Méréstech összefoglaló 1 Hibaszámítás 1 PDF

Preview

Summary

A (1) A kimeneti f x1, x 2, ... , x n f x (2) A kimenet xi (3) A kimeneti az egyes bemeneti y xi (4) A kimenet (hibakomponensek n y i n Legrosszabb case y n A hiba: y y f yi Az 2 megegyezik: (1) A kimeneti f x1, x 2, ... , x n f x (2) A kimenet xi A harmadik az hiba indulunk ki. Ahhoz, hogy az egyes...

Description

Hibaszámítás A hibaszámítás lépései: (1) A kimeneti függvény: y= f  x1, x 2, ... , x n = f  x  ∂f ∂f c i= (2) A kimenet érzékenységének kiszámítása: c= ∂ xi ∂x (3) A kimeneti érték hibája az egyes bemeneti paraméterek hibájából: (4) A kimenet érték hibája (hibakomponensek összegzése):

 y i=c i⋅ xi

n

➔

előjeles összegzés:

 y=∑  y i i=1

n

➔

 y=∑∣ y i∣

Legrosszabb eset/worst case összegzés:

∑

i=1

n

➔

Legvalószínűbb érték alapján:

 y=

 yi 

2

i=1

A relatív hiba:

y  y = f x y

Hibaszámítás relatív hibákkal végig számolva: Az első 2 lépés megegyezik: (1) A kimeneti függvény: y= f  x1, x 2, ... , x n = f  x  ∂f ∂f c i= (2) A kimenet érzékenységének kiszámítása: c= ∂x ∂ xi A harmadik lépés esetén az abszolút hiba kifejezésből indulunk ki. Ahhoz, hogy az egyes hibakomponensekhez tartozó kimeneti érték hibáját relatív hibaként határozzák meg, az egészet el kell osztanunk y-nal:  y i ci  y i=c i⋅ xi ⇒ = ⋅ x i y y A továbbiakban tehát a fenti képletet is alkalmazhatjuk a (3)-as pontban. Ha adott a névleges érték, nincs semmi gond, hiszen a névleges érték és a relatív hiba segítségével az abszolút hibája –  x i – számítható. Az esetek nagy többségében, azonban a bemeneti paraméterekről semmilyen más információ nem adott csak a relatív hibája. Ilyen esetekben célszerű tehát a (3)-as lépésben a  x i abszolút hiba helyett bevezetni a h= x i / x i relatív hibát. Ez úgy történik meg, hogy az előzőekben kapott egyenlet jobb oldalát x i / x i -vel bővítjük:  yi ci x  y i ci x  yi ci = ⋅x i⋅ i = ⋅ x i⋅ i ⇒ = ⋅ x i ⇒ y y y xi xi y y y A kapott eredményt még egy kicsit rendezve a következőt kapjuk:  yi x x =ci⋅ i⋅ i y xi y Amit a következőképpen értelmezhetünk: c i : A kimeneti változó érzékenysége az i. bemeneti paraméterre vonatkozóan ● xi ● : Az i. bemeneti paraméter milyen súllyal befolyásolja a kimeneti változót (felfogható y egyfajta súlytényezőként is)  xi ● : Az i. bemeneti változó relatív hibája xi  yi ● : A kimeneti változó relatív hibája az i. bemeneti változóra nézve yi

A fentiek alapján a (3)-as lépés relatív hibákkal felírva:  yi x x =ci⋅ i⋅ i (3) y y xi (4) Hibakomponensek összegzése: n  yi y = ➔ előjeles összegzés: ∑ y i =1 y n

➔

 y=∑∣ y i / y∣

Legrosszabb eset/worst case összegzés:

i=1

∑ n

➔

Legvalószínűbb érték alapján:

 y=

 yi / y2

i=1

Összefoglalva az egyes lépéseket relatív hibákkal számolva: (1) A kimeneti függvény: y= f  x1, x 2, ... , x n = f  x  ∂f ∂f c i= (2) A kimenet érzékenységének kiszámítása: c= ∂ xi ∂x x  yi i x =ci⋅ ⋅ i (3) y y xi (4) Hibakomponensek összegzése: n  yi y ➔ előjeles összegzés: =∑ y i =1 y n y =∑∣ yi / y∣ ➔ Legrosszabb eset/worst case összegzés: y i =1 ➔

Legvalószínűbb érték alapján:

y = y

∑ n

 y i / y2

i=1

Példák Példatár – 2.11. ( A feladat szövege nem szó szerint lett idézve) Adott X 2x2-es mátrix, amelynek elemeit 50ppm relatív hibával ismerünk. Adja meg, hogy a lgrosszabb esetben mennyi az Y = X −1 inverz mátrix elemeinek relatív hibája. Megoldás: Írjuk fel az X mátrixot és inverzét általános alakban: x x2 X= 1 x3 x4

[ ]

Y=

y1 y3

[ ]

[

1 y2 x −x2 −1 ⋅ 4 =X = det  X  −x 3 x 1 y4

]

ahol a determináns: det  X  =x 1⋅x 4 − x 2⋅x 3 Vizsgálatainkat a továbbiakban az inverz mátrix egy elemére, az y1-re végezzük el. (1) Függvénykapcsolat meghatározása: 1 1 y 1= ⋅x 4 = ⋅x x1⋅x 4−x 2⋅x 3 4 det  X  A fentiek alapján jól látható, hogy y1 az X összes elemétől függ. Ugyanez elmondható az Y inverz mátrix többi eleméről is, hiszen mindegyik számolásában megjelenik az X

mátrix determinánsának reciproka, aminek számításához X összes elemére szükség van. (2) Érzékenység számítása: lánc-szabály felhasználásával x2 ∂ y1 ∂ y1 ∂ det  X  1 ⋅x 4 =− 2 4 =−x 4⋅ 2 = ⋅ ➔ x1-re: c 1= ∂ x 1 ∂ det  X  ∂ x1 det  X  det  X  ∂ y1 ∂ y1 ∂ det  X  ⋅x x 1 = ⋅ =x 4⋅ 2 ⋅x 3= 42 3 ➔ x2-re: c 2 = ∂ x 2 ∂ det  X  ∂ x2 det  X  det  X  x ⋅x ∂ y1 ∂ y1 ∂ det  X  1 =x 4⋅ 2 ⋅x 2= 42 2 = ⋅ ➔ x3-ra: c 2= ∂ x3 ∂ x 3 ∂ det  X  det  X  det  X  x ⋅x ∂ y 1 det  X − x 4⋅x 1 x 1⋅x 4 − x 2⋅x 3− x 4⋅x 1 = = =− 22 3 ➔ x4-re: c 2 = 2 2 ∂ x3 det  X  det  X  det  X  (3) Relatív hiba komponensenként: det  X  x ⋅x x2  x1  y 11 =− 4 1 ⋅h =− 2 4 ⋅ ⋅x1⋅ ➔ x1-re: x1 x4 y1 det  X  det  X   x 2 x 3⋅x 2  y 12 x ⋅x 3 det  X  ⋅h ⋅x 2⋅ = = 42 ⋅ ➔ x2-re: x 2 det  X  x4 y1 det  X  x  y 13 x ⋅x 2 det  X  x ⋅x ⋅x 3⋅ 3 = 2 3 ⋅h = 42 ⋅ ➔ x3-ra: y1 x4 x 3 det  X  det  X  x ⋅x det  X  x ⋅x  x4  y 14 =− 22 3 ⋅ =− 2 3 ⋅h ⋅x 4⋅ ➔ x4-re: y1 x x det  X  det  X  4 4 (4) Hibakomponensek worst case összegzése:  y1 h = ⋅∣x ⋅x ∣3⋅∣x 2⋅x 3∣=26,515 y1 det  X  1 4 Szimmetria okokból következik, hogy az y4-re is ugyanez az eredmény adódik:  y1  y4 =26,515 = y1 y4 A fentiekhez hasonlóképpen levezethető y2-re és y3-ra is az alábbi összefüggés:  y 2  y3 h ⋅∣ x 2⋅x 3∣3⋅∣x 1⋅x 4∣ =26,505 = = y 3 det  X  y2 További példák: 1) Az alábbi jegyzetben: http://portal.mit.bme.hu/oktatas/targyak/vimia206/jegyzet/mt-msc.pdf 2) Gyakorlatokon megoldott példák 3) Példatár 2. fejezetében lévő példák és megoldásaik...