Menerapkan Eliminasi Gauss untuk Mendapatkan Determinan Matriks Bujursangkar Orde n PDF

Preview

Summary

Menerapkan Eliminasi Gauss untuk Mendapatkan Determinan Matriks Bujursangkar Orde n Yohannes S.M. Simamora Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193 Email: [email protected] 1 Pendahuluan Diberikan matriks bujursangkar orde n:   a11 a...

Description

Menerapkan Eliminasi Gauss untuk Mendapatkan Determinan Matriks Bujursangkar Orde n

Yohannes S.M. Simamora Program Studi Teknik Mesin, Politeknik Purbaya Jl. Pancakarya No. 1 Talang, Kabupaten Tegal 52193 Email: [email protected]

1

Pendahuluan

Diberikan matriks bujursangkar orde n:  a11 a12 ... a1j  a21 a . . . a2j 22   .. .. .. ..  . . . .   . .. A =  ai1 ai2 aij   . . .. .. .. ..  . .   a(n−1)1 a(n−1)2 . . . a(n−1)j an1 an2 ... anj

... ... .. . .. . .. .

a1(n−1) a2(n−1) .. .

a1n a2n .. .

ai(n−1) .. .

ain .. .

. . . a(n−1)(n−1) ... an(n−1)

a(n−1)n ann



      ,     

(1)

dengan notasi aij (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n) merepresentasikan entri pada baris i dan kolom j pada matriks tersebut. Metode eliminasi Gauss diterapkan pada A untuk mengenolkan: • entri (2,1) pada baris 2 • entri (3,1) dan (3,2) pada baris 3 • entri (i, 1), . . . , (i, j < i − 1) pada baris i > 2

1

sedemikian sehinggga diperoleh matriks segitiga atas1 :  0 a01(n−1) a11 a012 . . . a01j . . .  0 a1 . . . a1 . . . a12(n−1) 22 2j   . .. .. .. .. ..  .. . . . . .   . ..  .. U= 0 . akij 0 aki(n−1)  .. .. .. .. ..  ..  . . . . . .  m−1  0 0 . . . 0 . . . a(n−1)(n−1) 0 0 ... 0 ... 0

a01n a12n .. . akin .. . m−1 a(n−1)n am nn



      ,      

(2)

dengan akij merepresentasikan entri pada baris i dan kolom j pada U. Superskrip k = 0, . . . , m, m = n − 1 pada akij menunjukkan jumlah operasi eliminasi yang dialami entri (i, j) pada A untuk menghasilkan U. Jika eliminasi Gauss tersebut dilakukan dengan mempertimbangkan teorema berikut ini2 : (i) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil pertukaran dua baris pada A, maka determinan kedua matriks tersebut akan memiliki besar yang sama namun berlawanan tanda, |B| = −|A|, (ii) Jika B adalah matriks yang diperoleh dari hasil penjumlahan suatu baris dengan hasil perkalian baris yang lain pada A, maka |B| = A, maka: |A| ≡ (−1)p · |U| m−1 = (−1)p · a011 · a122 · . . . · akij · . . . · a22 · am nn ,

(3)

dengan p = 0, 1, . . . adalah jumlah pertukaran baris yang dilakukan selama perhitungan3 . Perhitungan (3) mungkin dilakukan mengingat determinan suatu matriks segitiga adalah hasil perkalian diagonalnya. Pada metode eliminasi Gauss, pertukaran baris pada suatu matriks dilakukan ketika nilai pivot sama dengan nol. Konsekuensi pertukaran baris tersebut pada nilai determinan harus diperhatikan dalam setiap tahap mendapatkan U. Pendekatan dengan eliminasi Gauss ini berguna terutama untuk mendapatkan determinan matriks bujursangkar dengan orde n > 3. Hal ini akan diperlihat pada bagian Contoh. 1 Di

sini, pembahasan dibatasi pada matriks segitiga atas. Bronson & Costa (2006), Teorema 8.9, hal. 269. 3 Di sini, (−1)p adalah (-1) pangkat p. 2 Lihat

2

2

Komputasi

Superskrip k = 0 pada (2) menunjukkan nilai mula-mula aij sebelum Gauss diterapkan. Dengan demikian, (1) dapat ditulis ulang sebagai:  a011 a012 ... a01j ... a01(n−1) a01n  a0 a022 ... a02j ... a02(n−1) a02n 21   .. .. .. .. .. .. ..  . . . . . . .   . .  . . 0 0 0 0 0 A= a ai2 . aij . ai(n−1) ain i1  .. .. .. .. .. .. ..   . . . . . .  0 .  a(n−1)1 a0(n−1)2 . . . a0(n−1)j . . . a0(n−1)(n−1) a0(n−1)n a0n1 a0n2 ... a0nj ... an(n−1) a0nn

eliminasi 

      .      

(4)

Karena di sini a011 digunakan sebagai pivot, maka nilai seluruh entri pada baris pertama (4) dibiarkan tetap sepanjang komputasi. Pengenolan entri (i > k, j = k) ketika k > 1 dilakukan dengan eliminasi Gauss, yang diberikan oleh: ! k−1 aik k−1 k−1 k akj , i > k, (5) aij = aij − k−1 akk

dengan k di sini juga digunakan sebagai penanda posisi baris dan atau kolom suatu entri4 . Beberapa catatan untuk memperjelas (5): • Penerapan (5) pada baris j = k akan mengkasilkan nilai nol. Misal, untuk k = 1, operasi baris pada entri (2,1) dan (3,1) masing-masing menghasilkan:  0  a21 1 0 a011 = 0 a21 = a21 − a011  0  a31 1 0 a31 = a31 − a011 = 0. a011 • syarat i > k berarti ketika k = 1, operasi baris diterapkan pada baris i = 2, . . . , n; ketika k = 2 operasi baris diterapkan pada baris i = 3, . . . , n; dan seterusnya. • Entri mengalami operasi baris adalah yang berada pada kolom j > k. Misalnya, untuk k = 1, entri yang mengalami operasi baris adalah kolom j = 1, . . . , n,untuk k = 2, entri yang mengalami operasi baris adalah kolom j = 2, . . . , n, dan seterusnya. 4 Misal ak−1 untuk k = 1 adalah a0 , untuk k = 2 adalah a1 , dan seterusnya. Seharusnya 11 22 kk tidak ada kerumitan tambahan karena ini.

3

3

Contoh

3.1

Skenario akk 6= 0

Hitung |A| jika diberikan: 

5  2 A=  −5 1

 4 2 1 3 1 −2  . −7 −3 9  −2 −1 4

(6)

Metode reduksi orde dengan operasi baris elementer yang dilanjutkan dengan perhitungan determinan orde tiga untuk (6) 5 menghasilkan |A| = 38. Matriks segitiga atas untuk (6) memiliki  5 4  0 a122 U=  0 0 0 0

bentuk: 2 a123 a233 0

 1 a124  . a234  a344

• k=1: Perhitungan untuk entri (2,1) sampai dengan (2,4) (i = 2):  0  a21 1 0 a011 a21 = a21 − a011   2 5 =2− 5 = 0.



a021 a011





a021 a011





a021 a011



a122 = a022 −   2 =3− 4 5

(9) a013

= 0.2.

a124 = a024 −

(10)

  2 1 = −2 − 5

= −2.4. 5 lihat

Bronson & Costa (2006), Contoh 8.9., hal. 271

4

(8)

a012

= 1.4.

a123 = a023 −   2 =1− 2 5

(7)

a013

(11)

Perhitungan untuk entri (3,1) sampai dengan (3,4) (i = 3):  0  a31 1 0 a31 = a31 − a011 a011   −5 5 = −5 − 5 = 0.

a132 = a032 − = −7 − = −3. a133 = a033 − = −3 − = −1.



a031 a011







−5 5



a031 a011



−5 5



a031 a011

a012

4 (13)





a013

2

5

(14)



a014 a134 = a034 −   −5 1 =9− 5 = 10.

(12)

(15)

Perhitungan untuk entri (4,1) sampai dengan (4,4) (i = 4):  0  a41 1 0 a41 = a31 − a011 a022   1 5 =1− 5 = 0.

a142 = a032 −



a041 a022



a041 a022



a041 a022



a012

  1 4 = −2 − 5

= −2.8.

a143 = a033 −



(17) a013

  1 = −1 − 2 5

= 1.4

a144 = a034 −   1 1 =4− 5



(18) a014

= 3.8.

(19)

• k=2: Perhitungan untuk entri (3,2) sampai dengan (3,4) (i = 3):  1  a32 1 2 a32 = a32 − a122 a122   −3 = −3 − 1.4 1.4 = 0.

a233 = a133 − = −1 −

a234





a132 a122 −3 1.4





6

(20)

a123

0.2

= −0.571429.  1  a32 1 = a34 − a124 a122   −3 (−2.4) = 10 − 1.4 = 4.857143.

(16)

(21)

(22)

Perhitungan untuk entri (4,2) sampai dengan (4,4) (i = 3): i = 4:  1  a42 2 1 a42 = a32 − a122 a122   −2.8 1.4 = −2.8 − 1.4 = 0.



a142 a122





a142 a122



a123   −2.8 0.2 = −1.4 − 1.4

a243 = a133 −

= −1.

a124   −2.8 = 3.8 − (−2.4) 1.4

a244 = a134 −

= −1.

• k = 3 Perhitungan untuk entri (4,3) dan (4,4) (i = 4):  2  a43 3 0 a44 = a43 − a233 a233   −1 − 0.571429 = −1 − −0.571429 =0

a244 = a034 − = −1 −





a142 a122



(24)

(25)

(26)

a124

−1 −0.571429

= −9.499994.

(23)



4.857143 (27)

Memasukkan nilai-nilai numerik (8)-(27) ke dalam (7), diperoleh matriks segitiga:   5 4 2 1  0 1.4 0.2 −2.4  . U= (28)  0 0 −0.571429 4.857143  0 0 0 −9.499994

Dengan demikian, (3) dapat diterapkan menggunakan (28) dengan p = 0. Ini karena selama perhitungan tidak dilakukan pertukaran baris, diperoleh: |A| ≡ (−1)p |U| = (−1)0 · a011 · a122 · a233 · a344 = 1 · 5 · 1.4 · (−0.571429) · (−9.499994) = 38.000004 7

3.2

Skenario akk = 0

Hitung |A| jika diberikan:  0 3.5 2 6 −1  . A= 5 −4 3 3 

Perhitungan dengan aturan Sarrus memberikan: . 0 3.5 2 .. 0 3.5 . . |A| = 5 6 −1 . 5 6 . −4 3 3 .. −4 3

(29)



= [(0 · 6 · 3) + (3.5 · (−1) · (−4)) + (2 · 5 · 3)]

− [((−4) · 6 · 2) + (3 · (−1) · 0) + (3 · 5 · 3.5)] = 39.5.

(30)

Tampak bahwa a11 = 0. Hal ini berarti pertukaran baris perlu dilakukan untuk mengganti pivot. Di sini, baris 1 bertukar dengan baris 3 sehingga diperoleh:   −4 3 3 6 −1  . (31) B= 5 0 3.5 2 Bentuk matriks yang dikehendaki adalah matriks segitiga yang berasal dari B:   −4 3 3 U =  0 b122 b123  . (32) 0 0 b233

yang mengikuti bentuk (31).

• k=1: Perhitungan untuk entri (2,1): b121

=

b021

−

=0



b021 b011



b011 (33) (34)

Perhitungan untuk entri (2,2):  0  a21 b012 b122 = b122 − b011   5 =6− 3 −4 = 9.75

8

(35)

Perhitungan untuk entri (2,3): b123

 b021 = − b013 a011   5 3 = −1 − −4 

b123

= 2.75.

(36)

Tampak pada 31 bahwa nilai entri (3,1) sama dengan nol. Karena 0 b031 = = 0, b011 −4 maka nilai entri (3,2) dan (3,3) untuk k = 1 tidak berubah: b132 = b032 = 3.5

(37)

b133

(38)

=

b033

= 2.

• k=2: Perhitungan untuk entri (3,2): b232

=

b131

= 0.

−



b131 b122



b122 (39)

Perhitungan untuk entri (3,3): b233

 b131 b123 = − b122   3.5 =2− 2.75 9.75 b133



= 1.012821.

(40)

Memasukkan nilai-nilai numerik (33)-(40) ke dalam (32), diperoleh matriks segitiga:   −4 3 3 2.75  U =  0 9.75 (41) 0 0 1.012821 Penerapan (3) dapat diterapkan menggunakan (41) dengan p = 1. Ini karena selama perhitungan dari A hingga mendapatkan U dilakukan satu kali pertukaran baris. Sehingga diperoleh: |A| ≡ (−1)p |U| = (−1)1 · b011 · b122 · b233 = (−1) · (−4) · 9.75 · 1.012821 = 39.500019

9

Kepustakaan 1. Bronson, R. & Costa, G.B., Differential Equations (Schaum’s Outlines). Third Edition, McGraw-Hill, 2006. 2. Chapra, S.C. & Canale, R.L., Numerical Methods for Engineers. Seventh Edition, McGraw-Hill, 2014.

Disclaimer Makalah tutorial ini ditulis untuk tujuan pengajaran semata. Tidak satu pun konsep dan metode dalam makalah ini yang merepresentasikan kontribusi asli penulisnya. This tutorial paper was written solely for teaching purpose. There is no any concept or method in this paper that represents the author’s original contribution. Versi 0.0, November 2, 2017

10...