Método simplex y gráfico;Análisis gráfico de la solución del problema de programación lineal. PDF

Preview

Summary

a. Todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 11X1 + 17X2...

Description

TAREA 1–PRESABERES

Ramiro Cruz

GRUPO: 102016_30

TUTOR RICARDO JAVIER PINEDA MELGAREJO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA METODOS DETERMINISTICOS - (102016A_952) SANTA MARTA, MAGDALENA 2021

Ejercicio 1. Método simplex y gráfico.

Según la siguiente gráfica, que describe un problema típico de programación lineal: En una empresa fabricante de mesas desea encontrar la solución a la necesidad de producir mesas rectangulares de tal forma que las dimensiones no sobrepasen 3 m y la suma de su dimensión mayor y el doble de la menor no sea mayor a 5 m.: a. Formule el problema como un modelo de programación lineal con todos los elementos que le caracterizan según las condiciones del problema y teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 11X1 + 17X2. b.

Resuélvalo por los métodos simplex y gráfico.

c.

Analice ¿Cuál es el valor máximo del perímetro para las mesas a fabricar?

Solución paso a paso: a. Todos los elementos que caracterizan el modelo de programación lineal, las condiciones del problema, teniendo en cuenta que la función objetivo es Max Z = 11X1 + 17X2 Llamaremos: X1 = dimensión mayor X2 = dimensión menor Función objetivo: Maximizar Z = 11X1 + 17X2 (Perímetro) Condiciones del problema: X1 ≤ 3 X2 ≤ 3 X1 + 2X2 ≤ 5 Condiciones de no negatividad: X1 ≥ 0 X2 ≥ 0 b. Métodos simplex y gráfico. Método Simplex 1. Las condiciones del problema se escriben como igualdades agregando variables de holgura: Función objetivo: Maximizar Condiciones del problema: X 1 + h1 = 3 X 2 + h2 = 3 X1 + 2X2 + h3 = 5

Z (X1, X2, h1, h2, h3) = 11X1 + 17X2 + 0h1 + 0h2 + 0h3

2. Se construye una tabla con los coeficientes de las condiciones y la función objetivo (en negativo):

VB h1 h2 h3 Z

Z 0 0 0 1

X1 1 0 1 -11

X2 0 1 2 -17

TABLA 1 h1 1 0 0 0

h2 0 1 0 0

h3 0 0 1 0

CR 3 3 5 0

3.- Se transforma la tabla para obtener una nueva solución. Para ello: 3.1.- Se selecciona la columna pivote aquella con el número negativo de mayor valor absoluto en la última fila. (Columna 4: X2) 3.2.- Se selecciona la fila pivote aquella con el menor cociente positivo entre la columna CR y la columna pivote. (Fila 4: h3). 3.3.- El elemento donde se cruzan la fila y la columna pivote es el elemento pivote. Este se transforma en uno (1) dividiendo la fila pivote entre el valor del elemento pivote. 3.4.- Se interviene la (Fila 2: h1), restándole a cada valor de la fila, el resultado de multiplicar el valor de esa fila ubicado en la columna pivote por cada valor de la fila pivote: es decir los dos primeros valores de la fila h1es el resultado de la siguiente operación: 1-(0*1) =1 ;

0-(0*2=0

3.5.- Se repite el procedimiento anterior, pero se interviene la (Fila 3: h2), restándole a cada valor de la fila, el resultado de multiplicar el valor de esa fila ubicado en la columna pivote por cada valor de la fila pivote. 3.6.- Se repite el procedimiento anterior, pero se interviene la (Fila 5: Z), restándole a cada valor de la fila, el resultado de multiplicar el valor de esa fila ubicado en la columna pivote por cada valor de la fila pivote. Se genera la siguiente tabla: VB h1 h2 X2 Z

Z 0 0 0 1

X1 1 -0,5 0,5 -2,5

X2 0 0 1 0

TABLA 2 h1 1 0 0 0

h2 0 1 0 0

h3 0 -0,5 0,5 8,5

CR 3 0,5 2,5 42,5

4.- Se revisa la última fila de la tabla y, como hay valores negativos, se repite el paso 3.

4.1.- Columna Pivote: Columna 3, X1 4.2.- Fila Pivote: Fila 2, h1 Después de repetir cada uno de los pasos se genera la siguiente tabla. VB X1 h2 X2 Z

Z 0 0 0 1

X1 1 0,0 0 0

X2 0 0,0 1 0

TABLA 3 h1 1 0,5 -0,5 2,5

h2 0 1,0 0 0

h3 0 -0,5 0,5 8,5

CR 3 2,0 1 50

5.- Se revisa la última fila de la tabla y, ya que no hay valores negativos, se selecciona la mejor solución. La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 50 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 3 metros por 1 metro.

Método Gráfico

1.- Las condiciones del problema son las mismas: 2.- Se construye una gráfica con las igualdades que representan las fronteras del polígono solución. Se evalúan los vértices del polígono en la función objetivo y se selecciona como solución máxima la mayor de todas esas evaluaciones: Z = 11X1 + 17X2 X1 2 2 3 3

X2 0 1 0 1

SOLUCIÓN 11(2) + 17(0) 11(2) + 17(1) 11(3) + 17(0) 11(3) + 17(1)

VALOR Z 22 39 33 50

Condición 3: X1 + 2X2 ≤ 5 Cuando X1 vale 0, X2 vale 2,5; punto: (0,2.5) Cuando X2 vale 0, X1 vale 5; punto: (5,0) La solución máxima de la función objetivo (perímetro) es Z = 50 cuando las dimensiones de la mesa rectangular son: 3 metros por 1 metro.

Ejercicio 2. Análisis gráfico de la solución del problema de programación lineal.

Según la solución gráfica al problema usted puede analizar múltiples criterios para la toma de decisiones. El cual está sujeto a las condiciones de: Minimizar Z= 11X1 + 7X2 Sujeto a: 7X1 + 5X2 ≤ 31 3X1 + 7X2 ≤ 42 7X1 + 9X2 ≤ 29 X1, X2 ≥ 0

A partir de la situación problema: Identifique las condiciones respuesta de: Función objetivo Valor minimizado. Valor de la variable X1. Valor de la variable X2. Valor de las coordenadas limitantes del gráfico y el valor de la función objetivo.

Solución: Valor de las coordenadas limitantes del gráfico de la región factible. Teniendo en cuenta la 3ar Restricción: 7X1+9X2=29 Si X1=0

Si X2=0

X2=29/9

X1=29/7

X2=3.2

X1=4.14

Vértice F: (0,3.2) Vértice G: (4.14,0) Vértice O: (0,0) Punto F G O

Valores (0,3.2) (4.14,0) (0,0)

Valor Z 22,4 45,54 0

Como el ejercicio es minimizar el Punto 0 es el punto óptimo ya que cumple con todas las restricciones y es el valor mínimo. Z= 11X1 + 7X2 Z=11(0) + 7(0) Z=0 Valor Función Objetivo Z=0 Valor Variable X1=0 Valor Variable X2=0

Ejercicio 3. Análisis gráfico de la solución del problema de programación lineal.

Según la solución gráfica al problema usted puede analizar múltiples criterios para la toma de decisiones. El cual está sujeto a las condiciones de: Maximizar Z= 13X1 + 11X2 Sujeto a: 7X1 + 5X2 ≤ 31 3X1 + 7X2 ≤ 42 9X1 + 5X2 ≤ 27 X1, X2 ≥ 0

A partir de la situación problema: Identifique las condiciones respuesta de: Función objetivo, valor maximizado. Valor de la variable X1. Valor de la variable X2. Valor de las coordenadas limitantes del gráfico y el valor de la función objetivo. Solución: Valor de las coordenadas limitantes del gráfico de la región factible. Teniendo en cuenta las restricciones:

7X1 + 5X2 = 31 Si X1=0 X2=31/5 X2=6.2

Si X2=0 X1=31/7 X1=4.42

3X1 + 7X2 = 42 Si X1=0 X2=42/7 X2=6

Si X2=0 X1=42/3 X1=14

9X1 + 5X2 = 27 Si X1=0 X2=27/5 X2=5.4

Si X2=0 X1=27/9 X1=3

Vértice F: (0,5.4) Vértice G: (3,0) Vértice A: (0,6.2)

Punto F G O

Valores (0,5.4) (3,0) (0,0)

Valor Z 59.4 39 0

Como el ejercicio es maximizar el Punto F es el punto óptimo ya que cumple con todas las restricciones y es el valor mayor. Z= 13X1 + 11X2 Z= 13(0) + 11(5.4) Z= 59.4

Valor Función Objetivo Z=59.4 Valor Variable X1=0 Valor Variable X2=5.4 BIBLIOGRAFÍA

 Chediak, F. (2012). Investigación de operaciones. (3a. ed.) (pp 181-234), Ibagué, Colombia: Editorial Universidad de Ibagué. Recuperado de https://elibroet.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/70155

 Pineda, R, (2020). OVI - El problema de asignación. Sogamoso, Colombia. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/35527

 Pineda, R, (2020). Modelos de decisión determinísticos. Sogamoso, Colombia. Recuperado de https://repository.unad.edu.co/handle/10596/35496...