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INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICAE INDUSTRIAS EXTRACTIVASACADEMIA DE MATEMÁTICAS APLICADASMÉTODOS NÚMERICOSPROBLEMARIOSEGUNDOPARCIAL PARCIALPROFESOR(A): DORA MARIA TREJO RUBIOEQUIPO: 1Nombre BoletaAbarca Jiménez Helena Monserrat 2019320452Brito Sánchez David 201932...

Description

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERÍA QUÍMICA E INDUSTRIAS EXTRACTIVAS ACADEMIA DE MATEMÁTICAS APLICADAS

MÉTODOS NÚMERICOS

PROBLEMARIO SEGUNDOPARCIAL PARCIAL

PROFESOR(A): DORA MARIA TREJO RUBIO EQUIPO: 1 Nombre Abarca Jiménez Helena Monserrat

Boleta 2019320452

Brito Sánchez David Cruz Francisco Alicia González Hernández José Elian

2019320637 2015070273 2019320281

GRUPO: 21V47 CICLO ESCOLAR 20-2

Interpolación y apunte de datos Ajuste por mínimos cuadrados

En la tabla siguiente se presenta los siguientes alargamientos de un resorte, correspondiente a fuerzas de diferente magnitud se le deforma. Puntos Fuerza (kgf):X Longitud del resorte(m):Y

1

2

3

4

5

0

2

3

6

7

0.120

0.153

0.170

0.225

0.260

Determina por mínimos cuadrados el mejor polinomio de primer grado recto que representa la función dada. Solución: Para facilitar los cálculos se construye la siguiente tabla: Puntos 1 2 3 4 5 m=5

Fuerza(Xi) 0 2 3 6 7

Longitud(Yi) 0.120 0.153 0.170 0.225 0.260

Xi2 0 4 9 36 49

XiYi 0.000 0.306 0.510 1.350 1.820

ΣXi=18

ΣYi=0.928

ΣXi2=98

ΣXiYi=3.986

Note que Yi=f(Xi) y sustituyendo los valores de las sumatorias del sistema de dos ecuaciones para obtener a0 y a1, tenemos: 5a0 + a118=0.928 18a0 + a198=3.986 Tenemos: a0=0.11564 a1=0.019434 P(X)=f(X)=0.11564+0.019434X

Diferencias derivadas

La información de la tabla siguiente se obtuvo de un polinomio: Puntos X F(X)

0 -2 -18

1 -1 -5

2 0 -2

3 2 -2

4 3 7

5 6 142

A partir pero está elabora una tabla de diferencias divididas.

Solución: Las primeras diferencias divididas mediante los puntos: 0, 1 y 1, 2; respectivamente son, f [ X 0 , X 1 ]=

−5− ( −18) =13 −1−(−2)

f [ X 1 , X 2 ]=

−2− ( −5) =3 0−(−1)

f [ X 2 , X 3 ]=

−2− ( −2) =0 2−(0)

f [ X 3 , X 4]=

7− (−2 ) =9 30−(2)

f [ X 4 , X 5]=

142− ( 7 ) =45 6−(3)

La segunda diferencia dividida mediante los puntos: 0,1 y 2 es; f [ X 0 , X 1 , X 2 ]=

3−( 13 ) =−5 0−(−12)

f [ X 1 , X 2 , X 3 ]=

0−( 3 ) =−1 2−(−1)

f [ X 2 , X 3 , X 4 ]=

9− ( 0 ) =3 3−(0)

f [ X 3 , X 4 , X 5 ]=

45− ( 9) =9 6−( 2)

Calcula las siguientes diferencias divididas que se resumen y en la siguiente tabla.

Puntos

X

F(X)

0

-2

-18

1er orden

2do orden

3er orden

4º orden

13 1

-1

-5

-5 3

2

0

-2

3

2

-2

1 -1

0

1 3

9 4

3

0

7

0 1

9 45

5

6

142

Nota: Todas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismo valor independientemente de los argumentos utilizados para su cálculo. Y las diferencias de cuarto orden son todos las derivadas un polinomio de tercer grado sean una constante y cero sea cual sea el valor del argumento x.

f [ X 0 , X 1 , X 2 ]=

−5−( −1) =1 2−(−2)

f [ X 1 , X 2 , X 3 ]=

3− (−1 ) =1 3−(−1)

f [ X 2 , X 3 , X 4 ]=

9− ( 3 ) =1 6 −(0 )

Ajuste polinomial multivariable con mínimos cuadrados

Aproximación polinomial segmentaria Ajuste los datos que se muestran en la tabla con segmentarias cubicas y calcule el valor de la función en x=5

Puntos 0 1 2 3

X 3 4.5 7 9

F(x) 2.5 1 2.5 0.5

Considerando el segmento i=1 tenemos X0 = 3

F(x0) = 2.5 X1 = 4.5 F(x1) = 1 X2 = 7 F(x2) = 2.5

Teniendo en cuenta la siguiente ecuación 6

6

,, ,, ,, ( x 1− x 0 ) f ( x 0 ) +2 ( x2 −x 0) f ( x1 )+ ( x2 − x0 ) f ( x2) = x − x [ f ( x 2 ) −f (x 2) ] + x − x [ f ( x 0 )−f (x 1 ) ] 2 1 1 0

Sustituyendo valores:

( 4.5 −3) f , , ( 3) +2 ( 7− 3 ) f , , ( 4.5) + ( 7−3 ) f ,, ( 7) =

6 6 [ f ( 7 )− f (7) ]+ 4.5−3 [ f ( 3 ) −f (4.5)] 7−4.5

1.5 f , , ( 3 ) +8 f ,, ( 4.5 ) +2.5 f ,, ( 7 ) =9.6 Debido a que las funciones se vuelven rectas, las segundas derivadas en los ,, puntos extremos deben ser cero por lo tanto f ( 3 ) =0

8 f ,, ( 4.5 )+2.5 f , , ( 7 )= 9.6

Ahora consideramos el segmento i = 2

(1)

X1 = 4.5 F(X1) = 1 X2 = 7 F(X2) = 2.5 X3 = 9 F(X3) = 0.5 Reajustando la ecuación tenemos: 6

6

( x 2−x 1 ) f , , ( x 1 ) +2( x 3− x 1 ) f ,, ( x 2 )+ ( x 3− x 2) f , , ( x 3) = x −x [f ( x 3 ) −f (x 2 )] + x − x [ f ( x1 )−f (x2 ) ] 3 2 2 1

Sustituyendo valores

( 7− 4.5) f ,, ( 4.5 )+ 2 ( 9− 4.5 ) f , ,( 7) +(9−7 ) f ,, ( 9 ) =

6 6 [ f ( 9 ) −f (7)]+ 7−4.5 [ f ( 4.5 )−f (7)] 9− 7

2.5 f , , ( 4.5 )+9 f , , ( 7 ) +2 f ,, ( 9 )=9.6 Debido a que las funciones se vuelven rectas, las segundas derivadas en los puntos extremos deben ser cero por lo tanto f ,, ( 9 ) =0 tenemos

,, ,, 2.5 f ( 4.5 )+9 f ( 7 ) =−9.6

(2)

Resolviendo (1) y (2) ,, ,, (−2.5 ) [ 8 f (4.5) +2.5 f (7 )=9.6 ] ,, ,, (8) [ 2.5 f (4.5 )+9 f (7 )=−9.6 ]

−20 f ,, ( 4.5) −6.25 f ,,( 7 )=−24 ,, ,, 20 f ( 4.5 ) + 72 f (7 )=−76.8

65.75 f , , (7 ) =−100.8

Por lo tanto f ,, ( 7 ) =

−100.8 =−1.5331 65.75

Sustituyendo en (1) 8 f ,, ( 4.5) +2.5 (−1.5331 )=9.6

(1) (2)

8 f ,, ( 4.5) −3.8327=9.6 8 f ,, ( 4.5) =13.4327 ,, f ( 4.5 )=

13.4327 8

f ,, ( 4.5 )=1.6791 Dado que el valor a interpolar se encuentra en el segundo segmento se general el polinomio correspondiente determinando así la siguiente ecuación x f ( x2 ) f , , (7 ) ( x 2−x 1 ) (¿¿ 2−x)+⌊ − ⌋ (x−x 1) x2−x 1 6 f (x 1) f ,, (4.5)(x 2−x 1) f , ,(7) f ,, (4.5) 3 3 F2 ( x )= ⌋¿ ( x − x) +6(x −x ) ( x − x 1) + ⌊ x − x − 6 6(x 2−x 1) 2 2 1 2 1 Sustituyendo valores F2 ( x )=

1.6791 ( 7−4.5 ) −1.5331 ( 7 −1.5331 1 1.6791 2.5 ( 7−x )3+ ( x−4.5 )3 + ⌊ − − ⌋ ( 7−x )+⌊ 7−4.5 6 7−4.5 6 6 ( 7−4.5 ) 6( 7− 4.5 )

Obtenemos que F2 ( x )=0.1119(7−x)3−0.1022 ( x−4.5 )3−0.2996 ( 7−x ) +1.6387 ( x−4.5)

F2 (5) =1.1025

Derivación Numérica...