Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ PDF

Preview

Summary

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016 MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U Agustus 2015 MZI (FIF Tel-U) OBE dan EGJ Agustus 2015 1 / 62 Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada su...

Description

Operasi Baris Elementer (OBE) dan Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ) Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

Agustus 2015

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

1 / 62

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014, oleh Adiwijaya.

2

Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010, oleh H. Anton dan C. Rorres.

3

Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom University oleh Jondri.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

2 / 62

Bahasan 1

Motivasi dan Pengenalan OBE

2

Representasi Matriks untuk SPL

3

Operasi Baris Elementer (OBE)

4

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6

Latihan OBE dan EGJ (1)

7

SPL Homogen

8

Latihan OBE dan EGJ (2)

9

Latihan OBE dan EGJ (3)

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

3 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

Bahasan 1

Motivasi dan Pengenalan OBE

2

Representasi Matriks untuk SPL

3

Operasi Baris Elementer (OBE)

4

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6

Latihan OBE dan EGJ (1)

7

SPL Homogen

8

Latihan OBE dan EGJ (2)

9

Latihan OBE dan EGJ (3)

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

4 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar gra…k), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu:

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar gra…k), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1

Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar gra…k), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1

2

Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

Motivasi Kita sudah melihat beberapa metode untuk memperoleh solusi dari SPL dengan 2 atau 3 peubah, diantaranya adalah: metode geometris (menggambar gra…k), metode substitusi, metode eliminasi, dan metode eliminasi-substitusi. Metode-metode tersebut memiliki kelemahan, yaitu: 1

2

Metode geometris sukar diterapkan untuk mencari solusi SPL dengan 3 peubah dan mustahil diterapkan jika kita ingin mencari solusi SPL dengan banyak peubah lebih dari 3. Metode substitusi, eliminasi, maupun eliminasi-substitusi membutuhkan waktu yang relatif lama. Selain itu penerapan metode-metode ini juga rentan dengan kesalahan aritmetika. Singkatnya, metode-metode ini terlalu nguli.

Pada kuliah ini, kita akan mempelajari operasi baris elementer (OBE) dan eliminiasi Gauss-Jordan (EGJ) sebagai salah satu metode untuk mencari solusi dari SPL dengan persamaan dan peubah yang cukup banyak.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

5 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

Operasi Baris Elementer

Operasi baris elementer merupakan suatu operasi yang dilakukan pada suatu matriks. Operasi ini terdiri atas: 1

OBE 1: Perkalian dengan skalar tak nol.

2

OBE 2: Penukaran baris.

3

OBE 3: Penjumlahan kelipatan skalar suatu baris dengan baris yang lain.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

6 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x=

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y =

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y=2

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

(2)

Agustus 2015

7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y=2

(2)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 1: Perkalian dengan Skalar Tak Nol Pandang SPL berikut x+y =4 x y=2

(1)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 adalah solusi dari SPL (1). Jika kita mengalikan persamaan pertama dengan 2, maka kita memperoleh SPL 2x + 2y = 8 x y=2

(2)

Dengan metode yang dipelajari di sekolah menengah, kita mengetahui bahwa x = 3 dan y = 1 juga solusi dari SPL (2). Secara umum, jika kita mengalikan sembarang persamaan pada SPL (1) dengan sembarang konstanta tak nol, maka solusi SPL baru yang diperoleh juga akan tetap sama.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

7 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 2: Menukar Persamaan

Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y=2 x+y =4

(3)

Jelas bahwa solusi dari SPL (3)

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

8 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 2: Menukar Persamaan

Pada SPL (1) jika kita menukar posisi persamaan pertama dan persamaan kedua, maka kita akan memperoleh SPL berikut x y=2 x+y =4

(3)

Jelas bahwa solusi dari SPL (3) juga x = 3 dan y = 1.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

8 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 3

Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

9 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 3

Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x+y =4 2y = 2

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

(4)

Agustus 2015

9 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 3

Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x+y =4 2y = 2

(4)

Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1).

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

9 / 62

Motivasi dan Pengenalan OBE

OBE 3

Pada SPL (1) kita dapat mengalikan persamaan pertama dengan 1 dan kemudian menambahkan hasilnya ke persamaan kedua. Dalam hal ini persamaan pertama tetap, namun persamaan kedua berubah. Kita memiliki SPL baru berikut x+y =4 2y = 2

(4)

Solusi dari SPL (4) adalah y = 1 dan x = 3, yang sama dengan solusi SPL (1). Secara umum, jika kita mengalikan suatu persamaan dengan konstanta dan menambahkan hasilnya ke persamaan lain, maka solusi SPL yang baru juga akan tetap sama.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

9 / 62

Representasi Matriks untuk SPL

Bahasan 1

Motivasi dan Pengenalan OBE

2

Representasi Matriks untuk SPL

3

Operasi Baris Elementer (OBE)

4

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6

Latihan OBE dan EGJ (1)

7

SPL Homogen

8

Latihan OBE dan EGJ (2)

9

Latihan OBE dan EGJ (3)

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

10 / 62

Representasi Matriks untuk SPL

Representasi Matriks untuk SPL

Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

11 / 62

Representasi Matriks untuk SPL

Representasi Matriks untuk SPL

Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk 1 1

1 1

x y

=

4 2

Sekarang kita de…nisikan representasi matriks dalam bentuk yang “lain” untuk SPL (1) sebagai berikut

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

11 / 62

Representasi Matriks untuk SPL

Representasi Matriks untuk SPL

Di sekolah menengah Anda sudah mengenal perkalian matriks 2 2 dengan suatu vektor kolom 2 1. Contohnya, SPL (1) dapat kita tulis dalam bentuk 1 1

1 1

x y

=

4 2

Sekarang kita de…nisikan representasi matriks dalam bentuk yang “lain” untuk SPL (1) sebagai berikut 1 1

1 j 4 1 j 2

atau

1 1

1 1

4 2

(5)

Representasi SPL dalam bentuk (5) kita katakan sebagai matriks diperbesar (augmented matrix) untuk SPL yang bersesuaian.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

11 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Bahasan 1

Motivasi dan Pengenalan OBE

2

Representasi Matriks untuk SPL

3

Operasi Baris Elementer (OBE)

4

Bentuk Eselon Baris (EB) dan Eselon Baris Tereduksi (EBT)

5

Eliminasi Gauss-Jordan (EGJ)

6

Latihan OBE dan EGJ (1)

7

SPL Homogen

8

Latihan OBE dan EGJ (2)

9

Latihan OBE dan EGJ (3)

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

12 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut:

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A0 adalah

matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri .

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A0 adalah

matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A0 adalah

matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A0 adalah

matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A0 adalah matriks baru yang

diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri $ Rj untuk baris Ri dan Rj yang ditukar pada A.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A0 adalah

matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A0 adalah matriks baru yang

diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri $ Rj untuk baris Ri dan Rj yang ditukar pada A. Ini berarti baris Ri pada A0 menjadi baris Rj pada A, dan sebaliknya.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A adalah salah satu dari operasi-operasi berikut: OBE1 Mengalikan suatu baris pada A dengan konstanta tak nol. Jika A0 adalah

matriks baru yang diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri Ri . Ini berarti baris Ri yang baru pada A0 sama dengan kali baris Ri yang lama pada A. OBE2 Menukar posisi dua baris pada A. Jika A0 adalah matriks baru yang

diperoleh dengan OBE ini, kita berikan keterangan Ri $ Rj untuk baris Ri dan Rj yang ditukar pada A. Ini berarti baris Ri pada A0 menjadi baris Rj pada A, dan sebaliknya. OBE3 Mengalikan suatu baris pada A dengan suatu konstanta dan menambahkan

hasilnya ke suatu baris yang lain.

MZI (FIF Tel-U)

OBE dan EGJ

Agustus 2015

13 / 62

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) Operasi Baris Elementer/ OBE Diberikan suatu matriks A dengan baris-baris R1 ; R2 ; : : : ; Rm . Operasi baris elementer (OBE) pada A ad...