 D Δv π D1 L 1 = ( πD 1n − πD 2n ′) 2 ε ε

π 2μLD 12 ε

(D1 n − D2 n ′ )

120.000 40.531⎞ π2 ×8 ×10 −3 × 0,02 × 0,012 2 ⎛ − 0,01205 × ⎜ 0,012 × ⎟ = 0,14 N.m −3 60 60 ⎠ 0,025 × 10 ⎝

Exercício 1.12 D e − D i 50,2− 50 = 0,1cm = 2 2 2 2 × π × 0,5 × = 2 N Fτ = 10 − 3 × −2 0,1× 10 π Fmot = G − Fτ = 50 − 2 = 48 N v Fτ = μ πD iL ε

→

ε=

d 0,1 = 48 × = 2,4 N.m 2 2 rd v D 2v 2 × 2 M res = μ 1 πDi L i → ω= = = 40 s 2 d 0,1 ε 10 2 0,5 Mres = 10−3 × = 2,5 N.m − 2 × π × 0,5 × × π 2 0,1× 10 M= 2,5− 2,4 = 0,1 N.m a favor do movimento (motor).

Mmot = Fmot

→

v1 = ω

m 0,5 Di = 40 × = 10 s 2 2

Exercício 1.13

r+dr r

dM t = τdAr = μ

(ω − ω 2 )r 2πrdr.r v1 − v 2 2π rdr.r = μ 1 ε ε

2πμ(ω1 − ω 2 ) 3 r dr ε Mt 2 πμ(ω1 − ω 2 ) R 3 dM = t ∫0 ∫0 r dr ε 2πμ( ω1 − ω 2 ) R 4 D Mt = mas, R = 4 2 ε 4 2πμ( ω1 − ω 2 ) D Mt = ε 4 × 16 32ε M t ω1 − ω 2 = πμD 4 dM t =

Exercício 1.14 2 v = ay + by + c para y = 0 → v = 0 ⇒

c= 0 m para y = 0,1m → v = 2,5 ⇒ 2,5 = 0,01a + 0,1b (1) s dv dv =0 → = 2ay + b ⇒ 0 = 0,2a + b ⇒ para y = 0,1m → dy dy ( 2) em (1) 2,5 = 0,01a − 0,02a ⇒ a = −250 e b = 50 dv 2 = −500 y + 50 v = − 250 y + 50y ⇒ dy ⎛ dv ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 50s− 1 ⇒ ⎝ dy ⎠ y= 0

⎛ dv ⎞ dina τ y= 0 = μ ⎜⎜ ⎟⎟ = 4 × 50 = 200 2 cm ⎝ dy ⎠y =0 ⎛ dv ⎞ dina = 4 × 25 = 100 2 τ y =0, 05m = μ ⎜⎜ ⎟⎟ cm ⎝ dy ⎠ y =0, 05m

⎛ dv ⎞ = 25s− 1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠ y= 0, 05m

⇒

⎛ dv ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ =0 ⇒ ⎝ dy ⎠ y= 0 ,1m

⎛ dv ⎞ = 4× 0 = 0 τ y= 0 ,1m = μ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠ y =0 ,1m

b = − 0,2a

( 2)

Exercício 1.15 2 v = 20 yvmáx − 100 y v máx

⎛ dv ⎞ = 20v máx − 200 yv máx = 20× 4 − 200× 0,2 × 4 = − 80 s−1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠ y=0,2 m ⎛ dv ⎞ = 20v máx = 80 s −1 ⎜⎜ dy ⎟⎟ ⎝ ⎠ y =0 N ⎛ dv ⎞ = 10 −2 × 80 = 0,8 τ y= 0 = μ⎜⎜ ⎟⎟ m2 ⎝ dy ⎠ y= 0 F = τ A = 0,8 × 4 = 3,2 N

Exercício 1.16 a)

v = ay 2 + by + c

para y = 0 → para y = 2 → para y = 2 → b = 3; a = − b)

m ⇒ c= 2 s m v= 5 ⇒ 5 = 4a + 2 b + 2 ⇒ 4a + 2 b = 3 s dv dv =0 → = 2ay + b ⇒ 0 = 4a + b ⇒ dy dy

v= 2

3 = − 0,75 ⇒ 4

v = − 0,75y2 + 3y + 2

⎛ dv⎞ = − 1,5 y + 3 = 3s −1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy⎠ y= 0

⇒

⎛ dv ⎞ N τ y= 0 = μ⎜⎜ ⎟⎟ = 3× 10− 2 2 m ⎝ dy ⎠y =0

Exercício 1.17 a) b)

c)

4a + b = 0

v 5 N = 3 × 10− 2 × −3 = 150 2 ε1 10 m F2 = F − τ 1A 1 = 400 − 150 × 2 = 100 N F 100 N τ2 = 2 = = 50 2 A1 2 m v = AY + B para Y = 0 → v = 0 ⇒ B = 0 τ1 = μ1

para Y = 10−3 → v = 5 ⇒ Logo : v = 5.000Y

5 = A× 10−3 ⇒

A = 5.000

v = ay 2 + by + c para y = 0 → v = 0 ⇒

d)

para y = 0,5 →

c= 0 v = 5 ⇒ 5 = a × 0,25 + b × 0,5

para y = 0,5

τ = 50

⎛ dv ⎞ τ 2 = μ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ dy ⎠y =0, 5 como

dv dy

→

N m2

⎛ dv ⎞ τ 50 → ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 = = 12,5 ⎝ dy ⎠ y =0,5 μ1 4

= 2ay + b

⎛ dv ⎞ então ⎜⎜ ⎟⎟ = 2a × 0,5 + b = 12,5 ⎝ dy ⎠ y= 0, 5

deve − se resolver o sistema : 0,25a + 0,5b = 5 a + b = 12,5 resul tan do : a = 5 e b = 7,5 log o : v = 5y 2 + 7,5 y ⎛ dv ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 10 y + 7,5 ⎝ dy ⎠ y= 0

e)

⎛ dv ⎞ N = 4 × 7,5 = 30 2 τ y= 0 = μ 2 ⎜⎜ ⎟⎟ m ⎝ dy ⎠y =0 R = τ y =0 × A = 30 × 2 = 60 N Exercício 1.18 p1 p ; ρ2 = 2 RT1 RT2

ρ1 =

p T ⎞ ⎛ ρ1 − ρ 2 ⎛ ρ ⎞ × 100 = ⎜⎜ 1 − 2 ⎟⎟ × 100 = ⎜⎜ 1− 2 × 1 ⎟⎟ × 100 ρ1 ρ1 ⎠ p 1 T2 ⎠ ⎝ ⎝ 150.000 50 + 273 ⎞ ⎛ Δρ(% ) = ⎜ 1 − × ⎟ × 100 = 17,5% 200.000 20 + 273 ⎠ ⎝

Δρ( %) =

Exercício 1.19 p 9,8 ×10 4 kg N = = 1,186 3 ⇒ γ ar = ρ arg = 1,186 × 9,8 = 11,62 3 RT 287 × 288 m m N 7 kg γ γ = γ rγ ar = 0,6× 11,62 = 7 3 ⇒ ρ = = = 0,71 3 g 9,8 m m ρ ar =

R=

p 9,8 ×10 4 m2 = = 479 2 ρT 0,71× 288 s K

Exercício 1.20

ρ ar =

p R ar T

=

441 × 103 kg = 4,94 3 287 × 311 m

γ ar = ρ ar g = 4, 94× 10 = 49,4

N m3

Exercício 1.21 Isotérmico p 1V1 = p 2 V2 V 10 = 666,5 kPa (abs) p2 = p1 1 = 133,3 × V2 2 Adiabático ⎛V p2 = p1 ⎜⎜ 1 ⎝ V2

k

⎞ 10 ⎟⎟ = 133,3 × ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 2⎠ ⎠

1, 28

= 1.046 kPa (abs)

Capítulo 2 ESTÁTICA DOS FLUIDOS A ausência de movimento elimina os efeitos tangenciais e conseqüentemente a presença de tensões de cisalhamento. A presença exclusiva de efeitos normais faz com que o objetivo deste capítulo seja o estudo da pressão. Nesse caso são vistas suas propriedades num fluido em repouso, suas unidades, as escalas para a medida, alguns instrumentos básicos e a equação manométrica, de grande utilidade. Estuda-se o cálculo da resultante das pressões em superfícies submersas, o cálculo do empuxo, que também terá utilidade nos problemas do Capítulo 9, a determinação da estabilidade de flutuantes e o equilíbrio relativo. É importante ressaltar, em todas as aplicações, que o fluido está em repouso, para que o leitor não tente aplicar, indevidamente, alguns conceitos deste capítulo em fluidos em movimento. Para que não haja confusão, quando a pressão é indicada na escala efetiva ou relativa, não se escreve nada após a unidade, quando a escala for a absoluta, escreve-se (abs) após a unidade. Exercício 2.1 p1 A I = p3 (A I − A HI ) + p 2 A II 5 p 2 = γ Hg h = 136.000 × 2 = 2,72 × 10 Pa

p 3 A III = p 4 A IV G =p4AV p A − p 2 A II 500 × 10 3 × 10 − 2,72 × 10 5 × 2,5 p3 = 1 I = = 5,4 × 10 5 Pa AI − AHI 10 − 2 A 5 p 4 = p 3 III = 5, 4 × 10 5 × = 1,35 ×10 5Pa A IV 20 −4 5 G = 1,35 × 10 × 10 × 10 = 135 N

Exercício 2.2 FAO × 0, 2 = F BO × 0,1 FBO = 200 × FBO π D21 4

=

0,2 = 400 N 0,1

F π D 22 4

⎛ D2 ⇒ F = FBO ⎜ 22 ⎜D ⎝ 1

2 ⎞ 25 ⎟ = 400 × ⎛⎜ ⎞⎟ = 10.000 N = 10kN ⎟ ⎝ 5 ⎠ ⎠

Exercício 2.3

γ Hg h Hg = γ H 2O h H 2O 10.000 × 5 h Hg = × 1000 = 368 mm 136.000

Exercício 2.4 1atm → 760 mmHg 3,5atm → p p=

760 × 3,5 1

= 2660mmHg

p = γHg h Hg = 13.600 × 2,66 = 36.200

kgf × 9,8 ×10 −6 = 0 ,355MPa 2 m

kgf kgf × 10− 4 = 3,62 × 0,98 = 3,55bar 2 m cm 2 p 36.200 = = = 36, 2 mca 1.000 γH 2O

p = 36.200 hH2 O

patm = γ Hg h Hg = 13.600 × 0,74 ≅ 10.000 p abs = 4, 47atm (abs) = 46.200

kgf m

2

kgf m

2

=1

kgf 2

cm

≅ 9,8 × 104 Pa = 0,098MPa = 0,97 atm = 10mca

(abs ) = 0,453MPa (abs) = 4,62

kgf cm 2

(abs ) = 3400mmHg(abs )

Exercício 2.5 p 1 + γ H 2O × 0,025 − γ Hg × 0,1 = 0 p1 = 136.000× 0,1− 10.000 × 0,025 = 13.350 Pa = 13,35 kPa

Exercício 2.6

p A + γ H 2 O × 0, 25 + γ Hg ×1 − γO × 0,8 = p B p A − p B = 8.000 × 0,8 − 10.000 × 0,25 − 136.000 ×1 = −132.100Pa = −132,1kPa Exercício 2.7 p m = 100 − p A p A = γ Hg × 0,15 = 136.000 × 0,15 = 20.400 Pa = 20,4 kPa p m = 100 − 20,4 = 79,6 kPa

Exercício 2.8 a ) p ar + γ O × 0,8 + γ H

2 O

× 0,7 − γ Hg × 0,3 − γ H

2 O

× 0,7 = 0

p ar = 136.000 × 0,3 − 8.500 × 0,8 = 34.000Pa = 34kPa p atm = γ Hg h Hg = 136.000× 0,74 ≅ 100.000Pa ≅ 100kPa p ar abs = p ar + p atm = 34 + 100 = 134kPa (abs ) b) p ar + γ O × 0,3 = p M p M = 34 + 8.500 × 0,3 × 10 − 3 = 36,55kPa

p Mabs = p M + patm = 36,55 + 100 = 136,55kPa (abs )

Exercício 2.9 p C − p A = 30kPa A2 =2 A1 p A A 2 = p B A 1 − p B ( A1 − A H ) → p A A 2 = p B A H A 2 A1 A 2 × = = 4 → p B = 4p A A1 A H AH p C − p A = 30.000 p C + γ a = p B → p C = p B − 27.000 p B − 27.000 − p A = 30.000 → p B − p A = 57.000 p p B − B = 57.000 → p B = 76.000 Pa 4 p atm = 0,7 × 136.000 = 95.200 Pa p Babs = p Bef + p atm = 76.000 + 95.200 = 171.200 Pa (abs) h H 2O =

p B(abs ) γ H2 O

=

171.000 = 17,12 mca (abs) 10.000

Exercício 2.10 p0 + ρA ghA = 0 p0 + ρBgh B = 0 ⇒ ρA h A = ρBh B

⇒ ρA = ρB

hB 0,1 kg = 1.000 × = 500 3 hA 0,2 m

p0 = −ρ A gh A = − 500× 10× 0, 2 = − 1.000Pa = − 1kPa p 0 abs = p 0 + p atm = −1 +100 = 99 kPa (abs )

Exercício 2.11 a)

γ o × 0,5 = γ H 2O × y

8.000 × 0,5 = 0,4 m 10.000 b ) γ o (D + 0,5 + x ) = γ H 2O (y + 2 x ) y=

y ′ − y 1 − 0,4 = = 0,3 m 2 2 γ H 2O ( y + 2 x ) 10.000(0, 4 + 0,6) D= − 0,5 − x = − 0,5 − 0,3 = 0,45 m γo 8.000

2x + y = y ′

c) V =

→ x =

πD 3 π × 0, 45 + xA = + 0,3 × 4 × 10− 4 = 4,7833 ×10 − 2 m 3 = 47.833 cm 3 6 6

Exercício 2.12 p x + γ (H + Lsenα ) = 0 4 px = γ H 2 O × (− 0,001) = 10 × (− 0,001) = −10Pa

πd 2 πD2 =H L 4 4

2

⎛d ⎞ H = L⎜ ⎟ ⎝D⎠

⇒

⎤ ⎡ ⎛ d ⎞2 p x + γ ⎢L⎜ ⎟ + Lsen α⎥ = 0 ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ D ⎠

⇒ L=

− px ⎤ ⎡⎛d ⎞ γ⎢ ⎜ ⎟ + senα ⎥ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎝ D ⎠ 2

=

− 10 ⎡ ⎛ 1 ⎞2 ⎤ 8.000⎢ ⎜ ⎟ + sen11,5o ⎥ ⎢⎣ ⎝ 4,5 ⎠ ⎥⎦

Exercício 2.13

(

2

a ) par1 par1

πD π 2 D − d2 + F = par2 4 4

)

(

π × 0,0714 2 π + 31 = p ar2 0,0714 2 − 0,0357 2 4 4

4 × 10 −3 p ar1 + 31 = 3 × 10 −3 p ar2

)

(1)

p ar1 + 2 γH 2O Δh + γm h − γH 2O h = p ar2 πD 2 h π d 2 = 4 2 4

2

2

h ⎛d⎞ 0,4 ⎛ 35,7 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 0,05 m 2 ⎝D ⎠ 2 ⎝ 71,4 ⎠ p ar1 × 2 × 10.000 × 0,05 + 50.000 × 0, 4 − 10.000 × 0,4 = p ar2 Δh

→

Δh =

p ar1 + 17.000 = p ar2 Substituindo na (1) : 4 × 10

−3

(

−3 p ar1 + 31 = 3 × 10 p ar + 17.000

20.000 = 0,147 m = 147 mmHg 136.000 = 147 + 684 = 831 mmHg( abs)

par1 = 20.000Pa = par1abs

b) p ar2 = p ar1 + 17.000 = 20.000 + 17.000 = 37.000Pa par2 =

37.000 = 3,7 mca 10.000

Exercício 2.14 a ) p ar + γ H 2 O × 0, 2 − γHg × 0,2 = 0

p ar = 0, 2(136.000 − 10.000) = 25 .200 Pa

10 = 5cm 1 p′ar + 0,155× 10.000 − 0,1× 136.000 = 0 ⇒ p′ar = 12.050Pa c) p1 V1 = mRT1 b) Δy.A 1 = Δh.A 2 ⇒ Δh = 0,5 ×

p 2V2 = mRT2

⇒

p 2V2 T2 = p1V1 T1

)

= 5 × 10 −3 m

p1abs = 25.200 + 100.000 = 125.200Pa (abs ) p 2 abs = 12.050 + 100.000 = 112.050 V2 = 10 × 10 − 0,5 × 10 = 95cm3 112.050 95 T2 = 373 × × = 317K = 44 o C 125.200 100

Exercício 2.15 p A + γ 2 2Δh + γ 1h − γ 2h = 0 p A = 8.000 × 0,3 − 10.000 × 0,3 − 8.000 × 2Δh

a)

2

2

h d 0,3 ⎛ 4 ⎞ πD 2 h π d2 = → Δh = ⎛⎜ ⎞⎟ = ⎜ ⎟ = 0,0015 m 4 2 4 2⎝D⎠ 2 ⎝ 40 ⎠ p A = − 600 − 8.000 × 2 × 0,0015 = −624Pa p 624 h H2 O = A = − = −0,0624 mca 10.000 γ H2 O

Δh

b) p atm = 0,7 × 136.000 = 95.200Pa p Aabs = p A + p atm = −624 + 95.200 = 94.576 Pa (abs) p 94.576 kg ρA = A = = 1,12 RTA 287 × 293 m3 Exercício 2.16 a ) pgás = γ Hg × 0,025 + γ H2 O × 0,16 ⇒ pgás = 136.000 × 0,025 + 10.000 × 0,16 = 5000Pa patm = 136.000 × 0,662 = 90.032Pa = 90kPa pgás abs = 90 + 5 = 95kPa (abs ) 5.000 = 0,5m 10.000 = γ H2 O.z ′ = 10.000 ×1 = 10.000Pa = 10kPa

b) p gás = γH2 O .z c) p ′gás

p 2 V2 T2 = ⇒ p 1V1 T1

⇒ z =

V2 = V1

⇒ p ′gás abs = 90 + 10 = 100kPa (abs )

p1 T2 95 333 = 2× × = 2,16m 3 p2 T1 100 293

Exercício 2.17

p1 − p2 = 10.000 p2 − p3 = 10.000× 0, 2 = 2.000 p1

πD12 π πD 23 = p2 D12 − D 22 + p3 4 4 4

(

)

→

(

)

2 2 2 2 p1 × 0,5 = p2 × 0,5 − 0,1 + p3 × 0,3

0,25p1 = 0,24p 2 + 0,09(p 2 − 2.000) 0, 25p1 = 0,33p 2 − 180 0, 25p1 = 0,33( p1 − 10.000) − 180 0,08p1 = 3480 → p1 = 43.500Pa = 43,5kPa Exercício 2.18 π Dc2 π × 0,52 = 50.000 × = 9817 N 4 4 πDc2 π × 0,52 Fp2 = p2 = 40.000 × = 7854 N 4 4 Fp = 9817 − 7854 = 1963N para cima

a ) Fp1 = p 1

FG = Gsen30 o = 3950 × 0,5 = 1975 > 1963 desce Ft = FG − Fp = 11,5N v εFt b) Ft = μ πDL ⇒ L = ε μvπDc D − Dc 0,501 − 0,5 ε= t = = 0,0005m 2 2 0,0005 × 11,5 = 0,183m L = −2 10 × 2 × π × 0,5 G G 4G 4 × 3.950 kg = = = = 10.993 3 c) ρ = 2 2 2 gV πD gπD L 10 × π × 0,5 × 0,183 m g L 4 Exercício 2.19 F + γ 1 × 0,1 + γ 2 × 0,8 − γ 3Lsen30o = 0 A 55.600 F + γ 1 × 0,1+ γ 2 × 0,8 + 8.000 × 0,1 + 10.000 × 0,8 N 2 = 73.200 3 γ3 = A = o o 1× sen30 m Lsen30 2F + 0,1× 8.000+ (0,55− x + 0,25 + y )× 10.000 − y + 1× sen30o + ysen30o × 73.200 = 0 A 2x = 0,2 y ⇒ y = 10x 2F + 800 + (0,8 + 9 x ) ×10.000 − (15x + 0,5 ) × 73.200 = 0 A 2 × 55.600 + 800 + 8000 + 90.000x − 1,098 × 106 x − 36.600 = 0 ⇒ x = 0,0278 m ⇒ y = 0,278m 2 L′ = 1 + 0, 278 = 1,278m = 127,8cm

(

)

Exercício 2.20 N.m μγ 10−3 × 8.000 a) ν = = = 0,8 2 g 10 s v 5 Ft = μ π (D1 + D 2 )l = 0,8 × × π × (0,16 + 0, 08 )× 0, 05 = 150 N 0,001 ε π D12 π × 16 2 π D22 π × 82 = = 201cm 2 ; A 2 = = = 50,3cm 2 4 4 4 4 G + pa ( A2 − AH ) = pa (A1 − AH ) + pb A2 + Ft b) A1 =

pb =