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Ejercicios varios...

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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS AÑO:

2018

PERIODO:

MATERIA:

ESTADÍSTICA

PROFESORES:

EVALUACIÓN:

PRIMERA

FECHA:

Primer Término Cárdenas N/García S./González S./Moreira F./Ochoa G./ Pinos C./Sánchez J./Ugarte J. Jueves 28 de Junio 2018

COMPROMISO DE HONOR Yo, ………………………………………………………………………………………………………………..…………… al firmar este compromiso, reconozco que el presente examen está diseñado para ser resuelto de manera individual, que puedo usar una calculadora sencilla, ordinaria para cálculos aritméticos, un lápiz o esferográfico; que solo puedo comunicarme con la persona responsable de la recepción del examen; y, cualquier instrumento de comunicación que hubiere traído, debo apagarlo y depositarlo en la parte anterior del aula, junto con algún otro material que se encuentre acompañándolo. No debo además, consultar libros, notas, ni apuntes adicionales a las que se entreguen en esta evaluación. Los temas debo desarrollarlos de manera ordenada. Firmo al pie del presente compromiso, como constancia de haber leído y aceptar la declaración anterior. "Como estudiante de ESPOL me comprometo a combatir la mediocridad y actuar con honestidad, por eso no copio ni dejo copiar".

Firma

NÚMERO DE MATRÍCULA:……………….……………………PARALELO:…………

Nota1: En los temas que aplique, identifique y describa claramente los eventos o las variables aleatorias además de los parámetros de sus correspondientes distribuciones. Nota 2: Los temas deben ser desarrollados en orden y señalando claramente el tema y la respuesta. Nota 3: Es válido utilizar aproximaciones en caso de ser necesario; use tres decimales de aproximación.

TEMA 1 (10 puntos) El histograma de frecuencias absolutas que se muestra a continuación fue elaborado con resultados del porcentaje de posesión de balón de ciertos equipos de la Champions League en la etapa final, este análisis está publicado en WhoScored.com.

a. b. c. d.

Reconstruir la tabla de frecuencias correspondiente al histograma mostrado. (2 puntos) ¿Qué valor toma y cómo interpreta usted el 4to quintil? (2 puntos) Calcular medidas de media y varianza (2 puntos) Aproxime la mediana y moda de acuerdo con la tabla de frecuencias; así como también el rango intercuartil. (2 puntos) e. ¿Qué puede decir sobre el sesgo de estos datos? Justifique su respuesta. (2 puntos)

a) Reconstruir la tabla de frecuencias correspondiente al histograma mostrado. (2 puntos)

Clase

marca de clase (xi)

[39.1, 43.1] (43.1, 47.1] (47.1, 51.1] (51.1, 55.1] (55.1, 59.1] (59.1, 63.1]

Frec. Abs acum. (Fi)

Frec. Abs (fi)

41,1 45,1 49,1 53,1 57,1 61,1

3 6 10 4 5 2

Frec. Relativa (fi/n)

3 9 19 23 28 30

0,10 0,20 0,33 0,13 0,17 0,07

Frec. Relativa acum. (Fi/n) 0,10 0,30 0,63 0,77 0,93 1,00

b) ¿Qué valor toma y cómo interpreta usted el 4to quintil? (2 puntos)

𝑛∗𝑘 − 𝐹𝑖−1 100 𝑃𝑘 = 𝐿𝑖𝑛𝑓 + 𝑤 ( ) 𝑓𝑖

𝑃80 •

30 ∗ 80 − 23 = 55.1 + 4 ( 100 ) = 55.9 5

Otra posible respuesta resulta aproximando y diciendo que es un valor cercano a 55.1 o que esté en el intervalo (55.1, 59.1].

El 4to quintil representa el valor de la variable que deja por debajo, el 80% de los valores de la variable (ordenados). c) Calcular medidas de media y varianza. (2 puntos)

𝑋 =

1

𝑛

6

∑ 𝑓𝑖 𝑥𝑖

𝑖=1

1 (1505) = 50.17 30 6 1 2 𝑆 = ∑ 𝑓𝑖 (𝑥𝑖 − 𝑋)2 𝑛−1 𝑋 =

𝑖=1

1 = (925.87) = 31.93 29 d) Aproxime la mediana y moda de acuerdo con la tabla de frecuencias; así como también el rango intercuartil. (2 puntos) 𝑋 ≈ 49 𝑚𝑜𝑑𝑎 ≈ 49.1 𝑄1 ≈ 46; 𝑄3 ≈ 55 𝑅𝐼 = 𝑄3 − 𝑄1 ≈ 9 𝑆2

e) ¿Qué puede decir sobre el sesgo de estos datos? Justifique su respuesta. (2 puntos) Por la distribución de los datos se puede observar que existe mayor cantidad del lado izquierdo de la media, la distribución de los datos no es simétrica, por lo tanto hay evidencia de sesgo positivo.

moda 𝑋 Nivel Criterios

Insuficiente No realiza cálculo alguno.

Puntos Criterios

0 No realiza cálculo alguno.

Puntos Criterios

0 No realiza cálculo alguno.

Puntos Criterios

0 No realiza cálculo alguno.

Puntos

0

Desarrollo En desarrollo Calcula correctamente menos de la mitad de los valores.

Desarrollado Calcula correctamente hasta la mitad de los valores.

Excelente Calcula correctamente todos los valores

1 Calcula o aproxima el valor del quintil correctamente pero no lo interpreta

2 Calcula o aproxima el valor del quintil correctamente y lo interpreta

1 Calcula correctamente la media o la varianza

2 Calcula correctamente la media y la varianza

Aproxima correctamente uno de los valores

1 Aproxima correctamente dos de los valores

2 Aproxima correctamente todos los valores

0.5

1

2

0.5

TEMA 2 (8 puntos) En un estudio efectuado a un grupo de estudiantes de una universidad se preguntó el número de materias tomadas en el último semestre cursado y el número de materias aprobadas en el mismo. Si se sabe que el mínimo número de materias tomadas es tres y el máximo es seis, a. Describa el conjunto  (espacio muestral) de respuestas posibles dadas por los estudiantes (3 puntos) Determine las siguientes probabilidades: b. Que el número de materias reprobadas sea mayor a tres (2 puntos) c. Que el número de materias tomadas sea igual a cuatro si se conoce que reprobó más de tres materias (3 puntos)

Rúbrica y Resolución Descripción del conjunto  (3 puntos)

=

(3,0) (4,2) (5,3) (6,3)

(3,1) (4,3) (5,4) (6,4)

(3,2) (4,4) (5,5) (6,5)

(3,3) (5,0) (6,0) (6,6)

(4,0) (5,1) (6,1)

(4,1) (5,2) (6,2)

Probabilidad de que el número de materias reprobadas sea mayor a tres (2 puntos) Definición del evento (1 punto) E1 = número de materias reprobadas mayor a tres E1 = (4,0) (5,0) (5,1) (6,0) (6,1) (6,2) Cálculo de la probabilidad (1 punto) 𝑁(𝐸1 ) 6 𝑃(𝐸1 ) = = = 0.273 𝑁(Ω) 22 Probabilidad de que el número de materias tomadas sea igual a cuatro si se conoce que reprobó más de tres materias (3 puntos) Definición de eventos (1.5 puntos) E1 = número de materias reprobadas mayor a tres E1 = (4,0) (5,0) (5,1) (6,0) (6,1) (6,2) E2 = número de materias tomadas igual a cuatro E2 = (4,0) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) E1E2 = (4,0) Cálculo de la probabilidad (1.5 puntos) 𝑁(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) 1 1 𝑃(𝐸1 ∩ 𝐸2 ) 𝑁(Ω) 22 = = 0.167 𝑃(𝐸2 |𝐸1 ) = = = 6 𝑁(𝐸1 ) 6 𝑃(𝐸1 ) 22 𝑁(Ω)

TEMA 3 (6 puntos) Un dispositivo de seguridad posee un sensor conectado a un sistema de alarma. El sensor manda una señal que activa la alarma con una probabilidad del 95% si existe realmente una condición peligrosa en un día cualquiera y si las condiciones son normales la probabilidad de que el sensor active la alarma son de 0,5%. La probabilidad de que se presenten condiciones de riesgo es del 0,5%. Bajo este escenario calcule: a. La probabilidad de una falsa alarma. (3 puntos) b. La probabilidad de que no se detecte una condición riesgosa. (3 puntos) SOLUCIÓN Eventos: R: Existe riesgo NR: No existe riesgo A: Se activa alarma NA: No se activa alarma Datos del problema: P(A/R)=0,95 por tanto P(NA/R)=0,05 P(A/NR)=0,005 POR TANTO P(NA/NR)=0,995 P(R)=0,005 POR TANTO P(NR)=0,995 LITERAL a) Falsa alarma: No hay riesgo dado que se activa la alarma P(NR/A)=P(NR∩A)/P(A)= 0,004975/0,009725=0,512 P(NR∩A)=P(NR)P(A/NR)=0,995*0,005=0,004975 PARA PROBABILIDAD DE A REQUERIMOS APLICAR PROBABILIDAD TOTAL YA QUE LA ALARMA SE ACTIVA TANTO SI HAY RIESGO O NO P(A)=P(NR∩A)+P(R∩A)=P(NR)P(A/NR)+P(R)P(A/R)=(0,995*0,005)+(0,005*0,95)= 0,004975+0,00475=0,009725 LITERAL b) No detectar una condición de riesgo: Existe riesgo dado no se activa alarma P(R/NA)=P(R∩NA)/P(NA)= 0,00025/0,990275=0,0002525 P(R∩NA)=P(R)P(NA/R)=0,005*0,05=0,00025 PARA PROBABILIDAD DE NA REQUERIMOS APLICAR PROBABILIDAD TOTAL YA QUE LA ALARMA NO SE ACTIVA TANTO SI HAY RIESGO O NO P(NA)=P(NR∩NA)+P(R∩NA)=P(NR)P(NA/NR)+P(R)P(NA/R)=(0,995*0,995)+(0,005*0,05)=0,990025+0,00025=0,990275 RÚBRICA Nivel

Insuficiente

Regular

Satisfactorio

Excelente

Criterios

Sin desarrollo o incoherencias

Identifica eventos y probabilidades dadas en el problema (3 puntos)

Identifica las ecuaciones correctas (2 puntos)

Calcula las probabilidades exactas (1 punto)

Puntos

0

3

5

6

TEMA 4 (6 puntos) Un estudiante politécnico que estuvo de vocal en el último referéndum, faltando a la ley trató de convencer a cada uno de los votantes que en la pregunta se pronunciaran por el SÍ o por el No pero que no votaran en blanco o anularan el voto; las estimaciones del politécnico indican que el 60% de los votantes se pronunciaría por el SI. Si los supuestos del politécnico fuesen correctos: a. ¿Cuál es la probabilidad que recién el cuarto votante sea el primero en votar SI?(3 puntos) b. ¿Cuál es la probabilidad que recién el votante duodécimo, sea el tercero en votar SI? (3 puntos)

So Solució lució lución: n: a) 60% votaron SI

P(votar SI)=0.6

Para responder al literal a, es necesario aplicar la Variable Aleatoria Geométrica, cuya función de distribución de probabilidades es: 𝑓(𝑥) = 𝑃 (𝑋 = 𝑥 ) = (1 − 𝑝)𝑥−1𝑝,

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝑆

𝑃(𝑋 = 4) = (0.4)3 0.6 = 0.0384

Entonces, la probabilidad de que recién el cuarto votante sea el primero en votar SI es de 0.0384 Rúbr Rúbrica: ica: Desarrollo Nivel

Insuficiente

Regular

Satisfactorio

Excelente

Criterios

No realiza cálculo alguno

Identifica correctamente la variable aleatoria

Plantea de forma correcta la probabilidad

Calcula correctamente la probabilidad

Puntos

0

1

2

3

a) Se aplica la variable aleatoria binomial negativa

P(x=12)=(

𝑥−1 𝑟 ) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑥−𝑟, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑥 𝜖 𝑆¸ 𝑆 = {𝑟; 𝑟 + 1; … . } 𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥 ) = ( 𝑟−1

11) (0.6)3 (0.4)9 = 0.00311 2

La probabilidad de que el décimo segundo votante sea el tercero en votar SI es de 0.01946 Rúbr Rúbrica: ica: Desarrollo Nivel

Insuficiente

Regular

Satisfactorio

Excelente

Criterios

No realiza cálculo alguno

Identifica correctamente la variable aleatoria

Plantea de forma correcta la probabilidad

Calcula correctamente la probabilidad

Puntos

0

1

2

3

TEMA 5 (8 puntos) El tiempo de atención al cliente en un banco de la ciudad de Guayaquil sigue una distribución exponencial con promedio 2.3 minutos. a. Encuentre la probabilidad de que una persona sea atendida en el banco después de esperar más de 2.5 minutos. (4 puntos) b. Si se analiza a un grupo de 10 clientes del banco ¿Cuál es la probabilidad de que al menos dos de ellos sea atendidos en más de 2.5 minutos? (4 puntos)

RESOLUCIÓN a) 𝑓(𝑥) =

−𝑥

𝑒2.3 {2.3

, 𝑥>0

0, 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑥

Nivel

Insuficiente

Regular

Criterios Puntos

−𝑥

𝑒2.3 𝑃(𝑥 > 2.5) = ∫ 𝑑𝑥 = 0.3372 2.5 2.3 ∞

Satisfactorio

Excelente

No realiza cálculo alguno

Plantea correctamente la f(t)

Propone correctamente el cálculo con la distribución exponencial pero no obtiene el resultado correcto.

Obtiene el resultado correcto.

0

2

3

4

b) Suceso: Una persona sea atendida en más de 2.5 años P(suceso): 0.1466 Variable aleatoria Binomial (10, 0.3372) 𝑃 (𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1) 𝑃 (𝑋 ≥ 2) = 1 − 0.016 − 0.083 𝑃 (𝑋 ≥ 2) = 0,9 Nivel

Insuficiente

Regular

Satisfactorio

Excelente

Criterios

No realiza cálculo alguno

Plantea correctamente la variable aleatoria y el suceso.

Plantea correctamente la variable aleatoria Obtiene la probabilidad y valores a evaluar pero no obtiene el correcta. resultado correcto.

Puntos

0

2

3

4

TEMA 6 (12 puntos) El artículo “Computer Assisted Net Weight Control” (Quality Progress, 1983: 22-25) sugiere una distribución normal con media de 137.2 oz y desviación estándar de 1.6 oz del contenido de frascos de cierto tipo. El contenido declarado fue de 135 oz. a. ¿Cuál es la probabilidad de que un solo frasco contenga más que el contenido declarado? (4 puntos) b. Suponiendo que la media permanece en 137.2, ¿A qué valor se tendría que cambiar la varianza de modo que 95% de todos los frascos contengan más que el contenido declarado? (4 puntos) c. ¿Qué contenido es tal que el 30% de los frascos tengan contenidos menores o iguales al mismo? ¿Qué cuantil representa? (4 puntos)

a)

z=

135 − 137.2 = −1.38 1.6

 (−1.38) = 0.5 + 0.4162 = 0.9162 Nivel

Insuficiente

Satisfactorio

Excelente

Criterios Puntos

No realiza cálculo alguno. 0

Calcula correctamente z 2p

Calcula correctamente la probabilidad 4p

b) 95% mayores 5% menores o igual

 (z ) = 0.05 z = −1.65 =

135 − 137.2 = 1.33 − 1.65

 2 = 1,778 Nivel

Insuficiente

Satisfactorio

Excelente

Criterios Puntos

No realiza cálculo alguno. 0

Encuentra z correcta 2p

Calcula en forma correcta la varianza 2p

c)

 (z ) = 0.3 z = −0,53 x = (−0.53)(1.6) + 137.2 = 136,35 Percentil 30 Nivel

Insuficiente

Satisfactorio

Excelente

Criterios

No realiza cálculo alguno.

Encuentra z

Calcula valor de X e identifica el quantil

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS

AÑO:

2018

PERIODO:

PRIMER TÈRMINO

MATERIA:

ESTADISTICA

PROFESOR:

Mero J, Pinos C., Ronquillo C.

EVALUACIÓN:

PRIMERA

FECHA:

28 DE JUNIO DE 2018

SOLUCION Y RUBRICA Tema 1(15 puntos) Dada la siguiente tabla de frecuencias, se pide: Interval o

Marc a de clase

[1,2)

Frec. Abs.

Frec. Abs.Ac um

Frec. Rel.

Frec. Rel. Acum.

2 9 0.22 0.68 0.88

10 0.06 7.5

a) Completarla (3 puntos) b) Graficar el histograma de frecuencias absolutas y la ojiva (6 puntos) c) Calcule la media y la varianza para estos datos agrupados. (6 puntos) a) Se escriben directamente los intervalos, marcas de clase y los valores de frecuencia que se pueden determinar observando los datos dados y con las definiciones establecidas. Además, se utiliza la siguiente relación contenida en la tabla 10/n=0.2. De donde se obtiene que n=50

Nivel Criterios

Puntos

Clase

Marca de Frec. Abs. Frec.Abs. Clase Acum.

[1,2) [2,3) [3,4) [4,5) [5,6) [6.7) [7,8)

1.5 2.3 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5

2 7 11 14 10 3 3

2 9 20 34 44 47 50

Desarrollo Insuficiente En desarrollo No realiza Encuentra el valor cálculo alguno. de los primeros valores de la tabla utilizando definiciones. 0

1

Frec.Relat Frec. . Relat.Acu m. 0.04 0.04 0.14 0.18 0.4 0.22 0,68 0.28 0.2 0.88 0.94 0.06 0.06 1

Desarrollo Encuentra el valor de n y sigue encontrando valores que faltan 2

Excelente Completa exitosamente todos los valores de la tabla de frecuencias 3

b) Histograma de Frecuencias Absolutas 14

Frecuencia absoluta

12

10 8

6 4

2

0 1

2

3

4

5

6

7

Datos

Nivel Criterios

Insuficiente No realiza grafico alguno.

Desarrollo Regular Boqueja un gráfico sin asociarlo correctamente a las frecuencias

0

Puntos

Satisfactorio Grafica correctamente Omite Rótulos

1

Excelente Se evidencia que la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia absoluta del respectivo intervalo Rotula el gráfico 3

2

Ojiva 100

Porcentaje

80

60

40

20

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Datos

Nivel Criterios

Puntos

Insuficiente No realiza grafico alguno.

0

Desarrollo Regular Boqueja un gráfico sin asociarlo correctamente a los puntos coordenados (Límite, Frecuencia relativa acumulada) 1

Satisfactorio Realiza los puntos a graficar en el plano cartesiano Grafica los puntos Omite Rótulos

Excelente Grafica los puntos de forma correcta en el plano cartesiano Rotula el gráfico

2

3

d) La media y la varianza se las calcula con las siguientes fórmulas: 𝑘

𝑋 = ∑ 𝑖=1

Nivel Criterios

Desarrollo En desarrollo

Insuficiente No realiza cálculo alguno.

Solo plantea la formula para datos agrupados.

0

Puntos

Criterios

No realiza cálculo alguno.

𝑘

=∑

𝑓𝑖 (𝑦𝑖−𝑦)2 𝑛−1

𝑖=1

Desarrollo En desarrollo

Insuficiente

Puntos

Desarrollo

Sólo plantea la fórmula para datos agrupados.

0

Excelente

Desarrolla la fórmula pero se equivoca en algún término

Halla correctamente el valor de la media

2

3

1

𝑠2

Nivel

𝑓𝑖 𝑦𝑖 𝑛 = 4.38

= 2.15

Desarrollo

Excelente

Realiza los cálculos pero se equivoca en algún término

Halla correctamente el valor de la varianza

2

3

1

Tema 2 (5 puntos) Se determina como Población Objetivo a los estudiantes del paralelo 4 de Estadística (ESTG2001) de la ESPOL, donde el tamaño de dicha Población es N = 30. A la población objetivo se le ha medido una variable de interés, X: Estatura. Los valores observados son: 1.58 1.64 1.60 1.66 1.54 1.75 1.90 1.73 1.73 1.70

1.64 1.58 1.50 1.78 1.64 1.63 1.73 1.72 1.61 1.55

1.66 1.66 1.57 1.63 1.50 1.72 1.57 1.55 1.48 1.61

Para la variable aleatoria X: Estatura, determine: a) El valor Máximo, el valor mínimo y la amplitud (o rango) b) Los cuartiles y el rango intercuartílico . c) Usando la información obtenida en el inciso b), dibuje el diagrama de cajas.

a) El valor Máximo, el valor mínimo y la amplitud (o rango). Primero ordenamos los valores observados X(i) para i = 1, 2, … , 30. 1.48 1.50 1.50 1.54 1.55 1.5...